§5.3等比数列
§5.3等比数列考点探究·挑战高考考向瞭望·把脉高考双基研习·面对高考
双基研习•面对高考基础梳理1．等比数列的相关概念及公式相关名词等比数列{an}的相关概念及公式定义如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比都等于__________，那么这个数列叫作等比数列，这个常数叫作等比数列的公比．同一个常数
相关名词等比数列{an}的相关概念及公式通项公式an＝_______等比中项如果在a与b中间插入一个数G，使得a，G，b成________，那么称G为a、b的等比中项，且有G＝________.前n项和公式Sn＝_________________________a1qn－1等比数列
思考感悟1．b2＝ac是a，b，c成等比数列的什么条件？提示：b2＝ac是a，b，c成等比数列的必要不充分条件，因为当b＝0，a，c至少有一个为零时，b2＝ac成立，但a，b，c不成等比，反之，若a，b，c成等比，则必有b2＝ac.
2．等比数列的性质(1)等比数列{an}满足________________时，{an}是递增数列；满足_________________时，{an}是递减数列．
(2)有穷等比数列中，与首末两项等距离的两项的积____．特别地，若项数为奇数时，还等于______的平方．(3)对任意正整数m、n、p、q，若m＋n＝p＋q，则___________.特别地，若m＋n＝2p，则________.相等中间项am·an＝ap·aqa＝am·an
思考感悟2．数列{an}的前n项和为Sn，若Sn＝aqn＋b(a，b∈R)，{an}是等比数列，则a，b满足的条件是什么？
课前热身1．在等比数列{an}中，a5＝3，则a3·a7等于()A．3B．6C．9D．18答案：C2．(2011年南阳调研)设a1＝2，数列{an＋1}是以3为公比的等比数列，则a4的值为()A．80B．81C．54D．53答案：A
3．(2010年高考重庆卷)在等比数列{an}中，a2010＝8a2007，则公比q的值为()A．2B．3C．4D．8答案：A4．(教材习题改编)设{an}是等比数列，a1＝2，a8＝256，则a2＋a3＝________.答案：125．若数列{an}满足：a1＝1，an＋1＝2an(n∈N＋)，则Sn＝________.答案：2n－1
考点探究•挑战高考考点突破等比数列的判定及证明证明一个数列是等比数列的方法主要有两种：一是利用等比数列的定义，即证明＝q(q≠0，n∈N＋)；二是利用等比中项法，即证明a＝anan＋2≠0(n∈N＋)．在解题中，要注意根据欲证明的问题，对给出的条件式进行合理地变形整理，构造出符合等比数列定义式的形式，从而证明结论．判断一个数列不是等比数列只需举出一个反例即可．
例1(2009年高考全国卷Ⅱ)设数列{an}的前n项和为Sn，已知a1＝1，Sn＋1＝4an＋2.(1)设bn＝an＋1－2an，证明：数列{bn}是等比数列；(2)求数列{an}的通项公式．【思路点拨】本题第(1)问将an＋2＝Sn＋2－Sn＋1代入可以得到an的递推式，再由bn＝an＋1－2an代入即证；第(2)问将bn的通项公式代入bn＝an＋1－2an，可得an的递推式，再依照题型模式求解即可．
【解】(1)证明：由已知有a1＋a2＝4a1＋2，解得a2＝3a1＋2＝5，故b1＝a2－2a1＝3，又an＋2＝Sn＋2－Sn＋1＝4an＋1＋2－(4an＋2)＝4an＋1－4an，于是an＋2－2an＋1＝2(an＋1－2an)，即bn＋1＝2bn.因此数列{bn}是首项为3，公比为2的等比数列．
等比数列中基本量的计算等比数列基本量的计算是等比数列中的一类基本问题，解决此类问题的关键是熟练掌握等比数列的有关公式，并灵活运用，在运算过程中，还应善于运用整体代换思想简化运算的过程．尤其要注意的是，在使用等比数列的前n项和公式时，应根据公比q的情况进行分类讨论．
例2(1)(2010年高考江西卷)等比数列{an}中，|a1|＝1，a5＝－8a2，a5>a2，则an＝()A．(－2)n－1B．－(－2)n－1C．(－2)nD．－(－2)n(2)(2010年高考辽宁卷)设Sn为等比数列{an}的前n项和，已知3S3＝a4－2,3S2＝a3－2，则公比q＝()A．3B．4C．5D．6
【思路点拨】根据题意，建立关于首项a1和公比q的方程组求解．
【答案】(1)A(2)B(3)B【名师点评】等比数列中有五个量a1、n、q、an、Sn，一般可以“知三求二”，通过列方程(组)求解．
变式训练1数列{an}中，a1＝1，a2＝2，数列{an·an＋1}是公比为q(q>0)的等比数列．(1)求使anan＋1＋an＋1an＋2>an＋2an＋3(n∈N＋)成立的q的取值范围；(2)若bn＝a2n－1＋a2n(n∈N＋)，求{bn}的通项公式．
等比数列的前n项和及其性质等比数列的性质可以分为三类：一是通项公式的变形，二是等比中项的变形，三是前n项和公式的变形，根据题目条件，认真分析，发现具体的变化特征即可找出解决问题的突破口．
例3(2011年南阳调研)在等比数列{an}中，a1最小，且a1＋an＝66，a2·an－1＝128，前n项和Sn＝126，(1)求公比q；(2)求n.【思路点拨】根据等比数列的性质，a2·an－1＝a1·an，由此可得关于a1、an的方程，结合Sn＝126可求得q和n.
等比数列的综合问题在解决等差、等比数列的综合题时，重点在于读懂题意，而正确利用等差、等比数列的定义、通项公式及前n项和公式是解决问题的关键．
例4
【思路点拨】对于(1)，根据an与Sn的关系可求得k的值，从而得到{an}的通项公式；对于(2)，可先求出{bn}的通项公式，然后用错位相减法求出Tn，再结合Tn的单调性证明不等式．
【失误点评】本题易弄不清“错位相减”的项数而致使解答错误．
解：(1)因为对任意的n∈N＋，点(n，Sn)均在函数y＝bx＋r(b>0且b≠1，b，r均为常数)的图像上．所以得Sn＝bn＋r，当n＝1时，a1＝S1＝b＋r，当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝bn＋r－(bn－1＋r)＝bn－bn－1＝(b－1)bn－1，又因为{an}为等比数列，所以r＝－1，公比为b，所以an＝(b－1)bn－1，
方法感悟方法技巧
2．方程观点以及基本量(首项和公比a1，q)思想仍然是求解等比数列问题的基本方法：在a1，q，n，an，Sn五个量中，知三求二．(如例2)3．等比数列的性质是等比数列的定义、通项公式以及前n项和公式等基础知识的推广与变形，熟练掌握和灵活应用这些性质可以有效、方便、快捷地解决许多等比数列问题．(如例3)
4．解决等比数列的综合问题时，首先要深刻理解等比数列的定义，能够用定义法或等比中项法判断或证明一个数列是等比数列；其次要熟练掌握等比数列的通项公式与前n项和公式，能够用基本量方法和等比数列的性质解决有关问题．(如例4)5．Sn＋m＝Sn＋qnSm.
失误防范1．把等比数列与等差数列的概念和性质进行类比，可以加深理解，提高记忆效率．注意三点：(1)等比数列的任何一项都不能为0，公比也不为0；(2)等比数列前n项和公式在q＝1和q≠1的情况下是不同的；(3)等比数列可看作是比等差数列高一级的运算，一般等差数列中的“和”、“差”、“积”形式类比到等比数列中就变成“积”、“商”、“幂”的形式．2．由an＋1＝qan，q≠0，并不能立即断言{an}为等比数列，还要验证a1≠0.
考情分析考向瞭望•把脉高考等比数列是每年高考必考的知识点之一，考查重点是等比数列的定义、通项公式、性质、前n项和公式，题型既有选择题、填空题，也有解答题，难度中等偏高．客观题主要考查对基本运算，基本概念
的掌握程度；主观题考查较为全面，在考查基本运算，基本概念的基础上，又注重考查函数与方程、等价转化等思想方法．预测2012年高考，等比数列的定义、性质、通项公式、前n项和公式仍是考查重点，应特别重视等比数列性质的应用．
规范解答例(本题满分12分)(2010年高考四川卷)已知等差数列{an}的前3项和为6，前8项和为－4.(1)求数列{an}的通项公式；(2)设bn＝(4－an)qn－1(q≠0，n∈N＋)，求数列{bn}的前n项和Sn.
【名师点评】(1)本题易失误的是：①解题时忽视公比q＝1的情形；②用“错位相减法”求和时，“错位”出错；③对“错位相减”后出现等比数列的项数判断出错．
(2)如果数列{an}是一个由等差数列{bn}及等比数列{cn}对应项之积组成的数列，即an＝bn×cn，则其前n项和的求解常用乘公比错位相减法，把问题转化为以求一个等比数列的前n项和或前n－1项和为主的求和问题．要注意错位相减后对剩余项可分为两部分，一是第一项与最后一项；二是中间项(等比数列)．在用错位相减法求和时，一定要处理好这三部分，否则就会出错．
名师预测
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