第5课时 数列的综合应用
1．数列在实际生活中有着广泛的应用，其解题的基本步骤，可用图表示如下：
2．数列应用题常见模型(1)等差模型：如果增加(或减少)的量是一个固定量时，该模型是等差模型，增加(或减少)的量就是公差．(2)等比模型：如果后一个量与前一个量的比是一个固定的数时，该模型是等比模型，这个固定的数就是公比．(3)递推数列模型：如果题目中给出的前后两项之间的关系不固定，随项的变化而变化时，应考虑是an与an＋1的递推关系，还是前n项和Sn与Sn＋1之间的递推关系．
1．设{an}是递增等差数列，前三项的和为12，前三项的积为48，则它的首项是()A．1B．2C．4D．6答案：B
2．已知a，b，c，d成等比数列，且曲线y＝x2－2x＋3的顶点是(b，c)，则ad等于()A．3B．2C．1D．－2解析：∵曲线的顶点是(1,2)，∴b＝1，c＝2，又∵a，b，c，d成等比数列，∴ad＝bc＝2.故选B.答案：B
3．有一种细菌和一种病毒，每个细菌在每秒钟末能在杀死一个病毒的同时将自身分裂为2个，现在有一个这样的细菌和100个这样的病毒，问细菌将病毒全部杀死至少需要()A．6秒钟B．7秒钟C．8秒钟D．9秒钟答案：B
4．若A、B、C成等差数列，则直线Ax＋By＋C＝0必过点________．解析：∵2B＝A＋C，∴A－2B＋C＝0，∴直线Ax＋By＋C必过点(1，－2)．答案：(1，－2)
5．在等差数列{an}中，满足3a4＝7a7，且a1>0，Sn是数列{an}前n项的和，若Sn取得最大值，则n＝________.答案：9
1．解决等差、等比数列综合问题的关键是将已知转化成基本量，求出首项与公差(公比)后，再进行其他运算．2．等差、等比数列的基本知识既有不同点，也有相同点，注意运用类比思想加以比较，从而加深对知识的理解与把握．
数列{an}的前n项和记为Sn，a1＝t，an＋1＝2Sn＋1(n∈N＋)．(1)当t为何值时，数列{an}是等比数列？(2)在(1)的条件下，若等差数列{bn}的前n项和Tn有最大值，且T3＝15，又a1＋b1，a2＋b2，a3＋b3成等比数列，求Tn.
(2)设{bn}的公差为d，由T3＝15得，b2＝5，故可设b1＝5－d，b3＝5＋d，又a1＝1，a2＝3，a3＝9，由题意可得(5－d＋1)(5＋d＋9)＝(5＋3)2，解得d＝2或－10.又等差数列{bn}的前n项和Tn有最大值，∴d＝－10，从而Tn＝20n－5n2.
解等差数列应用题，首先要认真审题，深刻理解问题的实际背景，理清蕴含在语言中的数学关系，把应用问题抽象为数学中的等差数列问题，使关系明朗化、标准化．然后用等差数列知识求解，这其中体现了把实际问题数学化的能力，也就是所谓的数学建模能力．
某公司按现有能力，每月收入为70万元，公司分析部门测算，若不进行改革，入世后因竞争加剧收入将逐月减少．分析测算得入世第一个月收入将减少3万元，以后逐月多减少2万元，如果进行改革，即投入技术改造300万元，且入世后每月再投入1万元进行员工培训，则测算得自入世后第一个月起累计收入Tn与时间n(以月为单位)的关系为Tn＝an＋b，且入世第一个月时收入为90万元，第二个月时累计收入为170万元，问入世后经过几个月，该公司改革后的累计纯收入高于不改革时的累计纯收入．
【变式训练】2.用分期付款方式购买家用电器一件，价格为1150元，购买当天先付150元，以后每月这一天都交50元，并加付欠款利息，月利率为1%，若付150元之后的第一个月算分期付款的第一个月，问分期付款的第10个月该交付多少钱？全部付清后，实际共花了多少钱？解析：购买当天付了150元，余欠款1000元，按题意分20次还清．设每次付款依次构成数列{an}，则a1＝50＋1000×0.01＝60元，a2＝50＋(1000－50)×0.01＝59.5元，a3＝50＋(1000－50×2)×0.01＝59元，
1．函数的实际应用问题中，有许多问题以等比数列为模型，此类问题往往从应用问题给出的初始条件入手，推出若干项，逐步探索数列通项或前n项和，或前后两项的递推关系，从而建立等比数列模型，要注意题目给出的一些量的结果，并合理应用．2．与等比数列联系较大的是“增长率”“递减率”的概念，在经济上多涉及利润、成本、效益的增减问题；在人口的研究中也涉及增长率问题；金融问题更多涉及复利的问题．这都与等比数列有关．
【变式训练】3.某科研单位欲拿出一定的经费奖励科研人员，第1名得全部资金的一半多一万元，第二名得剩下的一半多一万元，以名次类推都得到剩下的一半多一万元，到第10名恰好资金分完，求此科研单位共拿出多少万元资金进行奖励．
数列与其他知识的综合问题主要指的是用几何方法或函数的解析式构造数列，用函数或方程的方法研究数列问题．函数与数列的综合问题主要有以下两类：一是已知函数的条件，利用函数的性质图象研究数列问题，如恒成立，最值问题等．二是已知数列条件，利用数列的范围、公式、求和方法等知识对式子化简变形，从而解决函数问题．
1．数列综合题的四种题型(1)数列与其他章节的综合题数列综合题，包括数列知识和指数函数、对数函数、不等式知识的综合，另外，数列知识在复数、三角函数、解析几何部分也有广泛应用．(2)数列的探索性问题探索性问题是高考的热点，常在数列解答题中出现，探索性问题对分析问题、解决问题的能力有较高的要求．
(3)等差数列与等比数列的综合问题解决此类问题须从整体着眼考查所研究的问题中的数列特征、结构特征，以探求解题思想，从而优化、简化解题过程的思想方法，在数列中，倘若抓住等差、等比数列项的性质，整体代换可简化解答过程．(4)数列的实际应用现实生活中涉及银行利率、企业股金、产品利润、人口增长、工作效率、图形面积、曲线长度等实际问题，经常考虑用数列的知识来加以解决．
2．如何解数列应用题(1)解数列应用题一般要经历：设——列——解——答四个环节．(2)建立数列模型时，应明确是什么模型，还要确定要求是什么．(3)建立数学模型的一般方法步骤：①认真审题，准确理解题意，达到如下要求：明确问题属于哪类应用问题；弄清题目中的主要已知事项；明确所求的结论是什么．②抓住数学关系，联想数学知识和数学方法，恰当引入参数变量或建立坐标系，将文字语言翻译成数学语言，将数学关系用数学式子表达．③将实际问题抽象为数学问题，将已知与所求联系起来，据题意引出满足题意的数学关系式(如函数、方程、不等式、数列等)．
从近两年的高考试题来看，等差数列与等比数列交汇、数列与解析几何、不等式交汇是考查的热点，题型以解答题为主，难度偏高，主要考查学生分析问题和解决问题的能力．
(本小题满分12分)(2010·浙江卷)设a1，d为实数，首项为a1，公差为d的等差数列{an}的前n项和为Sn，满足S5S6＋15＝0.(1)若S5＝5，求S6及a1；(2)求d的取值范围．
【阅后报告】本题从外观上看，题设与所求都很普通，其综合强度并不大，但满分率并不高，分析其原因：①转化思想运用不熟：不知如何构造关于d的不等式．本解法用平方数非负的性质，也可以看作a1的方程2a12＋9da1＋10d2＋1＝0，利用Δ≥0.②分析题意有误，认为(1)是(2)的条件，将(1)中求得的a1代入(2)中，结果求不出d的范围．
1．(2010·江苏卷)在数列{an}中，a1＝0，且对任意k∈N＋，a2k－1，a2k，a2k＋1成等差数列，其公差为2k.(1)证明：a4，a5，a6成等比数列；(2)求数列{an}的通项公式．
2．(2010·上海卷)已知数列{an}的前n项和为Sn，且Sn＝n－5an－85，n∈N＋.(1)证明：{an－1}是等比数列；(2)求数列{Sn}的通项公式，并求出使得Sn＋1＞Sn成立的最小正整数n.
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