1.1.1正弦定理•教学目标知识与技能:通过对任意三角形边长和角度关系的探索，掌握止弦定理的内容及其证明方法;会运用正眩定理与三角形内角和定理解斜三角形的两类基本问题。过程与方法：让学生从已有的几何知识出发,共同探究在任意三角形屮，边与其对角的关系,引导学生通过观察，推导，比较，由特殊到一般归纳出正弦定理，并进行定理基本应用的实践操作。情感态度与价值观：培养学生在方程思想指导下处理解三角形问题的运算能力；培养学生合情推理探索数学规律的数学思思想能力，通过三角形函数、正弦定理、向量的数量积等知识I'可的联系来体现事物之间的普遍联系与辩证统一。•教学重点正弦定理的探索和证明及其基本应用。•教学难点已知两边和其屮一边的对角解三角形时判断解的个数。教学过程：—V复习准备：1.讨论：在直角三角形屮，边角关系有哪些？（三角形内角和定理、勾股定理、锐角三角函数）如何解直角三角形？那么斜三角形怎么办？2.由已知的边和角求出未知的边和角，称为解三角形.已学习过任意三角形的哪些边角关系？（内角和、大边对大角）是否可以把边、角关系准确量化？”引入课题：正弦定理二、讲授新课：1・教学正弦定理的推导：①特殊情况：直角三角形中的正弦定理：sin店-sinB=-sinC=l即CCabcc-=二•sinAsinBsinC②能否推广到斜三角形？（先研究锐角三角形，再探究钝角三角形）当AABC是锐角三角形时，设边AB上的高是CD,根据三角函数的定义，有CD=csin/^in,则1=_同理，—^-=——sinAsinBsinAsinC③*其它证法：证明一：（等积法）在任意△4BC当中S△仙c=丄dbsinC=丄dcsin3=1bcsinA.222两边同除以丄obc即得：厶=旦=-^.2sinAsinBsinC证明二：（外接圆法）如图所示，ZA=XD,—-—=―-—=CD=2R,sinAsinDhr同理=2R,^—=2R.sinBsinC
证明三;过点A作单位向量丿丄"力，由向量的加法可得AB=AC+CBJ-AB=J^AC+CB）:.j・AB=丿•昇C+j・CB彳网cos（9OO-A）=0+MG|cos（9OO-C）化csinA=asinC,即sinA~sinCb_c同理，过点C作丿丄BC,可得a_b_c从而sinAsinBsinC类似可推ill,当AABC是钝角三角形时，以上关系式仍然成立。（rti学生课后自己推导）①正弦定理内容：=亠=2RsinAsinBsinC简单变形；基本应用：己知三角形的任意两角及其一边可以求其他边；已知三角形的任意两边与其中一边的对角可以求其他角的正弦值.2.教学例题：①例1：在AABC屮，已知A=45°,B=60°,a二10cm,解三角形.②例2：AABOf,c=y/^,A=45°,d=2,求b和B,C.讨论：己知两边和其中一边的对角解三角形时，如何判断解的数量？思考后见（P&P9）3.小结：正弦定理的探索过程；正弦定理的两类应用；已知两边及一边对角的讨论.1.1.1正弦定理一、教学目标：熟练掌握正眩定理运用。培养学生发现数学规律的思维方法与能力；通过对定理的应用，培养学牛独立解决问题的能力和体会分类讨论和数形结合的思想方法.二、知识复习：⑴正弦定理：-^-=-^-=-^—=2RfsinAsinBsinC（2）推论：正余弦定理的边角互换功能①a=2/?sinA,b=2/?sinB,c=2/?sinC
②sirM唱,sinB=A,sinC=—2R①_=—二八八〜=2RsinAsinBsinCsin4+sinB+sinC②a:b:c=sinA:sin3:sinC三、典型例题讲解：（-2题先让学生练习、老师再讲解）1.在AABC中，已知q=5JNc=10,A=30°,则ZB等于（）A.105°B.60°C.15°D.105）或15°2.在Z\ABC屮，已知&=拆"=2,4=60°,则这样的三角形有个.亠、亠宀『（c2sinA-sinB,,z.3•在△ABC中，若a:b:c=\:3:5,求的值.sinC“亠rzasinA1.41•小解由条件一==—••sinA=—sinCcsinC55同理可得讪弓in—2sinA-sinBsinC2x-sinC——sinC55sinC5课堂练习:选择题1.一个三角形的两内角分别为45°与60°,如果45°角所对的边长是6,那么60°角所对的边的边长为（）•A.3a/6B.3^2C.3^3D.2后2.在厶ABC中，若其外接圆半径为R,则一定有（）A.-^―=-^―=—^―=2RB.asinB=2RsinAsinBsinCC.sinA=2aRD.b=RsinB3.在厶ABC中，—^―=—^―,则厶ABC—定是（）cosBcosAA.等腰三角形B.直角三角形C.等腰直角三角形D.等腰三角形或直角三角形ah解：在AABC中，•••=,：.acosA=bcosB9由正弦定理,cosBcosA得27?sinAcosA=27?sinBcosB,/•sin2A=sin23。•\2A=2B或2A+2B=180°,AA=B或A+B=90°。
故AABC为等腰三角形或直角三角形。二.填空题
2.在厶ABCd1，已知d=&b=6,且Smbc=12-J3,则。=丄b1—cosAa.firz.A口3.如果=-,那么△ABC是1-cosBb三、解答题B4.在△ABC屮、若AB=2,BC=5,面积Saabc=4,求sin—的值.，2114解由条件c=2.a=5,Smbc=—dcsinB=—x5x2sinB=5sinB=4sinB=—'225当B为锐角吋，cosB=-由sin2色=H=-sin-=—522525业门斗“命点d3宀.2〃1-cosB4・.B2V5当B为钝角时，cosB=——msin—==—・・sin—=5225255.在AABC中，ci,b,c,分别为内角A,B,C的对边，若Z?=2d,B=A+60°,求A的值.解・.•E=A+60°sinB=sin(A+60°)sirB=丄sin4+^-coA22又方=2a,27?sinB=47?sinA/.sinB=2sinA2sinA=—sinA+2V3cosA3sinA=V3cosAtanA=—,又•••0°V/1==>()2sinAsinBabasin2B1-cos2Bb21-cos2Ah2zsinB=(~rycos2Acos2Bh2
1-1.2余弦定理（第一课时）教学目标知识与技能：1.掌握余弦定理，并能解决一些简单的三角形度量问题2.能够运用余弦定理解决一些与测量和几何计算有关的实际问题过程与方法：1.学生在己有知识的基础上，通过对任意三角形边角关系的探究，发现并掌握三角形中的边长与角度Z间的一种数量关系一一余弦定理2.在探究学习的过程中，认识到余弦定理可以解决某些与测量和儿何计算有关的实际问题，帮助学生提高运用有关知识解决实际问题的能力情感、态度与价值观：1.通过对三角形边角关系的探允学习，经历数学探究活动的过程，培养探索精神和创新意识2.在运用余弦定理的过程屮，逐步养成实事求是、扎实严谨的科学态度，学习用数学的思维方式解决问题、认识世界3.通过本节的学习和运用实践，体会数学的科学价值、应用价值，进而领会数学的人文价值、美学价值，不断提高自身的文化素养教学重点：余弦定理的证明及应用教学难点：向量知识在证明余眩定理时的应用，与向量知识的联系过程教学过程一,创设情境,课题导入1.复习：已知A=30,C=45"=16,解三角形（学生板演）2.若将条件C=45改成c=8如何解三角形？设计意图：把研究余弦定理的问题和平面儿何中三角形全等判定的方法建立联系，沟通新旧知识的联系，引导学生体会量化的思想和观点师生活动：用数学符号来表达“已知三角形的两边及其夹角解三角形”：已知AABC,BC=a,AC=b和角C,求解引出课题：余弦定理二.设置问题,知识探究1.探究：我们可以先研究计算第三边长度的问题，那么我们乂从哪些角度研究这个问题能得到一个关系式或计算公式呢？设计意图：期望能引导学生从各个不同的方面去研究、探索得到余弦定理师生活动：从某一个角度探索并得出余弦定理3.考虑用向量的数量积，如图
设CB=a.CA=b,AB=c,那么c=a—方，/.c=c-c=(a-b)-(a-b)=a2+/?2-2abcosC即c2=a2+b2-labcosC引导学生证明：a2=b2+c2-2bccosAb1=/+c2一2accosB1.余弦定理：三角形中任何一边的平方等于其他两边的平方和减去这两边与它们的夹角的余弦的积的两倍三.典型例题剖析1.例1.在AABC中，已知A=120,b=2cgc=2cm,解三角形分析：已知三角形的两边和它们的夹角解三角形，基本思路是先由余弦定理求出第三边，再由正弦定理求其各角变式引申：在\ABC中，已知A=30,b=5,c=5W，解三角形1.探究：余弦定理是关于三角形三边和一个角的一个关系式，把这个关系式做某些变形，是否可以解决其他类型的解三角形问题？设计意图：(1)引入余弦定理的推论；(2)对一个数学式子做某种变形，从而得到解决其他类型的数学问题的方法，这是一种研究问题的方法师生活动：对余眩定理做某些变形，研究变形后所得关系式的应用，因此应把重点引导到余弦定理的推论上去，即讨论已知三边求角的问题引入余弦定理的推论：cosA="+°_矿，cosB=〃+L_b,cosC=a~C2bc2ac2ab公式作用：(1)已知三边求三角(2)若A为直角，贝iJcosA=0,从而戾+/=/；若A为锐角，则cosA>0,从而h2+c2>a2；若A为钝角，贝ijcosA1即n$2时""-】才有意义.1.S"与①之间的关系：由S"的定义可知,当n=l时,S/；当心2时,=p,(/7=l)即Q”js“_S—(/in2).说明：数列的前n项和公式也是给出数列的一种方法.三、例题讲解
例3已知数列&“｝的第1项是1,以后的各项由公式"°心给出，写出这个数列的前5项.分析：题中已给出伉｝的第1项即®T,递推公式："©t解：据题意可知:+—1-例4已知数列W中，4=1，。2=2,勺=3色_]+陽_25$3），试写出数列的前4项解：由已知得坷=1®=2,他=3色+。1例5已知®=2,£+1=2%写出前5项，并猜想色.法一：心a2=2x2=2"^3=2x2-=2、，观察可得an=2H亠=2法二：由°”+】='a“.・.色=2%即an_xanan,an9HXZX心％…….严_2”-|化an-\an-24l3%.an=-T~x=2n••例6己知数列的前n项和，求数列的通项公式:C2Q2(1)n=n+2n；(2)n=n-2n-l.解：(1)①当n>2时，二*“・S”_]=(n2+2n).[(n・i)2+2(n・i)]=2n+l；①当n=l时，®二S]=「+2X1=3；②经检验,当n=l时,2n+l=2X1+1=3,・•・°”=2n+l为所求.(2)①当n22日寸，a"=-二-】=(n2-2n-1)-[(n-1)2+2(n-l)-ll=2n-3；②当n=l时，=5i=l2-2Xl-l=-2；
③经检验，当n=l时，2n-3=2X1-3=-1^-2,[-2(x1)—3(22)为所求.【II.课堂练习课本P36练习2I也课吋小结本节课学习了以下内容:1.递推公式及其用法；2.通项公式反映的是项与项数之间的关系，而递推公式反映的是相邻两项（或n项）之间的关系.V.课后作业习题2o1A组的第4、6题学校：临清二屮学科：数学编写人：赵云雨一审：李其智二审：马英济§2.1.2数列的概念与简单表示法课前预习1.数列1，°丄°丄…的一个通项公式是（）A.2b.C.2D.2•已知%一©一3=°,则数列血｝是）中学学科网A.递增数列B.递减数列C.常数列D.摆动数列3.数列的通项公式为色=3/—2%,则数列伉｝各项中最小项是（A.第4项B.第5项C.第6项D.第7项4.已知数列的通项公式为色=力一8兀+15,则3（）A.不是数列仏｝中的项B.只是数列仏中的第2项C.只是数列S'中的第6项D.是数列伉中的第2项或第6项5数列136」0,兀,2山2&…由给岀的数Z间的关系可知无的值是（）中学学科网A.12B.15C.17D.181.下列说法正确的是（「）数列1,3,5,7可表示为｛135,7｝数列1,Q,—厂2与数列一2,—1,0,1是相同的数洌严1+丄数列I几丿的第£项是kD.数列可以看做是一个•定义域为正整数集的函数
1.数列U｝的前n项和■严2/-3n，则an=LB2.A3.B4.D5.B6.C7~=4,7-5课内探究1.根据各个数列的首项和递推公式，写岀它的前五项，并归纳出通项公式(1)®=0,°"+1=勺+(2n-l)(nGN)；2an(2)®=1,%+i=色+2(nGN)；(3)®=3,%+i=3色一2(nGN).解：(1)°2]=0,°2=],他=4=9,ab=16,・•・°"=(n—I)';
J1n=l・・/”=(2・3心n>2・an—a｝•2,,_1=2fl••课后提咼1.设数列72,V5,2V2,VH,，则2石是这个数列的A.第六项B.第七项C.第八项D.第九项2.数列辺」的前n项积为"，那么当时，血｝的通项公式为/+1尸°二斥A.d“=2/z-lB.a"=n~C.D.5一1)「3.若一数列的前四项依次是2,0,2,0,则下列式子中，不能作为它的通项公式的是()。(A)an=1—(―l)n(B)an=l+(—l)n+1rm(C)an=2sin22(D)an=(l—cosnn)+(n—l)(n—2)4.在数列U｝中，色+i=°“+2+色，q=2,色=5,则a6的值是A.~3B.-HCTD.193j_5_32_5.数列5,2，H，7，n，的一个通项公式是。6.数列匕｝的前n项和Sti=2n2-3nf则色二。7.数列他｝满足4+^2++色=2用一3斤+1,则G4+Q5++4()=°8.根据下列5个图形及相应点的个数的变化规律，猜测第斤个图中有个点.(1)(2)(3)(4)(5)9-已知数列叫的前n项和S”=“S,数列覘的前“项和7>3宀2化⑴右缸求"的值；⑵取数列仏」中的第1项，第3项，第5项，构成-个新数列©｝,求数列｛即的通项公式.
10・（1）已知数列何｝的前n项和公式,求何｝的通项公式①S”=2n2+3?n+2H—1—4、BDDA5、Uno3〃+26、Q“=4n_57、1618>8用-n+1、9、(1)36(2)Cn=12/2-1110(1)an=4/2+1aJ5（心）⑵、4・3"S2,wN)
等差数列教案教学目标：知识与能力：理解等差数列的定义；掌握等差数列的通项公式；培养学生的观察、归纳能力,应用数学公式的能力及渗透函数、方程思想过程与方法：经历等差数列的产生过程和应用等差数列的基本知识解决问题的能力。情感态度与价值观：通过等差数列概念的归纳概括，培养学生的观察、分析能力，体验从特殊到一般认知规律，培养学生积极思维，追求新知的创新意识。教学重点：理解等差数列的概念，掌握等差数列的通项公式，体会等差数列与一次函数之间的联系。教学难点：概括通项公式推导过程中体现出的数学思想方法。教学准备：根据本节知识的特点，为突岀重点、突破难点，增加教学容量，便于学生更好的理解和掌握所学的知识，我利用计算机辅助教学。教学过程：创设情境，课题导入复习上节课学习的数列的定义及数列的表示法。这些方法从不同的角度反映了数列的特点，下面我们来看这样的一些数列：（大屏幕显示课本41页的四个例子）⑴、05101520（2）、48535863⑶、1815.51310.585.5⑷、1007210144102161028810360提出问题：以上四个数列有什么共同的特征？请同学们互相讨论。（二）设置问题，形成概念等差数列：一般地，如果一个数列从第二项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数,那么这个数列就叫做等差数列。这个常数就叫做等差数列的公差，常用字母d表示。提出问题：等差数列的概念中的几个关键点是什么？数学语言：an~an-\=（斤》2）或an+l-an=d（n理解等差数列的概念是本节课的重点，为了加深对概念的理解，让学生讨论课本45页练习第4题，教师总结。（三）等差数列的通项公式提出问题：如同我们在前一节看到的，能否确定一个数列的通项公式对研究这个数列具有重要的意义。数列⑴、⑵、⑶、⑷的通项公式存在吗？如果存在，分别是什么？再问：若一个无穷等差数列｛〜｝,首项是公差为d,怎样得到等差数列的通项公式？（引导学生根据等差数列的定义进行归纳）
至此，让学生自己猜想通项公式是什么，使学生体会归纳、猜想在得出新结论屮的作用。此处由归纳得出的公式只是一个猜想，严格的证明需要用数学归纳法的知识，在这里，我们暂且先承认它，我们能否再探索一下其他的推导方法？（然后学生在教师的引导下一起探索另外的推导方法）叠加法：｛色｝是等差数列，所以:5一S=dan-\-5—2=〃an-2-an-3=d两边分别相加得：①一⑷="一1）〃所以：陽=均+（〃一1）〃迭代法：｛色｝是等差数列，贝II：Cin=Cin-\+〃=an-2+2d=^_3+3d®+（＞_l）d所以：色=纠+5-1）〃由以上关系还可得：4”=4+（加_1）〃即：a\贝|J：an=ai=一（加一l）〃+O-l）〃=5+（/?-m）d即得等差数列的第二通项公式：5=佥+（四）通项公式的应用：观察通项公式并提出问题：要求等差数列的通项公式只需要求谁？再追问：通项公式中有几个未知量？再追问：要求其中的一个，需要知道其余的几个？例1、等差数列｛%｝中，⑴已知:求勺（2）己知:色=21（3）已知:=27⑷已知:a7=8
(题目比较简单，照顾到全体学生，使学生深刻掌握等差数列的通项公式，从而打好基础。)例2、1、求等差数列8、5、2的第20项解：由〃=5-8=-3心20得：如=8+(20_l)x(_3)=792、一401是不是等差数列-5、-9、-13……的项？如果是，是第几项？解：由4=一5d=-9-(-5)=-4得色=-5—4(/?-1)=-4n-1由题意知，本题是要回答是否存在正整数n,使得：-401=4^2-1成立解得："=100即一401是这个数列的第100项。例3、某市出租车的计价标准为1.2元/km,起步价为10元，即最初的4km(不含4km)计费为10元，如果某人乘坐该市的出租车去往14km处的目的地，且一路畅通，等候时间为0,需要支付多少车费？分析：可以抽象为等差数列的数学模型。4km处的车费记为：®=11・2公差d=\.2当出租车行至目的地即14km处时，n=ll求®|所以：绚1=11・2+(11-1)x1.2=23.2例4：数列=3n~5是等差数列吗？(引导学生根据等差数列的定义求解，就是看①厂％(n~2)是不是一个与n无关的常数。)an~an-\=3n-[3(n-l)-5]=3所以：｛an｝是等差数列引申：已知数列｛〜｝的通项公式a”=q,其中〃、彳为常数，这个数列是等差数列吗？若是，首项和公差分别是多少？(指定学生求解)解：取数列｛%｝中任意两项色和尼2)色-an-\=(〃+纟)_[/心-1)+纟]=pn+q_(pn_p+q)=p它是一个与n无关的常数，所以｛a"｝是等差数列？并且：％=p+qd=p小结：上节课我们己学习过数列是一种特殊的函数，那么由此题启示，等差数列是哪一类函数？等差数列是关于正整数n的一次函数，还可以是常数函数，当d=0的时候。通过例三，我们能否总结一下，到目前为至我们有哪些方法来判断一个数列是等差数列?（学生讨论、回答，教师补充）
一是利用定义：Cl-~a^=d-2）或~an=d（n$i）二是利用通项公式:咕pxqgR）是关于n的一次函数或常数函数。课堂检测反馈：求等差数列10、8、6…的第20项。一20是不是等差数列0、3.5、一7…的项？如果是，是第几项？如果不是，说明理由。等差数列｛色｝中,已知：=1°即=31求⑷和d等差数列｛%｝中,已知：冬=6as=15求等差数列｛%｝中，己知：a4==7求°3、（五）课时小结：（学生自己归纳、补充，培养学生的口头表达能力和归纳概括能力，教师总结）等差数列的定义：5_an-\=d(n>2)或an^-an=d(性1)等差数列的通项公式：°”+（斤一1）〃或6+（刃一加）〃（六）课后作业：课本45页习题2.2（A组）3、42.2.1等差数列导学案一、课前预习：1、预习目标：①通过实例，理解等差数列的概念；探索并常握等差数列的通项公式；②能在具体的问题情境中，发现数列的等差关系并能用有关知识解决相应的问题;③体会等差数列与一次函数的关系。2、预习内容：(1)、等差数列的定义：一般地，如果一个数列从起，每一项与它的前一项的差等于同一个，那么这个数列就叫等差数列，这个常数叫做等差数列的，通
常用字母d表示。(1)、等差屮项：若三个数⑦人〃组成等差数列，那么A叫做。与“的，即2A=或。(2)、等差数列的单调性：等差数列的公差时，数列为递增数列；时,数列为递减数列；时，数列为常数列；等差数列不可能是。(3)、等差数列的通项公式：5=o二、课内探究学案例1、1、求等差数列8、5、2的第20项解：由4=*d=5-8=-3n=20得：如=8+(20—1)x(—3)=-492、一401是不是等差数列-5、-9、-13……的项？如果是，是第儿项？解：由绚=一5d=-9-(-5)=-4得an=-5-4(n-l)=-4n-l由题意知，本题是要回答是否存在正整数n,使得：-401=4刃-1成立解得：nig即—401是这个数列的第go项。例2、某市出租车的计价标准为1.2元/km,起步价为10元，即最初的4km(不含4km)计费为10元，如果某人乘坐该市的出租车去往14km处的目的地，且一路畅通，等候时间为0,需要支付多少车费？分析：可以抽象为等差数列的数学模型。4km处的车费记为：®=11・2公差d=l・2当出租车行至目的地即14km处时，n=ll求所以.al｝=11.2+(11-1)x1.2=23.2例3：数列=3n~5是等差数列吗？变式练习：已知数列｛色｝的通项公式an=Pf^Qt其中〃、q为常数,这个数列是等差数列吗？若是，首项和公差分别是多少？(指定学生求解)解:取数列｛£｝中任意两项©和色“(沦2)
5-%=（M+q）-[p（n一1）+q]="2+q-伽一〃+q）=它是一个与n无关的常数，所以｛〜｝是等差数列?并且：a=p+qd=p二、课后练习与提高在等差数列中，已知®==2皿=3昇7=10,求色二已知®==3,Q”=2h〃=2,求斤=已知4=12他=27,求〃=d=—,cij=8,己知3求④二2、已知则的等差屮项为（3、2000是等差数列4,6,:A第998项B第999项4、在等差数列40,37,34,A第13项B第14项5、在等差数列中，己知®=2,色+色=13则。4+。5+°6等于1A能B迈C馆&••的（）C第1001项D第1000项，…中第一个负数项是（）C第15项D第16项A10B42C43D456、等差数列-3,1,5…的笫15项的值为（）a】=—,d>07、等差数列中，25且从第10项开始每项都大于1,则此等差数列公差d的取值范围是8、在等差数列屮，已知。5=1°，如=黑，求首项4与公差d9、在公差不为零的等差数列中，4*2为方程x--a3x+a4=°的跟，求｛色｝的通项公式。4ax=4,an=4(n>2),bn=10、数列俗計满足©T，设
判断数列是等差数列吗？试证明。求数列W的通项公式11、数列｛色」满足色+】=3色+A?awAT)，问是否存在适当的4,使是等差数列?
1、(1)29(2)10(3)32、A3、B4、C5、BC83_——6、537、c+a、a+b成等差数列.说明如果a、b、c成等差数列，常化成2b=a+c的形式去运用；反之，如果求证a、b、c成等差数列，常改证2b=a+c.2.3.1等差数列的前n项和（一）教学目标：1.掌握等差数列前n项和公式及其推导过程和思想方法.2.会用等差数列的前n项和公式解决一些简单的与前n项和有关的问题3.经历公式的推导过程，体会数形结合的数学思想，体验从特殊到一般的研究方法，学会观察、归纳、反思教学重点：等差数列n项和公式的理解、推导及应教学难点：灵活应用等差数列前n项公式解决一些简单的有关问题授课类型：新授课
课时安排：1课时内容分析：本节是在学习了等差数列的概念和性质的基础上，使学生掌握等差数列求和公式，并能利用它求和•解决数列和的最值问题•等差数列求和公式的推导，采用了倒序相加法，思路的获得得益于等到差数列任意的第k项与倒数第k项的和都等于首项与末项的和这一性质的认识和发现•通过对等差数列求和公式的推导，使学生能掌握“倒序相加”数学方法教学过程：一、复习引入：首先冋忆一下前儿节课所学主要内容：1.等差数列的定义：,（n$2,nEN+）2.等差数列的通项公式：5=%+⑺-%（山=5+⑺-两或J=pn+q（p、q是常数））3.几种计算公差d的方法：%一吗勺”①d=—a”—②d二比一1③d二〃—加4.等差中项：2成等差数列5.等差数列的性质：m+n二p+q=>a,n+a"（m,n,p,qWN）6.数列的前n项和：数列仏｝中，®+$+$+•••+%称为数列仏｝的前n项和，记“小故事”：高斯是伟大的数学家，天文学家，高斯十岁时，有一次老师出了一道题目，老师说：“现在给大家岀道题目：1+2+・・・100=?"过了两分钟，正当大家在：1+2=3；3+3=6；4+6=10…算得不亦乐乎时，高斯站起来回答说：“1+2+3+•••+100=5050.教师问：“你是如何算出答案的？高斯冋答说：因为1+100=101:
2+99=101；-50+51=101,所以101X50=5050"这个故事告诉我们：（1）作为数学王子的高斯从小就善于观察，敢于思考，所以他能从一些简单的事物中发现和寻找出某些规律性的东西.（2）该故事还告诉我们求等差数列前n项和的一种很重要的思想方法，这就是下而我们要介绍的“倒序相加”法.二、讲解新课：如图，一个堆放铅笔的V形架的最下面一层放一支铅笔，往上每一层都比它下面一层多放一支，最上面一层放120支，这个V形架上共放着多少支铅笔？这是一堆放铅笔的V形架，这形同前面所接触过的堆放钢管的示意图,看到此图，大家都会很快捷地找到每一层的铅笔数与层数的关系，而比可以用一个式子来表示这种关系，利用它便可以求出每一层的铅笔数.那么，这个V形架上共放着多少支铅笔呢？这个问题又该如何解决呢？经过分析，我们不难看出，这是一个等差数求和问题？这个问题，它也类似于刚才我们所遇到的“小故事”问题,它可以看成是求等差数列1,2,3,…,n,…的前120项的和.在上面的求解中，我们发现所求的和可用首项、末项及项数n来表示,且任意的第k项与倒数第k项的和都等于首项与末项的和，这就启发我们如何去求一般等差数列的前n项的和.如果我们可归纳出一计算式，那么上述问题便可迎刃而解._呦+色）1.等差数列的前料项和公式1：2证明：S”=Q]+冬+。3+•••+%—]+色①Sn=an+an-\+勺―2+…+勺+⑷②①+②：绍1=（⑷+色）+（勺+色_1）+（色+an-2）+…+（色+%）••e+%=色+an-]S二心+色）・・.2S“+色）由此得："2从而我们可以验证高斯十岁时计算上述问题的正确性._n（n-l）dSn—H2.等差数列的前〃项和公式2：2用上述公式要求赢必须具备三个条件：仏4皿”S=na[n（n-l）d但—%代入公式1即得：”呵2此公式要求％必须己知三个条件：（有时比较有用）总Z：两个公式都表明要求以必须已知Z'dj屮三个.公式二又可化成式子：sn諾十+(a】一耳)n22,当dHO,是一个常数项为零的二次式.
三、例题讲解例1一个堆放铅笔的V型的最下面一层放一支铅笔，往上每一层都比它下面一层多放一支,最上面一层放120支，这个V形架上共放着多少支铅笔？解：由题意可知，这个V形架上共放着120层铅笔，且自下而上各层的铅笔成等差数列，记为其中4=1，舛20=120,根据等差数列前“项和的公式，得S12()=1207+120)=72602答：V形架上共放着7260支铅笔.例2等差数列・1(),・6,・2,2,…前多少项的和是54?解：设题中的等差数列为S」，前n项为S”则=-10,6/=(-6)-(-10)=4,=54-10斤+"("7x4=54由公式可得2解之得：厲=9/2=-3(舍去)・••等差数列-10,-6,-2,2…前9项的和是54.例3—凸n边形各内角的度数成等差数列，公差是10°，最小内角为100°，求边数n.n(n-1)解：由(n-2)・180=100n+2X10,求得『—17n+72=0,n=8或n=9,当n=9时，最大内角100+(9-1)X10=180°不合题意，舍去，二n=8.例4在等差数列中，已知。6+。9+42+。15=34,求前20项之和.分析：本题可以用等差数列的通项公式和求和公式求⑷，〃求解；也可以用等差数列的性质求解.€_90.20x19解：法一由直+色+知+刚+3&/=34.由2022(h]+19(M=5(4®+3&/)=5x34=170
法二由S"呼1・2。讥"),而+°15+。12=a\+。20，所以Q]+夠-17所以°20=10x17=170小结：在解决等差数列有关问题时，要熟练运用等差数列的一些性质.在本题的第二种解法中，利用勺(加+心卩+9)这一性质，简化了计算，是解决这类问题的常用方法.四.巩固练习1.求集合M==且加2时色=S〃-S“_］二0『+弘+厂）一［#0?-1）2+9（斤一1）+厂］二2/^-（〃+（7）•••d=an-an_x=\2pn_(#+q)]_[2pG-l)-(/?+^)]=2pn结论：通项公式是S]=ax-p+q+r.当斤=1时S“_Sn_{=2/m-(p+g),^n>2时S严g+咛处探究3.对等差数列的前农项和公式2：2可化成式子:当dHO,是一个常数项为零的二次式，那么它有何作用呢?例4.已知等差数列的前n项和为，求使得为最大的序号n的值.5肩肩解：由题意得，等差数列77_5的公差为7,所以Sn575n-5n25r⑸2>0+(721)()n_7_141412丿n21125H56£5于是，当n取与2最接近的整数即7或8吋，片取最大值。例5.在数列｛〜｝中，已知勺=25—2\（nGN^，那么使其前口项和Sn取得最大值的n值等于解：依题意知，4>0...%>0,如0,dl,neN*).2.差数列前项和的最值问题有两种方法：⑴当色>o,d0,前n项和有最小值•可由色W0,且％N0,求得n的值。°d2/d.Sn=_n+(ai)n(2)由22利用二次函数配方法求得最值时n的值3.九九-Sn.S3n-S2n是以比冷为公差的等差数列.V.课后作业课本P463题
2.3.2等差数列的前n项和（二）一.【学习目标】1.进一步熟练掌握等差数列的通项公式和前n项和公式.2.了解等差数列的一些性质，并会用它们解决求通项公式，求前n项和的最值等问题..二.【学习重点】熟练掌握等差数列的求和公式三.【本节难点】灵活应用求和公式解决相关问题四.【知识储备】1、2、前n项和公式*“与n的关系:式变形:n(n-\)(d2/d、=HClxHd=——72+(€Z.)7112212五.【自主学习】阅读并完成课本例2——例4探究下列问题：1.｛勺｝是等差数列，：是其前n项和，参考课本46页B组2题，探究“mg的关系（,S2k-Sk,S3k-S2k（&wAT）仍成等差数列.）2.完成例3,已知数列｛an｝的前n项的和为Sn,则Sn与Sn-1之间的递推关系式是.由此可推得，数列｛an｝的通项公式“n二3.等差数列｛an｝的前n项和与二次函数的关系是.，如何从中读岀公差，求最值.六•［小试身手］1数列前5项和："2一％,且5v色＜8,则正整数"2设等差数列仏^前九项和,若S3=9,S6=36,则如+心+他二3.等差数列伉｝前〃项和为片，若込6＞°，也＜。，则当沪时，兀最大七［典型例析］例1在等差数列｛an｝屮，込0=100严oo=10求几°例2已知数列的前n项和为2,求这个数列的通项公式.
例3在等差数列｛an｝中,已知al=25,S9=S17,问数列前多少项和最大,并求出最大值.八、［当堂检测］1.数列｛〜｝是等差数列的一个充要条件是(A)Sn=an2+bn+c(B)Sn=an2+bn(C)Sn=an2+bn+c(°丰°)(D)Sn=an2+bn⑺丰°)2.等差数列｛an｝中，d为公差.若前n项的和为Sn=-n2,则()A.an=2n-1,d=-2B.an=2n-l,d=2C.an=-2n+l,d=-2D.an=-2n+l,d=23.—个等差数列的前10项和为100,前100项和为1(),求它的前110项和.S“=—n2一2n(neTV*)4.已知数列｛an｝的前n项和2,判断数列｛an｝是否为等差数列，并证明你的结论；5.在等差数列｛色｝中，〜=—15,公差d=3,求数列｛①｝的前n项和为的最小值.6.设等差数列｛©｝的前n项和为％,已知他=12,S|2>o,Si30,3最大.§3.2一元二次不等式及其解法（1）授课类型：新授课【教学目标】1.知识与技能：理解一元二次方程、一元二次不等式与二次函数的关系，掌握图象法解一元二次不等式的方法；培养数形结合的能力，培养分类讨论的思想方法，培养抽象概括能力和逻辑思维能力；2.过程与方法：经历从实际情境屮抽象出一元二次不等式模型的过程和通过函数图象探究一元二次不等式与相应函数、方程的联系，获得一元二次不等式的解法；3.情态与价值：激发学习数学的热情，培养勇于探索的精神，勇于创新精神，同时体会事物之间普遍联系的辩证思想.【教学重、难点】重点：从实际情境中抽象出一元二次不等式模型；一元二次不等式的解法.难点：理解二次函数、一元二次方程与一元二次不等式解集的关系.［教学过聲1从实际情境中抽象出一元二次不等式模型：课本P76互联网的收费问题教师引导学生分析问题、解决问题，最后得到一元二次不等式模型：x2-5x0,即x2-5x>0；当00)的解集.设相应的一元二次方程aF+加+c=0(心0)的两根为西、召且西0A=0A0)的图象V.o|X1=X2X^1X一元二次方程ax2+加+c=0有两相异实根舛，召30(a>0)的解集{xXVX]或r>兀2}[“J〕I2gJ>Rax2+加+cv0(a>0)的解集{xx}0.
解：整理，得x2-2x+3Jxe0；若AVO,贝>Jx=x0.iii.△02.关于x的不等式ax+b>0的解集为{x\x>2},则关于兀的不等式{十［>()的解x~2x3集为(
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