高中数学教学课件：直线与方程

第八章　平面解析几何第1节　直线与方程 1．理解直线的倾斜角和斜率的概念，掌握过两点的直线斜率的计算公式．2．能根据两条直线的斜率判断这两条直线平行或垂直．3．掌握确定直线位置的几何要素．4．掌握直线方程的几种形式(点斜式、两点式及一般式等)，了解斜截式与一次函数的关系.5．能用解方程组的方法求两条相交直线的交点坐标．6．掌握两点间的距离公式、点到直线的距离公式，会求两平行直线间的距离. [要点梳理]1．直线的倾斜角与斜率(1)直线的倾斜角①定义：当直线l与x轴相交时，我们取x轴作为基准，x轴_____与直线l_____方向之间所成的角α叫做直线l的倾斜角．当直线l与x轴平行或重合时，规定它的倾斜角为______.②倾斜角的范围为___________________．正向向上0°[0°，180°) (2)直线的斜率①定义：一条直线的倾斜角α的_______叫做这条直线的斜率，斜率常用小写字母k表示，即k＝_______，倾斜角是90°的直线斜率不存在．正切值tanα 质疑探究1：任意一条直线都有倾斜角和斜率吗？提示：每一条直线都有唯一的倾斜角，但并不是每一条直线都存在斜率．倾斜角为90°的直线斜率不存在．质疑探究2：直线的倾斜角θ越大，斜率k就越大，这种说法正确吗？ 2．直线方程的五种形式名称已知条件方程适用范围点斜式斜率k与点(x0，y0)y－y0＝k(x－x0)不含直线x＝x0斜截式斜率k与截距b__________不含垂直于x轴的直线y＝kx＋b 质疑探究3：截距是距离吗？提示：直线在x(y)轴上的截距是直线与x(y)轴交点的横(纵)坐标，所以截距是一个实数，可正、可负，也可为0，而不是距离．一般式______________(A、B不同时为0)平面直角坐标系内的直线都适用Ax＋By＋C＝0 4．两条直线位置关系的判定斜截式一般式直线方程y＝k1x＋b1y＝k2x＋b2A1x＋B1y＋C1＝0A2x＋B2y＋C2＝0相交k1≠k2A1B2－A2B1≠0垂直k1k2＝－1A1A2＋B1B2＝0 质疑探究4：应用点到直线的距离和两平行线间的距离时应注意什么？提示：(1)将方程化为最简的一般形式；(2)利用两平行线之间的距离公式时，应使两平行线方程中x、y的系数分别对应相等． [答案]C [答案]D 3．(2015·成都模拟)若直线(a＋1)x＋2y＝0与直线x－ay＝1互相垂直，则实数a的值等于()A．－1B．0C．1D．2 4．直线Ax＋3y＋C＝0与直线2x－3y＋4＝0的交点在y轴上，则C的值为________． 思路点拨(1)先求出直线的斜率，确定其取值范围，然后利用倾斜角与斜率的关系求倾斜角的范围；(2)先分别求出直线AP、BP的斜率，然后利用数形结合的方法确定直线l的斜率的取值范围．(2)已知A(－2,3)，B(3,2)，过点P(0，－2)的直线l与线段AB没有公共点，则直线l的斜率的取值范围是______. 拓展提高(1)由斜率取值范围确定直线倾斜角的范围要利用正切函数y＝tanx的图像，特别要注意倾斜角取值范围的限制；(2)求解直线的倾斜角与斜率问题要善于利用数形结合的思想，要注意直线的倾斜角由锐角变到直角及由直角变到钝角时，需依据正切函数y＝tanx的单调性求k的范围． [答案](1)B(2)A 考向二　直线的方程例2△ABC的三个顶点分别为A(－3,0)，B(2,1)，C(－2,3)，求：(1)BC所在直线的方程；(2)BC边上中线AD所在直线的方程；(3)BC边的垂直平分线DE的方程．思路点拨第(1)问由B点、C点的坐标选用两点式求方程．第(2)问结合中点坐标与A点坐标形式可以选用截距式方程求解．第(3)问结合两直线垂直，由斜率与中点的坐标用点斜式求方程． 拓展提高　求直线方程的常用方法有(1)直接法：根据已知条件灵活选用直线方程的形式，写出方程．(2)待定系数法：先根据已知条件设出直线方程，再根据已知条件构造关于待定系数的方程(组)求系数，最后代入求出直线方程．提醒：求直线方程时，要注意直线的斜率不存在的情况或斜率为零的情况． 思路点拨运用两条直线平行或垂直的条件求解，要注意斜率为0或斜率不存在的情形． 拓展提高(1)当直线的方程中存在字母参数时，不仅要考虑到斜率存在的一般情况，也要考虑到斜率不存在的特殊情况．同时还要注意x、y的系数不能同时为零这一隐含条件．(2)在判断两直线的平行、垂直时，也可直接利用直线方程的系数间的关系得出结论． (5)设平面上任一点M，因为|MA|＋|MC|≥|AC|，当且仅当A，M，C共线时取等号，同理|MB|＋|MD|≥|BD|，当且仅当B，M，D共线时取等号，连接AC，BD交于一点M，若|MA|＋|MC|＋|MB|＋|MD|最小，则点M为所求． 拓展提高　距离问题的常见题型与求解策略题型求　解　策　略已知距离，求点的坐标或点的个数借助于距离公式，建立方程(组)求解或判断解的个数即可．已知距离，求直线方程立足确定直线的几何要素——点和方向，利用直线方程的各种形式，结合直线的位置关系，巧设直线方程，在此基础上借助三种距离公式求解．两曲线交点距离的最值适当设点的坐标，转化为求函数的最值已知距离求参数值可利用距离公式得出方程，解方程求得借助距离，求函数的最值将函数式转化成距离的结构形式，再转化为几何问题，利用几何知识求解 易错警示14忽视斜率不存在而致误典例已知圆C：(x－1)2＋(y＋2)2＝4，则过点P(－1,1)的圆的切线方程为________.易错分析首先验证过P(－1,1)斜率不存在的直线是否与圆相切，然后利用直线和圆相切的条件列出方程求解．[正解](1)当直线的斜率不存在时，方程为x＝－1.此时圆心C(1，－2)到直线x＝－1的距离d＝|－1－1|＝2.故该直线为圆的切线． [答案]x＝－1或5x＋12y－7＝0 易错提醒求解过定点的直线问题，首先要检验斜率不存在的直线是否符合题意，这是非常容易遗漏的问题．在处理相关问题时，也可根据图形判断所求直线的条数，进而避免此类失误．成功破障已知直线l过点(－4,0)且与圆(x＋1)2＋(y－2)2＝25交于A、B两点，如果|AB|＝8，那么直线l的方程为________. [思维升华]【方法与技巧】 2．求斜率可用k＝tanα(α≠90°)，其中α为倾斜角，由此可见倾斜角与斜率相互联系不可分割，牢记：“斜率变化分两段，90°是分界，遇到斜率要谨记，存在与否需讨论”．3．求直线方程中一种重要的方法就是先设直线方程，再求直线方程中的系数，这种方法叫待定系数法． 4．两直线的位置关系要考虑平行、垂直和重合．对于斜率都存在且不重合的两条直线l1、l2，l1∥l2⇔k1＝k2；l1⊥l2⇔k1·k2＝－1.若有一条直线的斜率不存在，那么另一条直线的斜率一定要特别注意．5．对称问题一般是将线与线的对称转化为点与点的对称．利用坐标转移法． 【失误与防范】1．求直线方程时要注意判断直线斜率是否存在；每条直线都有倾斜角，但不一定每条直线都存在斜率．2．根据斜率求倾斜角，一是要注意倾斜角的范围；二是要考虑正切函数的单调性．3．利用一般式方程Ax＋By＋C＝0求它的方向向量为(－B，A)不可记错，但同时注意方向向量是不唯一的． 谢谢观看！