【高中数学课件】直线中的对称问题ppt课件

对称与最值的探究 已知P(1,2),求P点关于以下各直线的对称点的坐标。1、(1)l:x=0(2)l:y=0(3)l:x=2(4)l:y=3(5)l:y=x(6)l:y=-x2、如何求P(1,2)关于直线2x–y+1=0的对称点Q的坐标？复习 在某东西方向公路边有一村庄M.在M村的北偏西30o方向且与M村相距1000米处有一村A，在M村的北偏东60o的方向且相距800米处有一村B.A庄的村民主要靠每天外出打工、做生意获得收入，B庄的村民主要靠种菜、卖菜获得收入。前几年，风调雨顺，两村村民都忙于自己的生活，没有意识到脚下的泥土路给生活带来的不便。今年8、9两月的连绵秋雨，使两村村民深受交通不便之苦。于是他们集资修路，拟定在公路上找一C处，由C向两村分别修路，为了使修路费用最低，C处应如何选择？MBA 问题：已知直线l:y=x,A(1,2),B(2,4)C(3,1)1、在直线l上求一点P使|PB|+|PC|最小。2、在直线l上求一点Q使|QA|+|QB|最小。一类最值问题探究OXYy=x···ABC OXYBC···y=xA解:(1)连接BC交l于P.P在l上任取一异于P的点P1,连P1B,P1C.则|P1B|+|P1C|＞|BC|=|BP|+|PC|.P1,∴P点为所求的点∵B(2,4)C(3,1)∴直线BC的方程为:y=－3x+10｛y=xy=－3x+10由得:｛x=2.5y=2.5即直线l上的点P(2.5,2.5)使|PA|+|PB|最小. YOX(2)做点A关于直线y=x的对称点A1y=xB··A连接A!B交l于Q·A1Q在l上任取一异于点Q的点Q1·连接AQ,AQ1,A1Q1,BQ1.·Q1则|AQ1|+|BQ1|=|A1Q1|+|BQ1|＞|A1B|=|A1Q|+|BQ|=|AQ|+|BQ|∴点Q使|AQ|+|BQ|最小.∵A(1,2)∴A1(2,1)又B(2,4)∴直线A1B方程为x=2｛x=2y=x由｛x=2y=2得即Q(2,2)∴直线l上的点Q使|AQ|+|BQ|最小. 归纳总结已知平面内有两个定点A、B和一条定直线l1、当A与B在直线l异侧时，线段AB与l的交点P使|PA|+|PB|最小,且最小值为|AB|.2、当A、B在直线l的同侧时，作A(或B)关于l的对称点A1(或B1),则线段A1B(或AB1)与l的交点P使|PA|+|PB|最小,且最小值为|A1B|(|AB1|).练习已知直线l：x+y=0,点A(–3,0),B(0,–5).试在l上求一点P使|PA|+|PB|最小.··ABlP·P··lABA1 BAM解：以公路为x轴，以M村为原点，建立直角坐标系（如图）XYA(–500,500√3)B(400√3,400)则作A关于x轴的对称点A1A1A1(–500,–500√3)∴连A1B交x轴于C，C·则C使|CA|+|CB|最小。√3,400)又B（400∴kA1B=4+53√3√4+5∴直线A1B的方程为3=√y+5004+53√3√4+5(x+500)由y=0，得x=316∴C(316,0)答：当C处选在M村正东316米时可使修路费用最低。注︱坐标法的应用 y=√x2+6x+18+x2－10x+26√解：(x+3)2+(0－3)2√=√(x－5)2+(0－1)2+求函数y=√x2+6x+18+x2－10x+26√的最小值及对应x的值。则y表示动点M(x,0)到定点A(-3,3)和B(5,1)距离之和，即直线y=0上。的点到两点A、B的距离之和XYO··AB而A、B位于直线y=0的同侧故作点A关于y=0的对称点A1·A1∴A1(–3,–3)连A1B交y=0于P，P则P使|PA|+|PB|=|A1B|最小，即y最小值为|A1B|由A1(–3,–3)B(5,1)得由y=0得x=3∴P(3,0)∴当x=3时y取最小值√54|A1B|=√54A1B方程为y=(x-3)12且注：等价转化、数形结合例3： 课堂小结：1、同一平面内，在定直线l上求点P使P到两定点A、B距离和最小的方法。2、探究过程中:（1）坐标法使数和形有机的结合起来，充分体现了数形结合的思想。（2）类比联想和等价转化使问题的解决找到了突破口。 作业1、课外实践：请从身边生活中搜集一个今天所讨论问题的实例。2、思考探索：平面内有一定直线l和两个定点A、B，(1)若A、B两点至少有一个点在直线上时，如何求点使其到两定点距离和最小？(2)直线上是否存在点P使|PA|+|PB|最大?(3)如何在l上求一点P使|PA|－|PB|最大？已知l:x+y﹣3=0,A(-2,0)B(1,1)C(2,4)(1)在l上求一点P使|PB|+|PC|最小。(2)在l上求一点Q使|QA|+|QB|最大。