选修4-4总复习第一节坐标系
三年16考高考指数:★★★★1.理解坐标系的作用，了解在平面直角坐标系伸缩变换作用下平面图形的变化情况.
2.能在极坐标系中用极坐标表示点的位置，理解在极坐标系和平面直角坐标系中表示点的位置的区别，能进行极坐标和直角坐标的互化.3.能在极坐标系中给出简单图形(如过极点的直线、过极点的圆或圆心在极点的圆)的方程，理解用方程表示平面图形时选择适当坐标系的意义.
1.直线和圆的极坐标方程是高考考查的重点；2.极坐标方程与直角坐标方程的相互转化以及综合应用是难点；3.高考考查极坐标方程多以填空题的形式考查.
1.平面直角坐标系中的坐标伸缩变换设点P(x,y)是平面直角坐标系中的任意一点，在变换x′=______，(λ＞0)y′=______，(μ＞0)的作用下，点P(x,y)对应到点P′(x′,y′),称φ为平面直角坐标系中的坐标伸缩变换，简称_________.φ:λ·xμ·y伸缩变换
【即时应用】在平面直角坐标系中，已知变换φ:，则①点P(3,2)经过变换φ后的点的坐标为_______;②椭圆经过变换φ后的曲线方程为___________.
【解析】①点P(3,2)经过变换φ后得到,所以点P(3,2)经过变换φ后的点的坐标为(1,1).
②由变换φ:，得到,代入椭圆的方程,得化简，得x′2+y′2=1,即x2+y2=1.答案：①(1,1)②x2+y2=1
2.极坐标系与点的极坐标(1)极坐标系：在平面内取一个定点O，叫做_____，自极点O引一条射线Ox,叫做_____；再选定一个长度单位、一个角度单位(通常取弧度)及其_______(通常取逆时针方向)，这样就建立了一个极坐标系.极点极轴正方向
(2)点的极坐标：对于极坐标系所在平面内的任一点M，若设|OM|=ρ(ρ≥0)，以极轴Ox为始边，射线OM为终边的角为θ，则点M可用有序数对_______表示.(3)极坐标与直角坐标的互化公式：设点P的直角坐标为(x,y)，它的极坐标为(ρ，θ)，则其互化公式为，.(ρ,θ)
【即时应用】(1)思考：若ρ＞0,0≤θ＜2π,如何将点的直角坐标(-3，4)化为极坐标？提示：由，得ρ2=x2+y2=25,由于点(-3,4)在第二象限，故θ为钝角，所以点(-3,4)的极坐标为点(5,θ),其中θ为钝角，且
(2)判断下列命题是否正确.(请在括号中填写“√”或“×”)①极坐标系中点M的极坐标是唯一的()②极坐标为(2，)的点在第一象限()③极坐标系中，点(3，)与点(3，)相同()
【解析】①极坐标系中的点，当θ∈［0,2π)时，除极点以外，M的极坐标才是唯一的，当θ∈R时，M的极坐标不唯一，故不正确；②点的极坐标(2，)中，极角的终边在第二象限，极径大于0，故点在第二象限，故不正确；③极坐标系中，点(3，)与点(3，)的极角的终边相同，极径相等，两点相同，所以正确.答案：①×②×③√
3.直线的极坐标方程(1)特殊位置的直线的极坐标方程过极点，倾斜角为αθ=___(ρ∈R)或θ=_____(ρ∈R)(θ=___和θ=_____(ρ≥0))过点(a,0),与极轴垂直________=aαπ+ααπ+αρcosθ
________=a(0＜θ＜π)过点(a,),与极轴平行ρsinθ
(2)一般位置的直线的极坐标方程：若直线l经过点M(ρ0，θ0)，且极轴到此直线的角为α，直线l的极坐标方程为：ρsin(θ-α)=______________.ρ0sin(θ0-α)
【即时应用】判断下列命题是否正确.(请在括号中填写“√”或“×”)(1)过极点的射线l上任意一点的极角都是，则射线l的极坐标方程为θ=(ρ≥0).()(2)过极点，倾斜角为的直线的极坐标方程为θ=(ρ≥0).()
【解析】根据极径的意义ρ=|OM|，可知ρ≥0；若ρ＜0，则-ρ＞0，规定点M(ρ,θ)与点N(-ρ,θ)关于极点对称，所以可得，(1)过极点的射线l上任意一点的极角都是，则射线l的极坐标方程为θ=(ρ≥0).所以(1)正确.
(2)过极点，倾斜角为的直线分为两条射线OM、OM′，它们的极坐标方程为θ=、θ=(ρ≥0)，所以过极点，倾斜角为的直线的极坐标方程为θ=和θ=(ρ≥0)(也可以表示为θ=(ρ∈R)).所以(2)不正确.答案：(1)√(2)×
4.半径为r的圆的极坐标方程(1)特殊位置的圆的极坐标方程（0，0）(r,0)ρ=___(0≤θ＜2π)rρ=_______2rcosθ
(r,π)ρ=2rsinθ(0≤θ＜π)(r,)ρ=-2rcosθ
ρ=-2rsinθ(π≤θ＜2π)(r,)
(2)一般位置的圆的极坐标方程：若圆心为M(ρ0,θ0)，半径为r，则圆的极坐标方程是ρ2-2ρ0ρcos(θ-θ0)+ρ02-r2=0.
【即时应用】(1)极坐标方程ρ=4sinθ(ρ≥0，0≤θ＜π)表示曲线的中心的极坐标为______.(2)圆心为(2,)，半径为3的圆的极坐标方程为______.【解析】(1)曲线ρ=4sinθ，由特殊位置圆的极坐标方程得半径为2，所以曲线的中心为(2,).
(2)圆心(2，)的直角坐标为，且半径为3，所以圆的直角坐标方程为，即由公式，，得圆的极坐标方程为答案：(1)(2,)(2)
伸缩变换【方法点睛】伸缩变换公式的应用(1)平面直角坐标系中，点P(x,y)在变换φ:的作用下，得到点P′(x′,y′)，变换φ简称为伸缩变换.
(2)求曲线经过伸缩变换公式变换后的曲线方程时，通常运用“代点法”，一般通过设定变换前与变换后曲线上的点的坐标建立联系，这可以通过上标符号进行区分.
【例1】(1)将正弦曲线y=sinx按φ：变换后的函数解析式为_______；(2)将圆x2+y2=1变换为椭圆的一个伸缩变换公式为φ:，则λ=______，μ=______.
【解题指南】设变换前的方程的曲线上任意一点的坐标为P(x,y)，变换后对应的点为P′(x′,y′)，代入伸缩变换公式即可.
【规范解答】(1)设点P(x,y)为正弦曲线y=sinx上的任意一点，在变换φ:的作用下，点P(x,y)对应到点P′(x′,y′)，即φ:，代入y=sinx得2y′=sin3x′，所以y′=sin3x′，即y=sin3x为所求.答案：y=sin3x
(2)将变换后的椭圆改写为，伸缩变换为φ:，代入上式得，即，与x2+y2=1比较系数得，∴.答案：54
【互动探究】(1)将正弦曲线y=sinx变换为曲线y=2sin3x的伸缩变换公式为________；(2)将圆x2+y2=1按照伸缩变换公式变换后所得椭圆的焦距为_______.
【解析】(1)将变换后的曲线y=2sin3x改写为y′=sin3x′,令,即得伸缩变换公式答案：
(2)将圆x2+y2=1按伸缩变换公式变换后所得椭圆的方程为即∵a2=25,b2=9,∴c2=a2-b2=25-9=16.∴c=4,2c=8.即所得椭圆的焦距为8.答案：8
【反思·感悟】1.曲线的伸缩变换是通过曲线上任意一点的坐标的伸缩变换实现的,解题时需要区分变换前的点P的坐标(x,y)与变换后的点P′的坐标(x′,y′),再利用伸缩变换公式建立联系即可.
2.已知变换后的曲线方程f(x,y)=0,一般都要改写为方程f(x′,y′)=0，再利用换元法确定伸缩变换公式.
【变式备选】已知焦点为F1(-2,0)，F2(2,0)的椭圆与直线有且仅有一个交点，则椭圆的长轴长为_______.【解题指南】可以将直线与椭圆的方程看为方程组，化简为一元二次方程，利用根的判别式计算，也可以利用伸缩变换将椭圆方程变换为圆的方程,转化为圆心到直线的距离计算.
【解析】方法一：(判别式法)设椭圆方程为(a＞b＞0),∵c=2,∴a2-b2=4.由，得，整理，得
∴由Δ=0，得∴48b4-(16a2b2-a4b2+48b4-3a2b4)=0，即a4b2-16a2b2+3a2b4=0，∴a2+3b2=16.与a2-b2=4联立方程组，解得a2=7,，所以椭圆的长轴长为.
方法二：(伸缩变换法)令则椭圆变换为单位圆x12+y12=1,直线变换为直线因为直线与椭圆有且仅有一个交点，则直线与单位圆有且仅有一个交点.
由题意,得整理得a2+3b2=16.∵a2-b2=4，解得a2=7,a=，∴椭圆的长轴长为.答案：
极坐标与直角坐标的互相转化【方法点睛】1.极坐标与直角坐标互化公式的三个基本前提(1)取直角坐标原点为极点；(2)x轴非负半轴为极轴；(3)规定长度单位相同．
2.极坐标与直角坐标的互化公式设点P的直角坐标为(x,y)，它的极坐标为(ρ,θ)，根据三角函数的定义，当ρ＞0时，有：①(极坐标化为直角坐标公式)；②(直角坐标化为极坐标公式).
【提醒】当ρ≤0时,公式①也成立,因为点M(ρ,θ)与点M′(-ρ,θ)关于极点对称，即点M的极坐标也就是(-ρ,θ+π)，此时，有.
【例2】(1)点的极坐标(2,)化为直角坐标为______；(2)若ρ≥0，0≤θ＜2π，点的直角坐标(-2,2)化为极坐标为_______；(3)将极坐标方程ρ=sinθ化为直角坐标方程的标准形式为_______；(4)将直线方程x-y=0化为极坐标方程为______.
【解题指南】由公式将极坐标化为直角坐标，由公式将直角坐标化为极坐标.
【规范解答】(1)∵∴点的极坐标(2,)化为直角坐标为(-,-1).答案：(-,-1)
(2)∵ρ2=x2+y2=8，且角θ的终边过点(-2，2)，∴∴点的直角坐标(-2，2)化为极坐标为答案：
(3)由极坐标方程ρ=sinθ,得ρ2=ρsinθ,化为直角坐标方程为x2+y2=y,即答案：(4)将直线方程x-y=0化为极坐标方程为ρcosθ-ρsinθ=0,即tanθ=1,∴答案：
【互动探究】若把本例(1)中的点的极坐标(2，)改为(-2,),则它化为直角坐标为______.【解析】∵∴点的极坐标(-2,)化为直角坐标为(,1).答案：(,1)
【反思·感悟】1.在把点P的直角坐标(x,y)化为极坐标(ρ,θ)，求极角θ时，应注意判断点P所在的象限(即角θ的终边过点(x,y))，以便正确地求出0～2π内的角θ.2.过极点的倾斜角为的直线的极坐标方程可以表示为θ=(ρ∈R)，也可以表示为θ=和θ=(ρ≥0).
【变式备选】1.极坐标系中，直角坐标为(-1,)的点的极径为______，极角为______.
【解析】直角坐标为(-1,)的点到极点的距离为,又tanθ=-,且点在第二象限，得θ=于是点(-1,)的极坐标为(2，2kπ+)(k∈Z)，所以此点的极径为2，极角为2kπ+(k∈Z).答案:22kπ+(k∈Z)
2.极坐标方程ρ=sinθ-2cosθ所表示的曲线形状是______.【解析】极坐标方程ρ=sinθ-2cosθ即ρ2=ρsinθ-2ρcosθ,化为直角坐标方程为x2+y2=y-2x,即,这是在直角坐标系中，圆心坐标为(-1,),半径为的圆.答案:圆
极坐标方程的综合题【方法点睛】直线与圆的综合问题(1)直线与圆的位置关系有三种：相离、相切、相交.设圆的半径为r,圆心到直线的距离为d,则有:
(2)若直线与圆相交于点A、B,则弦长公式为无d＞r一个d=r两个d＜r
【例3】(1)在极坐标系中，圆ρ=2cosθ与直线3ρcosθ+4ρsinθ+a=0相切，则实数a=_______.(2)在极坐标系中，已知曲线C1与C2的极坐标方程分别为ρ=2sinθ与ρcosθ=-1(0≤θ
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