高中数学集合的概念课件人教版必修一

1.1集合的含义与表示（第二课时）2009.9.25 我们把研究对象统称为元素,把一些元素组成的总体叫做集合(简称为集).1.我们怎样来理解集合？知识回顾：集合的含义2.集合中的元素必须具备什么样的特征？集合中的元素具有三个特征：（1）确定性（2）互异性（3）无序性3.元素与集合的关系是怎样的？元素与集合的关系有两种:如果a是集A的元素，记作:如果a不是集A的元素，记作：∈或∉a∈Aa∉A例如，用A表示“1~20以内所有的整数”组成的集合，则有 数集符号自然数集(非负整数集)正整数集整数集有理数集实数集NN*或N+ZQR4.常见的数集有哪些？分别要怎样来表示？ 问题2：用自然语言描述一个集合往往是不简明的，如“在平面直角坐标系中，抛物线y=x^2上的点”组成的集合，那么，我们可以用什么方式表示集合呢？知识探究（一）集合的表示方法问题1：通过我们对课本的预习，我们知道，课本为我们提供了哪几种集合表示方法？ 问题3：(1)如何表示“地球上的四大洋”组成的集合?(2)如何表示“方程(x-1)(x+2)=0的所有实数根”组成的集合?（2）｛1,-2｝（1）｛太平洋，大西洋，印度洋，北冰洋｝思考1：这两个集合的元素分别是什么？思考2：这两个集合可以分别怎么表示？（1）太平洋，大西洋，印度洋，北冰洋（2）1,-2思考3：上述两种表示集合的方法是什么？列举法 把集合中的元素一一列举出来,并用大括号｛｝括起来表示.（注意：元素与元素之间用逗号隔开）思考4：列举法表示集合的基本模式是怎么样的？例1用列举法表示下列集合：(1)小于10的所有自然数组成的集合；(2)方程的所有实数根组成的集合；(3)由1~20以内的所有素数组成的集合.解：(1)A={0，1，2，3，4，5，6，7，8，9}.(2)B={0，1}.(3)C={2，3，5，7，11，13，17，19}.一个集合中的元素的书写一般不考虑顺序(集合中元素的无序性).1.确定性2.互异性3.无序性 思考1：这两个集合能不能用列举法表示?问题4:考察下列集合：（1）不等式的解组成的集合；（2）绝对值小于2的实数组成的集合.思考2：如何用数学式子描述上述两个集合的元素特征？思考3：上述两个集合还可以怎么表示？思考4：这种表示集合的方法叫什么？用集合所含元素的共同特征表示集合的方法.思考5：描述法表示集合的基本模式是什么？描述法 解：（１）设所求集合为Ａ，用描述法表示为Ａ＝｛　　　　　　　｝用列举法表示为Ａ＝｛　　　　　｝例2试分别用列举法和描述法表示下列集合：（1）方程的所有根组成的集合;（2）由大于１０小于２０的所有整数组成的集合（２）设所求集合为Ｂ，用描述法表示为Ｂ＝｛　　　　　　　｝用列举法表示为Ｂ＝{11,12,13,14,15,16,17,18,19｝ 课堂练习用适当的方法表示下列集合：（1）绝对值小于3的所有整数组成的集合；（2）在平面直角坐标系中以原点为圆心，横坐标上的点组成的集合；（3）所有奇数组成的集合；（4）由数字1，2，3组成的所有三位数构成的集合. 知识探究（三）思考1：与{}的含义是否相同？思考2：集合{1，2}与集合{（1，2）}相同吗？思考3：集合与集合相同吗？思考4:集合的几何意义如何？xyo 课堂小结这节课你有什么收获？还有哪些不理解？知识结构：集合的含义集合的表示：集合的含义元素的三要素：确定性、互异性、无序性自然语言字母表示列举法描述法 ⑴有限集：含有有限个元素的集合．⑵无限集：含有无限个元素的集合．集合的分类⑶空集：不含任何元素的集合. 2.若-3∈{a-3,2a+1,a2+1},求实数a的值.1.求集合{3，x,x2-2x}中，元素x应满足的条件。 回顾交流今天我们学习了哪些内容？集合元素的性质：确定性，互异性，无序性集合的含义常用数集及其表示集合的表示法：列举法、描述法元素与集合的关系：∊，∉ 大学期间康托尔主修数论，但受外尔斯特拉斯的影响,对数学推导的严格性和数学分析感兴趣。哈雷大学教授H.E.海涅鼓励他研究函数论。他于1870、1871、1872年发表三篇关于三角级数的论文。在1872年的论文中提出了以基本序列（即柯西序列）定义无理数的实数理论，并初步提出以高阶导出集的性质作为对无穷集合的分类准则。函数论研究引起他进一步探索无穷集和超穷序数的兴趣和要求。1872年康托尔在瑞士结识了J.W.R.戴德金，此后时常往来并通信讨论。1873年他估计，虽然全体正有理数可以和正整数建立一一对应，但全体正实数似乎不能。他在1874年的论文《关于一切实代数数的一个性质》中证明了他的估计，并且指出一切实代数数和正整数可以建立一一对应，这就证明了超越数是存在的而且有无穷多。在这篇论文中，他用一一对应关系作为对无穷集合分类的准则。格奥尔格·康托尔康托尔（GeorgCantor，1845-1918，德）德国数学家，集合论的创始者。1845年3月3日生于圣彼得堡（今苏联列宁格勒），1918年1月6日病逝于哈雷。其父为迁居俄国的丹麦商人。康托尔11岁时移居德国,在德国读中学。1862年17岁时入瑞士苏黎世大学,翌年转入柏林大学,主修数学，从学于E.E.库默尔、K.（T.W.）外尔斯特拉斯和L.克罗内克。1866年曾去格丁根学习一学期。1867年在库默尔指导下以数论方面的论文获博士学位。1869年在哈雷大学通过讲师资格考试，后即在该大学任讲师，1872年任副教授，1879年任教授。 康托尔在1878年这篇论文里已明确提出“势”的概念(又称为基数)并且用“与自身的真子集有一一对应”作为无穷集的特征。康托尔认为，建立集合论重要的是把数的概念从有穷数扩充到无穷数。他在1879～1884年发表的题为《关于无穷线性点集》论文6篇，其中5篇的内容大部分为点集论，而第5篇很长，此篇论述序关系，提出了良序集、序数及数类的概念。他定义了一个比一个大的超穷序数和超穷基数的无穷序列，并对无穷问题作了不少的哲学讨论。在此文中他还提出了良序定理（每一集合都能被良序），但未给出证明。在1891年发表的《集合论的一个根本问题》里，他证明了一集合的幂集的基数较原集合的基数大，由此可知，没有包含一切集合的集合。他在1878年论文中曾将连续统假设作为一个估计提出，其后在1883年论文里说即将有一严格证明，但他始终未能给出。在整数和实数两个不同的无穷集合之外，是否还有更大的无穷?从1874年初起,康托尔开始考虑面上的点集和线上的点集有无一一对应。经过三年多的探索，1877说，“我见到了，但我不相信。”这似乎抹煞了维数的区别。论文于1878年发表后引起了很大的怀疑。P.D.G.杜布瓦－雷蒙和克罗内克都反对，而戴德金早在1877年7月就看到,不同维数空间的点可以建立不连续的一一对应关系，而不能有连续的一一对应。此问题直到1910年才由L.E.J.布劳威尔给出证明。 19世纪70年代许多数学家只承认，有穷事物的发展过程是无穷尽的，无穷只是潜在的，是就发展说的。他们不承认已经完成的、客观存在着的无穷整体，例如集合论里的各种超穷集合。康托尔集合论肯定了作为完成整体的实无穷，从而遭到了一些数学家和哲学家的批评与攻击，特别是克罗内克。康托尔曾在1883年的论文和以后的哲学论文里对于无穷问题作了详尽的讨论。另一方面，康托尔创建集合论的工作开始时就得到戴德金、外尔斯特拉斯和D.希尔伯特的鼓励和赞扬。20世纪以来集合论不断发展，已成为数学的基础理论。他的著作有：《G.康托尔全集》1卷及《康托尔-戴德金通信集》等。康托尔是德国数学家，集合论的创始者。1845年3月3日生于圣彼得堡，1918年1月6日病逝于哈雷。康托尔11岁时移居德国，在德国读中学。1862年17岁时入瑞士苏黎世大学，翌年入柏林大学，主修数学，1866年曾去格丁根学习一学期。1867年以数论方面的论文获博士学位。1869年在哈雷大学通过讲师资格考试，后在该大学任讲师，1872年任副教授，1879年任教授。集合论是现代数学的基础，康托尔在研究函数论时产生了探索无穷集和超穷数的兴趣。康托尔肯定了无穷数的存在，并对无穷问题进行了哲学的讨论，最终建立了较完善的集合理论，为现代数学的发展打下了坚实的基础。