上海市长宁区2022中考数学一模

初三数学教学质量监测试卷（考试时间：100分钟满分：150分）考生注意:1.本试卷含三个大题,共25题.答题时,考生务必按答题要求在答题纸规定的位置上作答,在草稿纸、本调研卷上答题一律无效.2.除第一、二大题外,其余各题如无特别说明,都必须在答题纸相应位置上写出证明或计算的主要步骤.一、选择题（本大题共6题,每题4分,满分24分）【每题只有一个正确选项,在答题纸相应题号的选项上用2B铅笔正确填涂】1．已知在△ABC中，∠C=90°，∠A=，，那么BC的长为（A）；（B）；（C）；（D）．2．如果向量与向量方向相反，且，那么向量用向量表示为（A）；（B）；（C）；（D）．3．如图，AB∥CD∥EF，AD∶AF=3∶5，BE=12，那么CE的长等于（A）2；（B）4；（C）；（D）．4．抛物线（其中）一定不经过的象限是（A）第一象限；（B）第二象限；（C）第三象限；（D）第四象限．5.下列命题中，说法正确的是（A）所有菱形都相似；（B）两边对应成比例且有一组角对应相等的两个三角形相似；（C）三角形的重心到一个顶点的距离，等于它到这个顶点对边距离的两倍；（D）斜边和直角边对应成比例，两个直角三角形相似．6.如图，点E是线段BC的中点，∠B=∠C=∠AED，下列结论中，说法错误的是（A）△ABE与△ECD相似；（B）△ABE与△AED相似；（C）；（D）∠BAE=∠ADE．第3题图第6题图二、填空题（本大题共12题,每题4分,满分48分）9 【在答题纸相应题号后的空格内直接填写答案】7．已知，那么的值为▲．8．抛物线的顶点坐标是▲．9．在比例尺为1:10000的地图上，相距5厘米的两地实际距离为▲千米．10.已知点C是线段AB的黄金分割点，如果AC>BC，BC=2，那么AC=▲．11．如果两个相似三角形周长之比为3:2，那么这两个三角形的面积之比为▲．第13题图12．点G是△ABC的重心，过点G作BC边的平行线与AB边交于点E、与AC边交于点F，那么=▲．13.如图，小明沿着坡度i=1∶2.4的坡面由B到A直行走了13米时，他上升的高度AC=▲米．14．已知抛物线（ab>0）与y轴交于点A，过点A作x轴的平行线交抛物线于点B，如果AB=2，那么点B坐标为▲．15.我国古代数学著作《九章算术》中记载：“今有邑方不知大小，各中开门.出北门三十步有木，出西门七百五十步有木.问邑方几何？”示意图如下图，正方形ABCD中，F、G分别是AD和AB的中点，如果EF⊥AD，EF=30，GH⊥AB，GH=750，且EH过点A，那么正方形ABCD的边长为▲．16．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，，CD是斜边AB上的中线，点E是直线AC左侧一点，联结AE、CE、ED，若EC⊥CD，∠EAC=∠B，那么的值为▲．第15题图第18题图第16题图17.定义：在△ABC中，点D和点E分别在AB边、AC边上，且DE∥BC，点D、点E之间距离与直线DE与直线BC间的距离之比称为DE关于BC的横纵比.已知，在△ABC中，BC=4，BC上的高长为3，DE关于BC的横纵比为2:3，那么DE=▲．18．如图，在△ABC中，∠C=90°，AC=BC=3，点D、E分别在AC边和AB边上，沿着直线DE翻折△ADE，点A落在BC边上，记为点F，如果CF=1，那么BE=▲．三、解答题（本大题共7题,满分78分）9 【将下列各题的解答过程,做在答题纸的相应位置上】19.（本题满分10分）计算：．20．（本题满分10分，第（1）小题5分，第（2）小题5分）抛物线经过点A（0,3），B（-1,0）.（1）求抛物线的表达式及其顶点坐标.（2）填空：如果将该抛物线平移，使它的顶点移到点A的位置，那么其平移的过程是▲，平移后的抛物线表达式是▲.21．（本题满分10分，第（1）小题5分，第（2）小题5分）如图，在梯形ABCD中，AB∥CD，且AB:CD=3:2，点E是边CD的中点，联结BE交对角线AC于点F，若.（1）用、表示、；（2）求作在、方向上的分向量．（不要求写作法，但要保留作图痕迹，并指出所作图中表示结论的分向量）第21题图22．（本题满分10分，第（1）小题4分，第（2）小题6分）如图，某种路灯灯柱BC垂直于地面，与灯杆AB相连.已知直线AB与直线BC的夹角是76°.在地面点D处测得点A的仰角是53°，点B仰角是45°，点A与点D之间的距离为3.5米.求：（1）点A到地面的距离；（2）AB的长度.(精确到米）(参考数据：，，，)第22题图9 23．（本题满分12分，第（1）小题6分，第（2）小题6分）第23题图如图，线段BD是△ABC的角平分线，点E、点F分别在线段BD、AC的延长线上，联结AE、BF，且.（1）求证：AD=AE；（2）如果BF=DF，求证：.24．（本题满分12分，第（1）小题4分，第（2）小题4分，第（3）小题4分）第24题图1y1xO抛物线与轴交于A、B两点（点A在点B左侧）,与y轴交于点C（0,3），其顶点D的纵坐标为4.（1）求抛物线的表达式；（2）求∠ACB的正切值；（3）点F在线段CB的延长线上，且∠AFC=∠DAB，求CF的长.25．（本题满分14分，第（1）小题4分，第（2）小题6分，第（3）小题4分）已知，在△ABC中，AB=AC=5，BC=8，点E是射线CA上的动点，点O是边BC上的动点，且OC=OE,射线OE交射线BA于点D.（1）如图1，如果OC=2，求的值；（2）联结AO,如果△AEO是以AE为腰的等腰三角形，求线段OC的长；（3）当点E在边AC上时，联结BE、CD，∠DBE=∠CDO，求线段OC的长.图1备用图备用图第25题图9 2021学年第一学期初三数学教学质量监测试卷数学试卷参考答案及评分说明一、选择题：（本大题共6题，每题4分，满分24分）1．A；2．D；3．C；4．C；5．D；6．D．二、填空题：（本大题共12题，每题4分，满分48分）7．；8．(0，-1)；9．0.5；10．；11．9:4；12．；13．5；14．（-2，-2）；15．300；16．；17．；18．．三、解答题：（本大题共7题，满分78分）19．解：原式=．…………………………………………………（5分）=．…………………………………（5分）20．解：（1）∵二次函数的图像经过点A（0，3）、B（-1，0）．∴………………………………………………………（1分）解得，．…………………………………………………（1分）∴二次函数的解析式是．……………………………（1分）………………………………………（1分）∴该抛物线的顶点为（1，4）．………………………………………（1分）（2）如果将该抛物线平移，使它的顶点移到点A的位置，那么其平移的过程是向左一个单位，向下一个单位，……………（2分）平移后的抛物线表达式是.……………………………（3分）21．解：（1）因为AB∥CD，则同向，因为AB:CD=3:2，，所以.…………………（1分）因为，所以.………………（1分）因为E是CD边的中点，所以9 因为AB∥CD，所以.………………（2分）因为同向，所以（1分）（2）画图及结论正确.……………………………………………………（5分）22．解：（1）过点A做AH⊥CD，垂足为点H，（1分）据题意，AD=3.5，∠ADC=53°在Rt△AHD中，Sin∠ADH=，（1分）（1分）答：“路灯A”到地面的距离约为2.8米.（1分）（2）过点A做AP⊥BC，垂足为点P，设AB=x据题意，∠ABE=76°，∠CDB=45°，AP=CH，AH=CP在Rt△AHD中，Sin∠ADH=，（1分）在Rt△ABP中，所以（2分）在Rt△BCD中，，所以BC=CD（1分）所以2.8-0.24x=2.1+0.97x（1分），解得：x≈0.6.答：“灯杆”AB的长度为0.6米.（1分）23.证明：（1）∵BD平分∠ABC，∴∠ABD=∠DBC．…………………………（1分）∵，∴．………………………（1分）∴△ABE∽△CBD．………………………………………………（1分）∴∠E=∠BDC，∵∠BDC=∠ADE，∴∠E=∠ADE．………（2分）∴AD=AE．………………………………………………………（1分）（2）∵△ABE∽△CBD，∴．………………………（1分）∵BF=DF，∴∠DBF=∠BDF．…………………………………（1分）∵∠DBF=∠DBC+∠CBF，∠BDF=∠ABD+∠BAD，又∵∠ABD=∠DBC，∴∠BAF=∠CBF．………………………（1分）∵∠F=∠F，∴△BCF∽△ABF．………………………………（1分）∴．又∵BF=DF，∴…………………（1分）9 ∴，∴．……………………（1分）24．解：（1）∵二次函数的图像经过点C（0,3），∴c=3.（1分）∵……………（1分）∵抛物线顶点D的纵坐标为4，∴3-a=4,a=-1.…………（1分）∴该抛物线的表达式是.………………………………………（1分）（2）过点A做AH⊥CB，垂足为点H.在Rt△OCB中，在△ABC中，AB=4，OC=3，则，∴………………………………（2分）在Rt△ACH中，，∴……………………（2分）（3）设抛物线对称轴交x轴于点G，则∠DGA=90°在Rt△ADG中，，∵tan∠ACB=2，∴∠ACB=∠DAB.∵∠DAB=∠AFC，∴∠ACB=∠AFC.（1分）∴AC=AF，AH⊥CB.∴CF=2CH.………………………………………………（1分）在Rt△ACH中，，∴AH=2CH，∴AH=CF.……………（1分）∵，∴CF.……………………………………………（1分）25.（1）∵AB=AC，∴∠B=∠C，∵OE=OC，∴∠OEC=∠C，∴∠OEC=∠B，又∵∠C=∠C，∴△OCE∽△ABC∴，又∵AB=AC=5，BC=8，OC=2，∴……………（1分）∴BO=6，……………………………………………………………（1分）∵∠AED=∠OEC，∠OEC=∠B，∴∠AED=∠B.又∵∠D=∠D，∴△ADE∽△DOB.……………………………………（1分）∴……………………………………………（1分）（2）设OC=OE=x9 ∵△OCE∽△ABC，∴，∴当点E在边AC上时，可知∠AEO>90°，唯有AE=EO………………（1分）得方程：，解方程得：.……………………………（1分）当点E在边AC延长线上时，①若AE=EO，得方程：，解方程得：（舍）…（1分）②若AE=AO，则∠E=∠AOE=∠C，又∵∠E=∠E，∴△AEO∽△EOC…（1分）∴，得方程：…………………………………（1分）解方程得：.………………………………………………………（1分）线段OC的长为或.（3）∵∠DBE=∠CDO，∴∠DBE+∠BDO=∠CDO+∠BDO，∴∠BEO=∠ADC.∵∠ABC=∠ABE+∠EBO，∠ACB=∠OEC=∠EDC+∠DCA，又∵∠ABC=∠ACB，∴∠EBO=∠DCA，∴△BEO∽△CDA.………………………………（1分）∴.…………………………………（1分）过点A作AP∥BC交线段OD于点P，∵AP∥BC，∴∴（1分）得方程：，化简得：，解方程得：x=∵点O在边BC上，则OC