高中数学数学归纳法课件

课题引入不完全归纳法 费马（Fermat）是17世纪法国著名的数学家，他曾认为，当n∈N时，一定都是质数，这是他观察当n＝0，1，2，3，4时的值都是质数，提出猜想得到的．半个世纪后，18世纪伟大的瑞士科学家欧拉（Euler）发现＝4294967297＝6700417×641，从而否定了费马的推测．没想到当n＝5这一结论便不成立． 举例说明：一个数列的通项公式是：an=(n2－5n+5)2请算出a1=，a2=，a3=，a4=猜测an＝?由于a5＝25≠1，所以猜测是不正确的所以由不完全归纳法得到的结论不一定可靠1111猜测是否正确呢？ 2.3数学归纳法 问题情境三多米诺骨牌课件演示 思考：这个游戏中，能使所有多米诺骨牌全部倒下的条件是什么？多米诺骨牌（domino）是一种用木制、骨制或塑料制成的长方形骨牌。玩时将骨牌按一定间距排列成行，轻轻碰倒第一枚骨牌，其余的骨牌就会产生连锁反应，依次倒下。 只要满足以下两个条件，所有多米诺骨牌就能全部倒下：（2）任意相邻的两块骨牌，前一块倒下一定导致后一块倒下。（依据）条件（2）事实上给出了一个递推关系：当第k块倒下时，相邻的第k+1块也倒下。（1）第一块骨牌倒下；（基础） 定义：证明一个与正整数n有关的命题，可按下列步骤进行：当n取第一个值n0(n0N*)时命题成立(归纳奠基）；2.假设当n=k(kN*，k≥n0)时命题成立，证明当n=k+1时命题也成立(归纳递推）。这种证明方法就叫做______________。数学归纳法数学归纳法 证明一个与正整数n有关的数学命题关键步骤如下：这种证明方法叫做数学归纳法(1)证明当n取第一个值n0时命题成立完成这两个步骤后,就可以断定：命题对从开始的所有正整数n都成立(2)假设当时,命题成立证明当时,命题也成立（基础）（依据） 验证n=n0时命题成立若n=k(k≥n0)时命题成立,证明n=k+1时命题也成立.归纳奠基归纳递推命题对从n0开始所有的正整数n都成立 根据(1)(2)可知对任意正整数n猜想都成立.证明：(2)假设n=k时猜想成立即1k=ak 思考：你认为证明数列的通项公式这个猜想与上述多米诺骨牌游戏有相似性吗？你能类比多米诺骨牌游戏解决这个问题吗？ 多米诺骨牌游戏的原理这个猜想的证明方法（1）第一块骨牌倒下。（2）若第k块倒下时，则相邻的第k+1块也倒下。根据（1）和（2），可知不论有多少块骨牌，都能全部倒下。（1）当n=1时猜想成立。（2）若当n=k时猜想成立，即，则当n=k+1时猜想也成立，即。根据（1）和（2），可知对任意的正整数n，猜想都成立。已知数列 证明①当n=1时，左边＝1＝右边,等式显然成立。例证明：数学运用递推基础递推依据②假设当n=k时等式成立，即那么,当n=k+1时，有这就是说，当n=k+1时,等式也成立。根据①和②，可知对任何nN*等式都成立。 例2、用数学归纳法证明：1+3+5+…+(2n-1)＝n2(2)假设n＝k时，等式成立，即(1)n＝1时，左边=1，右边=1，等式成立；1+3+5+…+(2k-1)＝k2那么当n＝k+1时，∴由①、②可知对任何n∈N*时，等式都成立需要证明的式子是?1+3+5+…+(2k-1)+（2k+1）＝k2+（2k+1）＝（k+1）2这就是说，当n=k+1时，等式也成立 用数学归纳法证明恒等式的步骤及注意事项：①明确首取值n0并验证真假。（必不可少）②“假设n=k时命题正确”并写出命题形式。③　分析“n=k+1时”命题是什么，并找出与“n=k”时命题形式的差别。弄清左端应增加的项。④　明确等式左端变形目标，掌握恒等式变形常用的方法：乘法公式、因式分解、添拆项、配方等，并用上假设。 思考1：试问等式2+4+6+…+2n＝n2+n+1成立吗？某同学用数学归纳法给出了如下的证明，请问该同学得到的结论正确吗？解:设n＝k时成立，即这就是说，n＝k+1时也成立2+4+6+…+2k＝k2+k+1则当n=k+1时2+4+6+…+2k+2(k+1)＝k2+k+1+2k+2＝(k+1)2+(k+1)+1所以等式对任何n∈N*都成立事实上，当n＝1时，左边＝2，右边＝3左边≠右边，等式不成立该同学在没有证明当n=1时，等式是否成立的前提下，就断言等式对任何n∈N*都成立，为时尚早 2.3数学归纳法下面是某同学用数学归纳法证明命题的过程.你认为他的证法正确吗?为什么?(1).当n=1时,左边=,右边=(2).假设n=k时命题成立即那么n=k+1时,左边=右边,即n=k+1时,命题也成立.由(1)(2)知,对一切自然数,命题均正确.思考2 证明：①当n=1时，左边＝右边＝②假设n=k时，等式成立，那么n=k+1时等式成立这就是说，当n=k+1时，等式也成立根据（1）和（2），可知等式对任何n∈N＊都成立即第二步的证明没有在假设条件下进行，因此不符合数学归纳法的证明要求思考3：下面是某同学用数学归纳法证明等式成立的过程,它符合数学归纳法的证明要求吗？为什么？（n∈N＊）nn2112121212132-=＋＋＋＋L 因此，用数学归纳法证明命题的两个步骤，缺一不可。第一步是递推的基础，第二步是递推的依据。缺了第一步递推失去基础；缺了第二步，递推失去依据，因此无法递推下去。 思考：步骤(1)中n取的第一个值n0一定是1吗？为什么？答：不一定举例说明：用数学归纳法证明n边形的对角线的条数是此时n取的第一值 2.数学归纳法证明一个与正整数有关的数学命题的步骤是：（1）证明当取第一个值（如或2等）时命题成立递推基础（2）假设时命题成立证明时命题也成立递推依据在完成了这两步骤以后，就可以断定命题对于从n0开始的所有正整数n都成立1.数学归纳法适用范围:仅限于与正整数有关的数学命题3.数学归纳法优点：克服了完全归纳法的繁杂、不可行的缺点，又克服了不完全归纳法结论不可靠的不足，是一种科学方法，使我们认识到事情由简到繁、由特殊到一般、由有限到无穷。课堂小结 再见！