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(1)了解圆锥曲线的实际背景,了解圆锥曲线在刻画现实世界和解决实际问题中的作用.(2)掌握椭圆的定义、几何图形、标准方程及简单几何性质(范围、对称性、顶点、离心率).2
(3)了解双曲线的定义、几何图形和标准方程,知道它们的简单几何性质(范围、对称性、顶点、离心率、渐近线).(4)了解抛物线的定义、几何图形和标准方程,知道它们的简单几何性质(范围、对称性、顶点、准线、离心率).(5)理解直线与圆锥曲线的位置关系;了解圆锥曲线的简单应用.(6)理解数形结合的思想.3
圆锥曲线是高中数学主干知识——平面解析几何的又一核心内容,考查题型广泛,形式多样,难易题均有涉及.小题主要以椭圆、双曲线、抛物线的定义,标准方程和几何性质为主;大题主要考查直线与椭圆的位置关系,抛物线的几何性质及焦点弦问题,内容涉及交点个数问题,有关弦的中点问题及弦长问题,相交围成三角形的面积问题等.4
在解题过程中计算占了很大的比重,对运算求解能力有较高的要求,计算要根据题目中曲线的特点和相互之间的关系进行,合理利用曲线的定义和性质将计算简化,讲求运算的合理性,如“设而不求”,“整体代换”等.试题淡化对图形性质的技巧处理,关注解题方向的选择及计算方法的合理性,适当关注与向量,解三角形,函数等知识的交汇,关注对数形结合,函数与方程,化归与转化,特殊与一般思想的考查,关注对整体处理问题的策略,以及待定系数法,换元法等的考查.5
预计2011年高考在本章的小题考查重点是椭圆,双曲线,抛物线的定义,标准方程和几何性质,特别是椭圆的离心率问题,大题综合考查直线与椭圆的位置关系,抛物线的几何性质及焦点弦问题,以及与其他知识点的综合交汇.6
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1.已知两定点A(-1,0),B(1,0),点M满足则点M的轨迹是()A.圆B.椭圆C.线段D.直线因为AB=2,所以点M在线段AB上,故选C.易错点:平面上到两个定点F1,F2的距离之和为定值,且大于的动点轨迹才是椭圆.C9
2.已知椭圆(a>b>0)的焦点分别为F1、F2,b=4,离心率为.过F1的直线交椭圆于A、B两点,则△ABF2的周长为()A.10B.12C.16D.20因为b=4,,又b2=a2-c2,得a=5,c=3,由椭圆定义可知△ABF2的周长为4a=20,选D.D10
3.椭圆x2+2y2=2的右焦点到直线y=3x的距离是()A.B.C.1D.将椭圆方程化为所以其右焦点坐标为(1,0),它到直线y=x的距离为选B.易错点:研究椭圆的几何性质,须将椭圆方程化为标准方程.B11
4.已知椭圆G的中心在原点,长轴在x轴上,离心率为,且椭圆G上一点到G的两个焦点之和为12,则椭圆G的方程为.e=,2a=12,a=6,b=3,则所求椭圆方程为12
5.椭圆: 的两个焦点F1,F2,点P在椭圆上,如果线段PF1的中点恰在y轴上,则=.由已知椭圆方程得a=2,b=,c=3,F1(-3,0),F2(3,0).713
因为焦点F1和F2关于y轴对称,所以,则P(3, ),所 故填7.14
1.椭圆的定义及其标准方程(1)平面内与两个定点F1,F2的距离之和等于常数(大于 )的点的轨迹叫做椭圆,这两个定点叫做椭圆的焦点,两焦点的距离叫做椭圆的焦距.15
(2)椭圆的标准方程是(a>b>0)或(a>b>0).(3)椭圆的标准方程中a,b,c之间的关系是a2=b2+c2.(4)形如Ax2+By2=C的方程,只要A、BC为正数,且A≠B就是椭圆方程,可化为标准形式:、16
2.椭圆的简单几何性质(1)椭圆(a>b>0)上的点中,横坐标x的取值范围是[-a,a],纵坐标y的取值范围是[-b,b],=2c, 若b>0)的四个顶点是(-a,0),(a,0),(0,-b),(0,b),它们是椭圆与其对称轴的交点.(4)离心率 范围是(0,1).18
重点突破:椭圆的定义及其标准方程设椭圆的中心在原点,坐标轴为对称轴,一个焦点与短轴两端点的连线互相垂直,且此焦点与长轴上较近的端点距离为2-2,求此椭圆的方程.设所求椭圆 或(a>b>0),根据题意列出关于a,b,c的方程组,从而求出a,b,c的值.19
设所求椭圆或(a>b>0),b=ca-c=2-2a2=b2+c2(舍去).则所求椭圆求椭圆的方程,借助于数形结合,先定位分析焦点所在的位置,再用待定系数法,将已知条件代入求解.则,解得a=2b=2c=2,或a=6-8b=4-6c=4-620
已知P点在以坐标轴为对称轴的椭圆上,点P到两焦点的距离分别为5和3,过P点作长轴的垂线恰好过椭圆的一个焦点,求此椭圆方程.设所求椭圆或(a>b>0),两个焦点分别为F1,F2.则由题意得:所以a=4.21
在方程中令x=±c,得在方程中令y=±c,得依题意知=3,所以b=2.则椭圆方程为或.22
重点突破:椭圆的几何性质已知P点为椭圆+y2=1上的点,F1,F2是椭圆的两个焦点,且∠F1PF2=60°,求△F1PF2的面积.求解圆锥曲线上的点与其焦点围成的三角形问题,常用正,余弦定理进行求解.23
依题意得,在△F1PF2中,由余弦定理得解得则△F1PF2的面积为24
圆锥曲线定义与三角形的有关性质相结合是解本题的关键,常用的解题技巧要熟记于心.25
已知P为椭圆+y2=1上的动点,F1,F2是椭圆的两个焦点,且∠F1PF2=θ,求当θ取最大值时,点P的位置.设则m+n=4,26
在△F1PF2中,由余弦定理得因为m+n=4,m>0,n>0,所以mn≤当且仅当m=n时“=”取得,所以cosθ≥-.所以当θ取得最大值时,点P在短轴的两个顶点处.27
重点突破:直线与椭圆的位置关系已知直线l:y=x+m与椭圆相交于P,Q两点.(Ⅰ)求实数m的取值范围.(Ⅱ)是否存在实数m,使得 等于椭圆的短轴长;若存在求出m的值,若不存在,请说明理由.28
(Ⅰ)联立直线与椭圆的方程,由Δ>0解得.(Ⅱ)假设存在,由弦长公式可解得m的值,检验m是否满足Δ>0的条件.y=x+m整理得5x2+6mx+3m2-6=0.由已知得,Δ=36m2-20(3m2-6)>0,解得-b>0)的左顶点A和上顶点D,椭圆C的右顶点为B,点S是椭圆C上位于x轴上方的动点,直线AS,BS与直线l:x=分别交于M,N两点.(Ⅰ)求椭圆C的方程;(Ⅱ)求线段MN的长度的最小值;43
(Ⅲ)当线段MN的长度最小时,在椭圆C上是否存在这样的点T,使得△TSB的面积为 ?若存在,确定点T的个数,若不存在,说明理由.44
解法1:(Ⅰ)由已知得,椭圆C的左顶点为A(-2,0),上顶点为D(0,1),所以a=2,b=1.故椭圆C的方程为+y2=1.(Ⅱ)直线AS的斜率k显然存在,且k>0,故可设直线AS的方程为y=k(x+2),从而My=k(x+2)+y2=1由得(1+4k2)x2+16k2x+16k2-4=0.45
设S(x1,y1),则(-2)·x1=得从而即又B(2,0),故直线BS的方程为y=-(x-2).y=-(x-2)x=由,得x=46
所以N故又k>0,所以当且仅当 即k=时等号成立.所以k=时,线段MN的长度取最小值.47
(Ⅲ)由(Ⅱ)可知,当MN取最小值时,k=.此时BS的方程为x+y-2=0,S(),所以要使椭圆C上存在点T,使得△TSB的面积等于 ,只须点T到直线BS的距离等于 ,所以T在平行于BS且与BS距离等于 的直线l′上.48
设直线l′:x+y+t=0,则由 解得t=-或t=-.x+y-=0,得5x2-12x+5=0.由于Δ=44>0,故直线l′与椭圆C有两个不同的交点;①当t=-32时,由49
x+y-=0,得5x2-20x+21=0.由于Δ=-200,yN