高中数学必修四说教材课件

说教材——高中数学必修四（人教版）宕昌一中付新平 高中数学必修四基本结构第一章:三角函数任意角和弧度制，任意角的三角函数，三角函数的诱导公式，三角函数的图像与性质，函数的图像，三角函数的简单应用第二章：平面向量平面向量的实际背景及基本概念，平面向量的线性运算，平面向量的基本定理及坐标表示，平面向量的数量积，应用举例第三章：三角恒等变换两角和差的正余弦和正切公式，简单的三角恒等变换简单的三角恒等变换 数学四第一章第二章第三章平面向量三角恒等变换任意角弧度制和三角函数定义1.1任意角和弧度制1.2任意角的三角函数诱导公式，三角函数图像1.3诱导公式1.4三角函数图像性质函数图像应用1.6三角函数模型3.1两角和差弦切公式3.2简单三角恒等变换2.1平面向量背景及概念2.2线性运算2.3平面向量基本定理坐标表示2.5数量积2.5平面向量举例应用 任意角的概念角的度量方法（角度制与弧度制）弧长公式与扇形面积公式任意角的三角函数同角公式诱导公式两角和与差的三角函数二倍角的三角函数三角函数式的恒等变形（化简、求值、证明）三角函数的图形和性质正弦型函数的图象已知三角函数值，求角三角部分知识网络结构 三角思维常规宏观思路分析差异寻找联系促进转化指角的、函数的、运算的差异利用有关公式，建立差异间关系活用公式，差异转化，矛盾统一 微观直觉1、以变角为主线，注意配凑和转化；2、见切割，想化弦；个别情况弦化切；3、见和差，想化积；见乘积，化和差；4、见分式，想通分，使分母最简；5、见平方想降幂，见“1±cosα”想升幂；6、见sin2α，想拆成2sinαcosα；7、见sinα±cosα或9、见cosα·cosβ·cosθ····，先运用sinα+sinβ=pcosα+cosβ=q8、见asinα+bcosα，想化为的形式若不行，则化和差10、见cosα+cos(α+β)+cos(α+2β)…，想乘想两边平方或和差化积 总结：多种名称想切化弦；遇高次就降次消元；asinA+bcosA提系数转换；多角凑和差倍半可算；难的问题隐含要显现；任意变元可试特值算；求值问题缩角是关键；字母问题讨论想优先；非特殊角问题想特角算；周期问题化三个一再算；适时联想联想是关键！ 找出非特殊角和特殊角之间的关系,这种技巧在化简求值中经常用到，并且三角式变形有规律即坚持“四化”：多角同角化异名同名化切割弦化特值特角互化 公式体系的推导：首先利用两点间的距离公式推导，然后利用换元及等价转化等思想方法，以为中心推导公式体系。 平面向量知识结构向量的三种表示表示运算向量加法与减法向量的相关概念实数与向量的积三角形法则平行四边形法则向量平行、垂直的条件平面向量的基本定理平面向量向量的数量积向量的应用 课程标准与教材解读人教A版必修四 数学教育方法的核心是学生的再创造，教师不应该把数学当做一个已经完成了的形式理论来教，不应该将各种定义、规则、算法灌输给学生，而是应该创造合适的条件，让学生在学习数学的过程中，用自己的体验，用自己的思维方式，重新创造有关的数学知识。 课程标准在课程目标上的新变化⑴知识领域：要求学生获得必要的基础知识、基本技能的同时要了解它们的来龙去胍，体会其中的思想方法。⑵在数学思维、解决问题的能力及培养数学意识方面，强调提倡数学地提出、分析和解决问题的能力；数学表达和交流能力；独立获得数学知识的能力；发展数学应用意识和创新意识。⑶在情感、态度、价值观等方面要求学习数学的兴趣、信心、锲而不舍的钻研精神，具有一定的数学视野，对数学有较为全面的认识，逐步形成批判性的思维习惯。 新课标在课程目标的变化知识领域数学思维，能力，意识情感态度价值观 文言文图示知识领域返回基础知识知识技能的来龙去脉体会思维方法基本技能 文言文图示数学思维能力意识返回提出问题分析问题解决问题的能力创新意识应用意识数学表达交流能力获取知识能力 文言文图示情感态度价值观返回学习数学的兴趣批判性思维习惯全面的知识钻研精神数学视野 1、课标要求2、课程内容加强与削弱的方面及依据3、教学建议各章课程标准及要求和建议 写观察记课程标准要求和建议第一章第二章第三章课标要求课程内容加强与削弱教学建议课标要求课标要求课程内容加强与削弱课程内容加强与削弱课标要求课标要求 第一章三角函数一、课标要求三角函数是基本初等函数，它是描述周期现象的重要数学模型，在数学和其他领域中具有重要作用。在本模块中，学生将通过实例，逐步理解三角函数的概念及其基本性质，认识三角函数与实际生活的联系。体会三角函数在解决具有周期变化规律的问题中的作用。 二、课程内容加强与削弱的方面及依据1、加强几何直观，强调数形结合思想三角函数的基础是几何中的相似形和圆，而研究方法又主要是代数的，因此三角函数集中地体现了数形结合思想，在代数和几何之间建立了初步的联系。在本章中，充分渗透了数形结合思想。一方面是以形助数，突出几何直观对理解抽象数学概念的作用。（1）在三角函数及其性质的学习中，注意充分发挥单位元的直观作用，借助单位圆认识任意角、任意角的三角函数，理解三角函数的周期性、诱导公式、同角三角函数关系式以及三角函数的图像。（2）通过角终边之间的对称关系来研究诱导公式。 （3）借助三角函数的图像理解三角函数在一个周期上的单调性、最大值和最小值、图像与轴的交点等性质。另一方面以数助形，例如应用三角函数的周期性来简化函数图像的作用2、强调数学建模学习数学模型的最好方法是经历数学建模的过程，通过对实际背景的分析、概括与抽象，建立三角函数模型，再运用数学方法研究三角函数的性质。进而去解决更加广泛的实际问题。这样处理体现了数学知识的产生发展过程，反映了数学的“来龙去脉”，有助于学生理解数学的本质。 三、教学建议1、准确把握教学要求（1）与过去的教材相比，新教材强调三角函数是一种数学模型。（2)与以往的三角函数内容相比较，本章提出了对三角函数作为刻画现实世界的数学模型的认识的要求，加强了对借助单位圆理解三角函数的概念、性质，以及通过建立三角函数模型解决实际问题等内容。（3）“标准”删减了任意角的余切、正割、余割，已知三角函数值求角，反三角函数符号等内容。降低了对任意角概念，弧度制概念，同角三角函数的基本关系式，诱导公式，三角函数奇偶性的要求。这样的处理，把重点放在使学生理解三角函数及其基本性质、体会三角函数在解决具有周期变化规律的问题中的作用，而对一些细枝末节的内容不再作过多要求。教学时应把握好这种变化，遵循“标准”所规定的内容和要求，不要随意补充已被删减的知识点。也不要引进那些繁琐的技巧性高的变换题目。（4）但是，也不能放松对基本技能的训练，应该让学生记牢并熟练地使用诱导公式，同角三角函数关系式，能用五点法作图画出正（余）弦函数图象，这是利用三角函数解决问题的基础。 2、注意从数学模型的角度来认识三角函数，突出数学思想方法在数学模型建构中的作用。（1）要突出数学模型思想。教学中应当充分利用章引言提供的情景，引导学生利用学习函数的经验，自觉地参与建构刻画周期现象的数学模型的活动，使学生从学习之初就建立起从数学模型的角度看三角函数的意识，在此基础上，充分注意运用三角函数模型解决实际问题的教学，使学生经历运用三角函数模型描述周期现象、解决实际问题的全过程。（2）要充分发挥数形结合思想方法在本章的运用。发挥单位圆、三角函数线、图像的作用。（3）运用和深化函数思想方法。教学中注意引导学生以必修一中学到的研究函数的方法为指导来学习本章知识，即在函数观点的指导下，学习三角函数。这对进一步理解三角函数概念，理解函数思想方法，对提高学生学习过程中的数学思维水平都是十分重要的。（4）以问题为中心充分发挥理性思维在建构数学模型中的作用。（5）恰当地使用信息技术。 第二章平面向量一、课标要求向量是近代数学中重要和基本的数学概念之一，它是沟通代数、几何、三角函数的一种工具。有着极其丰富的实际背景。在本模块中，学生将了解向量丰富的实际背景，理解平面向量及其运算的意义。能用向量语言和方法表述和解决数学和物理中的一些问题，提高运算能力和解决实际问题的能力。 二、课程内容加强与削弱的方面及依据1、标准强调向量概念的几何背景，强调理解向量运算（加、减、数乘、数量积）及其性质的几何意义。2、本模块用向量的数量积来推导两角差的余弦公式，刻画平面内两条直线平行与垂直的位置关系，体现了向量方法在研究和解决数学问题中的作用，也沟通了代数、几何与三角的联系。3、标准在平面向量部分删减了平面内两点间距离公式、线段定比分点及中点坐标公式、平移公式等内容。 三、教学建议1、明确教学要求2、让学生参与建构活动（1）要让学生参与建构向量及其运算的活动，经历建构的过程，引导学生认识到向量是一种描述现实问题的数学模型。（2）让学生了解向量的物理背景、几何背景、知道它的原型。（3）通过建构活，动让学生熟悉向量及其运算的几何意义，物理意义。这是灵活运用向量解决问题的基础。 3、让学生明确研究向量问题的基本思路（1）向量是代数的对象。作为代数对象，向量可以运算，而且正是因为有了运算，向量的威力才得到充分的发挥；（2）向量又是几何的对象，所以向量又可以刻画几何元素（点、线、面），利用向量的方向可以与三角函数发生联系。（3）因为向量“一身二任”，所以几何图形的许多性质会表现为向量的运算性质，这样就可以通过向量的运算来描述和研究几何元素之间的关系（如直线的平行、垂直等），确定几何图形的长度、面积、夹角等等。在贯穿向量教学的全过程中，都要让学生明确向量研究的基本思路。特别是在学完本章后，更要引导学生反思，这对于向量方法的理解，至关重要。 4、让学生理解向量方法的实质（1）建立平面几何与向量的联系，用向量表示问题中涉及的几何元素，将平面几何问题转化为向量问题；（2）通过向量运算，研究几何元素之间单位关系，如距离，夹角等问题。（3）把运算结果“翻译”成几何关系。 第三章三角恒等变换一、课标要求三角恒等变换在数学中有一定的应用，它有利于发展学生的推理能力和运算能力。在本模块中，学生将运用向量的方法推导基本的三角恒等变换公式，由此出发导出其它的三角恒等变换公式，并运用这些公式进行简单的三角恒等变换，发展学生的推理能力和运算能力。 二、课程内容加强与削弱的方面及依据依据课程标准的要求，教科书降低了对三角变换的要求，特别是不再要求用积化和差、和差化积、半角公式等作复杂的恒等变形，而把推导积化和差、和差化积、半角公式作为三角恒等变换的基本训练，避免任意加大三角变换的难度，防止在三角变换中深挖洞的现象。这样处理的目的主要是为了突出三角函数的主要内容，特别是突出三角函数作为描述周期变化的数学模型这一本质。 三、教学建议1、准确地把握教学要求根据课程标准的要求，教科书降低了对三角变换的要求，特别是不再要求用积化和差、和差化积、半角公式等作复杂的恒等变形，而把推导积化和差、和差化积、半角公式作为三角恒等变换的基本训练，避免加大三角变换的难度，不要随意补充已被删减的内容，也不要引进那些繁琐的、技巧性高的难题，更不要在一些细枝末节上做文章，但要注意基础训练。 2、注意从运算的角度看待三角变换注意从运算的角度看待三角变换，把三角变换看成是三角函数的运算，这样就使得三角变换和运算（包括向量的运算）发生了联系。在教科书中，三角变换的公式都是通过运算的方法推导和证明的，在本章最后更是从运算的角度提出积化和差、和差化积德研究课题。注意突出向量和三角函数的联系 3、教学中注意展现公式的发现和推导过程在传统的教学中，往往把三角变换单纯地视为基本技能训练，强调反复的练习和操作，强调三角变换的具体方法和技巧，造成了公式头绪多，练习习题难，技巧方法刁的现象。和过去相比，教科书更重视公式的发现和推导过程，重视学生在三角变换中的思维过程，重视这些过程中的思维活动，和指导这些活动的思想方法。这和传统的教学有明显的区别。重视过程