高中数学课件 圆与方程

阶段复习课第四章 请你根据体系图快速回顾本章内容，把各序号代表的含义填到对应的横线上，并构建出清晰的知识网络. 题型一求圆的方程【典例1】已知两点P1(4,9)和P2(6,3),求以P1P2为直径的圆的方程.【解析】方法一：设圆心C(a,b),半径为r,则由中点坐标公式,得C(5,6).再由两点距离公式,得r=|CP1|=.所以所求圆的方程是(x-5)2+(y-6)2=10. 方法二：设P(x,y)是圆上不同于P1,P2的任意一点,因为直径所对的圆周角是直角,所以PP1⊥PP2.(1)当直线PP1和PP2的斜率都存在时,=-1.所以,所以(x-5)2+(y-6)2=10.①(2)当PP1,PP2的斜率有一个不存在时,有x=4或x=6,这时点P的坐标是(4,3)或(6,9),它们都满足方程①,又P1(4,9),P2(6,3)两点坐标也满足方程①,所以所求圆的方程为(x-5)2+(y-6)2=10. 【典例2】已知点A(0,1),B(2,1),C(3,4),D(-1,2),问这四点能否在同一个圆上?试说明理由. 【解析】设经过A,B,C三点的圆的方程为(x-a)2+(y-b)2=r2,则解得所以经过A,B,C三点的圆的方程为(x-1)2+(y-3)2=5.将点D的坐标代入上述方程,可得等式成立,所以点D在经过A,B,C三点的圆上,即A,B,C,D四点在同一个圆上,圆的方程为(x-1)2+(y-3)2=5. 【技法点拨】1.圆的方程的两种形式(1)标准方程：(x-a)2+(y-b)2=r2(r>0),其中圆心为(a,b),半径为r.(2)一般方程：x2+y2+Dx+Ey+F=0(D2+E2-4F>0),其中圆心为半径 2.圆的方程的求法及步骤(1)确定圆的方程的主要方法是待定系数法或几何法.即列出关于a,b,r的方程组,求a,b,r或直接求出圆心(a,b)和半径r.(2)用待定系数法求圆的方程的一般步骤：①设：根据题意,设所求的圆的方程为(x-a)2+(y-b)2=r2或x2+y2+Dx+Ey+F=0.②列：根据已知条件,建立关于a,b,r或D,E,F的方程组.③解：解方程组,求出a,b,r或D,E,F的值,并把它们代入所设的方程中去,就得到所求圆的方程. 题型二直线与圆的位置关系【典例3】已知直线l：y=2x-2,圆C：x2+y2+2x+4y+1=0,请判断直线l与圆C的位置关系,若相交,则求直线l被圆C所截的线段长. 【解析】圆心C为(-1，-2)，半径r=2.圆心C到直线l的距离所以直线l与圆C相交.设交点为A，B，所以所以|AB|=所以直线l被圆C所截的线段长为 【技法点拨】1.直线与圆的位置关系及判定方法直线与圆的位置关系有三种：相交、相离、相切,其判断方法有两种：代数法(通过解直线方程与圆的方程组成的方程组,根据解的个数来判断)、几何法(由圆心到直线的距离d与半径长r的大小关系来判断). 2.直线与圆的三种位置关系的说明(1)当直线与圆相离时,圆上的点到直线的最大距离为d+r,最小距离为d-r,其中d为圆心到直线的距离.(2)当直线与圆相交时,圆的半径长、弦心距、弦长的一半构成直角三角形. (3)当直线与圆相切时,经常涉及圆的切线.①若切线所过点(x0,y0)在圆x2+y2=r2上,则切线方程为x0x+y0y=r2;若点(x0,y0)在圆(x-a)2+(y-b)2=r2上,则切线方程为(x0-a)(x-a)+(y0-b)(y-b)=r2.②若切线所过点(x0,y0)在圆外,则切线有两条.提醒：解题时若用到直线的斜率,则要注意斜率不存在的情况也可能符合题意. 题型三圆与圆的位置关系【典例4】设集合M={(x,y)|x2+y2≤25},N={(x,y)|(x-a)2+y2≤9},若M∪N=M,则实数a的取值范围是.【解析】集合N表示的区域是以N(a,0)为圆心,半径为3的圆(称圆N)的内部(包括圆上).集合M表示的区域是以M(0,0)为圆心,半径为5的圆(称圆M)的内部(包括圆上).又因为M∪N=M,所以N⊆M,即圆N在圆M的内部(包括边界),所以|NM|≤|r1-r2|=2,所以|a|≤2,所以-2≤a≤2.答案：[-2,2] 【典例5】(2013·福州高一检测)已知圆x2+y2-4ax+2ay+20(a-1)=0.(1)求证：对任意实数a,该圆恒过一定点.(2)若该圆与圆x2+y2=4相切,求a的值. 【解析】(1)将圆的方程整理为(x2+y2-20)+a(-4x+2y+20)=0,令可得所以该圆恒过定点(4,-2). (2)圆的方程可化为(x-2a)2+(y+a)2=5a2-20a+20=5(a-2)2,所以圆心为(2a,-a),半径为|a-2|.若两圆外切，则即|a|=2+|a-2|,由此解得若两圆内切，则即由此解得综上所述，两圆相切时，a=或. 【技法点拨】1.圆与圆的五种位置关系、判定方法及常见的圆系方程(1)圆与圆的位置关系有5种,分别是外离,外切,相交,内切和内含.(2)判定方法有：外离时|O1O2|>r1+r2,外切时|O1O2|=r1+r2,相交时|r1-r2|