2021年湖南省长沙市中考数学模拟试题含解析

湖南省长沙市中考数学试卷一、选择题（本题共12小题，每题3分，共36分）1．（3分）下列各数中，比﹣3小的数是（  ）A．﹣5B．﹣1C．0D．12．（3分）根据《长沙市电网供电能力提升三年行动计划》，明确到2020年，长沙电网建设改造投资规模达到15000000000元，确保安全供用电需求．数据15000000000用科学记数法表示为（  ）A．15×109B．1.5×109C．1.5×1010D．0.15×10113．（3分）下列计算正确的是（  ）A．3a+2b＝5abB．（a3）2＝a6C．a6÷a3＝a2D．（a+b）2＝a2+b24．（3分）下列事件中，是必然事件的是（  ）A．购买一张彩票，中奖B．射击运动员射击一次，命中靶心C．经过有交通信号灯的路口，遇到红灯D．任意画一个三角形，其内角和是180°5．（3分）如图，平行线AB，CD被直线AE所截，∠1＝80°，则∠2的度数是（  ）A．80°B．90°C．100°D．110°6．（3分）某个几何体的三视图如图所示，该几何体是（  ） A．B．C．D．7．（3分）在庆祝新中国成立70周年的校园歌唱比赛中，11名参赛同学的成绩各不相同，按照成绩取前5名进入决赛．如果小明知道了自己的比赛成绩，要判断能否进入决赛，小明需要知道这11名同学成绩的（  ）A．平均数B．中位数C．众数D．方差8．（3分）一个扇形的半径为6，圆心角为120°，则该扇形的面积是（  ）A．2πB．4πC．12πD．24π9．（3分）如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°，分别以点A和点B为圆心，大于12AB的长为半径作弧，两弧相交于M、N两点，作直线MN，交BC于点D，连接AD，则∠CAD的度数是（  ）A．20°B．30°C．45°D．60°10．（3分）如图，一艘轮船从位于灯塔C的北偏东60°方向，距离灯塔60nmile的小岛A出发，沿正南方向航行一段时间后，到达位于灯塔C的南偏东45°方向上的B处，这时轮船B与小岛A的距离是（  ） A．303nmileB．60nmileC．120nmileD．（30+303）nmile11．（3分）《孙子算经》是中国传统数学的重要著作，其中有一道题，原文是：“今有木，不知长短，引绳度之，余绳四尺五寸；屈绳量之，不足一尺．木长几何？”意思是：用一根绳子去量一根木头的长、绳子还剩余4.5尺；将绳子对折再量木头，则木头还剩余1尺，问木头长多少尺？可设木头长为x尺，绳子长为y尺，则所列方程组正确的是（  ）A．y=x+4.50.5y=x-1B．y=x+4.5y=2x-1C．y=x-4.50.5y=x+1D．y=x-4.5y=2x-112．（3分）如图，△ABC中，AB＝AC＝10，tanA＝2，BE⊥AC于点E，D是线段BE上的一个动点，则CD+55BD的最小值是（  ）A．25B．45C．53D．10二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）13．（3分）式子x-5在实数范围内有意义，则实数x的取值范围是  ．14．（3分）分解因式：am2﹣9a＝  ．15．（3分）不等式组x+1≥03x-6＜0的解集是  ．16．（3分）在一个不透明的袋子中有若干个小球，这些球除颜色外无其他差别，从袋中随机摸出一球，记下其颜色，这称为一次摸球试验，然后把它重新放回袋中并摇匀，不断 重复上述过程．以下是利用计算机模拟的摸球试验统计表：摸球实验次数100100050001000050000100000“摸出黑球”的次数36387201940091997040008“摸出黑球”的频率（结果保留小数点后三位）0.3600.3870.4040.4010.3990.400根据试验所得数据，估计“摸出黑球”的概率是  ．（结果保留小数点后一位）17．（3分）如图，要测量池塘两岸相对的A，B两点间的距离，可以在池塘外选一点C，连接AC，BC，分别取AC，BC的中点D，E，测得DE＝50m，则AB的长是  m．18．（3分）如图，函数y=kx（k为常数，k＞0）的图象与过原点的O的直线相交于A，B两点，点M是第一象限内双曲线上的动点（点M在点A的左侧），直线AM分别交x轴，y轴于C，D两点，连接BM分别交x轴，y轴于点E，F．现有以下四个结论：①△ODM与△OCA的面积相等；②若BM⊥AM于点M，则∠MBA＝30°；③若M点的横坐标为1，△OAM为等边三角形，则k＝2+3；④若MF=25MB，则MD＝2MA．其中正确的结论的序号是  ．（只填序号） 三、解答题（本大题共8个小题，第19、20题每小题6分，第21、22题每小题6分，第23、24题每小题6分，第25、26题每小题6分，共66分。解答应写出必要的文字说明、证明过程或验算步骤）19．（6分）计算：|-2|+（12）﹣1-6÷3-2cos60°．20．（6分）先化简，再求值：（a+3a-1-1a-1）÷a2+4a+4a2-a，其中a＝3．21．（8分）某学校开展了主题为“垃圾分类，绿色生活新时尚”的宣传活动．为了解学生对垃圾分类知识的掌握情况，该校环保社团成员在校园内随机抽取了部分学生进行问卷调查，将他们的得分按优秀、良好、合格、待合格四个等级进行统计，并绘制了如下不完整的统计表和条形统计图．等级频数频率优秀2142%良好m40%合格6n%待合格36%（1）本次调查随机抽取了  名学生；表中m＝  ，n＝  ； （2）补全条形统计图；（3）若全校有2000名学生，请你估计该校掌握垃圾分类知识达到“优秀”和“良好”等级的学生共有多少人．22．（8分）如图，正方形ABCD，点E，F分别在AD，CD上，且DE＝CF，AF与BE相交于点G．（1）求证：BE＝AF；（2）若AB＝4，DE＝1，求AG的长．23．（9分）近日，长沙市教育局出台《长沙市中小学教师志愿辅导工作实施意见》，鼓励教师参与志愿辅导，某区率先示范，推出名师公益大课堂，为学生提供线上线下免费辅导，据统计，第一批公益课受益学生2万人次，第三批公益课受益学生2.42万人次．（1）如果第二批，第三批公益课受益学生人次的增长率相同，求这个增长率；（2）按照这个增长率，预计第四批公益课受益学生将达到多少万人次？24．（9分）根据相似多边形的定义，我们把四个角分别相等，四条边成比例的两个凸四边形叫做相似四边形．相似四边形对应边的比叫做相似比．（1）某同学在探究相似四边形的判定时，得到如下三个命题，请判断它们是否正确（直接在横线上填写“真”或“假”）．①四条边成比例的两个凸四边形相似；（  命题）②三个角分别相等的两个凸四边形相似；（  命题）③两个大小不同的正方形相似．（  命题）（2）如图1，在四边形ABCD和四边形A1B1C1D1中，∠ABC＝∠A1B1C1，∠BCD＝∠B1C1D1，ABA1B1=BCB1C1=CDC1D1．求证：四边形ABCD与四边形A1B1C1D1相似．（3）如图2，四边形ABCD中，AB∥CD，AC与BD相交于点O，过点O作EF∥AB分别交AD，BC于点E，F．记四边形ABFE的面积为S1，四边形EFCD的面积为S2，若四边形ABFE与四边形EFCD相似，求S2S1的值． 25．（10分）已知抛物线y＝﹣2x2+（b﹣2）x+（c﹣2020）（b，c为常数）．（1）若抛物线的顶点坐标为（1，1），求b，c的值；（2）若抛物线上始终存在不重合的两点关于原点对称，求c的取值范围；（3）在（1）的条件下，存在正实数m，n（m＜n），当m≤x≤n时，恰好m2m+1≤1y+2≤n2n+1，求m，n的值．26．（10分）如图，抛物线y＝ax2+6ax（a为常数，a＞0）与x轴交于O，A两点，点B为抛物线的顶点，点D的坐标为（t，0）（﹣3＜t＜0），连接BD并延长与过O，A，B三点的⊙P相交于点C．（1）求点A的坐标；（2）过点C作⊙P的切线CE交x轴于点E．①如图1，求证：CE＝DE；②如图2，连接AC，BE，BO，当a=33，∠CAE＝∠OBE时，求1OD-1OE的值． 湖南省长沙市中考数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（本题共12小题，每题3分，共36分）1．（3分）下列各数中，比﹣3小的数是（  ）A．﹣5B．﹣1C．0D．1【解答】解：﹣5＜﹣3＜﹣1＜0＜1，所以比﹣3小的数是﹣5，故选：A．2．（3分）根据《长沙市电网供电能力提升三年行动计划》，明确到2020年，长沙电网建设改造投资规模达到15000000000元，确保安全供用电需求．数据15000000000用科学记数法表示为（  ）A．15×109B．1.5×109C．1.5×1010D．0.15×1011【解答】解：数据15000000000用科学记数法表示为1.5×1010．故选：C．3．（3分）下列计算正确的是（  ）A．3a+2b＝5abB．（a3）2＝a6C．a6÷a3＝a2D．（a+b）2＝a2+b2【解答】解：A、3a与2b不是同类项，故不能合并，故选项A不合题意；B、（a3）2＝a6，故选项B符合题意；C、a6÷a3＝a3，故选项C不符合题意；D、（a+b）2＝a2+2ab+b2，故选项D不合题意．故选：B．4．（3分）下列事件中，是必然事件的是（  ）A．购买一张彩票，中奖B．射击运动员射击一次，命中靶心C．经过有交通信号灯的路口，遇到红灯D．任意画一个三角形，其内角和是180°【解答】解：A．购买一张彩票中奖，属于随机事件，不合题意；B．射击运动员射击一次，命中靶心，属于随机事件，不合题意； C．经过有交通信号灯的路口，遇到红灯，属于随机事件，不合题意；D．任意画一个三角形，其内角和是180°，属于必然事件，符合题意；故选：D．5．（3分）如图，平行线AB，CD被直线AE所截，∠1＝80°，则∠2的度数是（  ）A．80°B．90°C．100°D．110°【解答】解：∵∠1＝80°，∴∠3＝100°，∵AB∥CD，∴∠2＝∠3＝100°．故选：C．6．（3分）某个几何体的三视图如图所示，该几何体是（  ）A．B． C．D．【解答】解：由三视图可知：该几何体为圆锥．故选：D．7．（3分）在庆祝新中国成立70周年的校园歌唱比赛中，11名参赛同学的成绩各不相同，按照成绩取前5名进入决赛．如果小明知道了自己的比赛成绩，要判断能否进入决赛，小明需要知道这11名同学成绩的（  ）A．平均数B．中位数C．众数D．方差【解答】解：11个不同的成绩按从小到大排序后，中位数及中位数之后的共有5个数，故只要知道自己的成绩和中位数就可以知道是否进入决赛了．故选：B．8．（3分）一个扇形的半径为6，圆心角为120°，则该扇形的面积是（  ）A．2πB．4πC．12πD．24π【解答】解：S=120×π×62360=12π，故选：C．9．（3分）如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°，分别以点A和点B为圆心，大于12AB的长为半径作弧，两弧相交于M、N两点，作直线MN，交BC于点D，连接AD，则∠CAD的度数是（  ）A．20°B．30°C．45°D．60°【解答】解：在△ABC中，∵∠B＝30°，∠C＝90°，∴∠BAC＝180°﹣∠B﹣∠C＝60°，由作图可知MN为AB的中垂线， ∴DA＝DB，∴∠DAB＝∠B＝30°，∴∠CAD＝∠BAC﹣∠DAB＝30°，故选：B．10．（3分）如图，一艘轮船从位于灯塔C的北偏东60°方向，距离灯塔60nmile的小岛A出发，沿正南方向航行一段时间后，到达位于灯塔C的南偏东45°方向上的B处，这时轮船B与小岛A的距离是（  ）A．303nmileB．60nmileC．120nmileD．（30+303）nmile【解答】解：过C作CD⊥AB于D点，∴∠ACD＝30°，∠BCD＝45°，AC＝60．在Rt△ACD中，cos∠ACD=CDAC，∴CD＝AC•cos∠ACD＝60×32=303．在Rt△DCB中，∵∠BCD＝∠B＝45°，∴CD＝BD＝303，∴AB＝AD+BD＝30+303．答：此时轮船所在的B处与灯塔P的距离是（30+303）nmile．故选：D． 11．（3分）《孙子算经》是中国传统数学的重要著作，其中有一道题，原文是：“今有木，不知长短，引绳度之，余绳四尺五寸；屈绳量之，不足一尺．木长几何？”意思是：用一根绳子去量一根木头的长、绳子还剩余4.5尺；将绳子对折再量木头，则木头还剩余1尺，问木头长多少尺？可设木头长为x尺，绳子长为y尺，则所列方程组正确的是（  ）A．y=x+4.50.5y=x-1B．y=x+4.5y=2x-1C．y=x-4.50.5y=x+1D．y=x-4.5y=2x-1【解答】解：由题意可得，y=x+4.50.5y=x-1，故选：A．12．（3分）如图，△ABC中，AB＝AC＝10，tanA＝2，BE⊥AC于点E，D是线段BE上的一个动点，则CD+55BD的最小值是（  ）A．25B．45C．53D．10【解答】解：如图，作DH⊥AB于H，CM⊥AB于M． ∵BE⊥AC，∴∠ABE＝90°，∵tanA=BEAE=2，设AE＝a，BE＝2a，则有：100＝a2+4a2，∴a2＝20，∴a＝25或﹣25（舍弃），∴BE＝2a＝45，∵AB＝AC，BE⊥AC，CM⊥AC，∴CM＝BE＝45（等腰三角形两腰上的高相等））∵∠DBH＝∠ABE，∠BHD＝∠BEA，∴sin∠DBH=DHBD=AEAB=55，∴DH=55BD，∴CD+55BD＝CD+DH，∴CD+DH≥CM，∴CD+55BD≥45，∴CD+55BD的最小值为45．故选：B．二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）13．（3分）式子x-5在实数范围内有意义，则实数x的取值范围是 x≥5 ．【解答】解：式子x-5在实数范围内有意义，则x﹣5≥0，故实数x的取值范围是：x≥5．故答案为：x≥5．14．（3分）分解因式：am2﹣9a＝ a（m+3）（m﹣3） ． 【解答】解：am2﹣9a＝a（m2﹣9）＝a（m+3）（m﹣3）．故答案为：a（m+3）（m﹣3）．15．（3分）不等式组x+1≥03x-6＜0的解集是 ﹣1≤x＜2 ．【解答】解：x+1≥0①3x-6＜0②解不等式①得：x≥﹣1，解不等式②得：x＜2，∴不等式组的解集为：﹣1≤x＜2，故答案为：﹣1≤x＜2．16．（3分）在一个不透明的袋子中有若干个小球，这些球除颜色外无其他差别，从袋中随机摸出一球，记下其颜色，这称为一次摸球试验，然后把它重新放回袋中并摇匀，不断重复上述过程．以下是利用计算机模拟的摸球试验统计表：摸球实验次数100100050001000050000100000“摸出黑球”的次数36387201940091997040008“摸出黑球”的频率（结果保留小数点后三位）0.3600.3870.4040.4010.3990.400根据试验所得数据，估计“摸出黑球”的概率是 0.4 ．（结果保留小数点后一位）【解答】观察表格发现随着摸球次数的增多频率逐渐稳定在0.4附近，故摸到白球的频率估计值为0.4；故答案为：0.4．17．（3分）如图，要测量池塘两岸相对的A，B两点间的距离，可以在池塘外选一点C，连接AC，BC，分别取AC，BC的中点D，E，测得DE＝50m，则AB的长是 100 m． 【解答】解：∵点D，E分别是AC，BC的中点，∴DE是△ABC的中位线，∴AB＝2DE＝2×50＝100米．故答案为：100．18．（3分）如图，函数y=kx（k为常数，k＞0）的图象与过原点的O的直线相交于A，B两点，点M是第一象限内双曲线上的动点（点M在点A的左侧），直线AM分别交x轴，y轴于C，D两点，连接BM分别交x轴，y轴于点E，F．现有以下四个结论：①△ODM与△OCA的面积相等；②若BM⊥AM于点M，则∠MBA＝30°；③若M点的横坐标为1，△OAM为等边三角形，则k＝2+3；④若MF=25MB，则MD＝2MA．其中正确的结论的序号是 ①③④ ．（只填序号）【解答】解：①设点A（m，km），M（n，kn），则直线AC的解析式为y=-kmnx+kn+km，∴C（m+n，0），D（0，(m+n)kmn），∴S△ODM=12×n×(m+n)kmn=(m+n)k2m，S△OCA=12×（m+n）×km=(m+n)k2m，∴△ODM与△OCA的面积相等，故①正确；∵反比例函数与正比例函数关于原点对称， ∴O是AB的中点，∵BM⊥AM，∴OM＝OA，∴k＝mn，∴A（m，n），M（n，m），∴AM=2（n﹣m），OM=m2+n2，∴AM不一定等于OM，∴∠BAM不一定是60°，∴∠MBA不一定是30°．故②错误，∵M点的横坐标为1，∴可以假设M（1，k），∵△OAM为等边三角形，∴OA＝OM＝AM，1+k2＝m2+k2m2，∴m＝k，∵OM＝AM，∴（1﹣m）2+(k-km)2=1+k2，∴k2﹣4k+1＝0，∴k＝2±3，∵m＞1，∴k＝2+3，故③正确，如图，作MK∥OD交OA于K．∵OF∥MK，∴FMBM=OKKB=25，∴OKOB=23，∵OA＝OB，∴OKOA=23， ∴OKKA=21，∵KM∥OD，∴DMAM=OKAK=2，∴DM＝2AM，故④正确．故答案为①③④．三、解答题（本大题共8个小题，第19、20题每小题6分，第21、22题每小题6分，第23、24题每小题6分，第25、26题每小题6分，共66分。解答应写出必要的文字说明、证明过程或验算步骤）19．（6分）计算：|-2|+（12）﹣1-6÷3-2cos60°．【解答】解：原式=2+2-6÷3-2×12=2+2-2-1＝1．20．（6分）先化简，再求值：（a+3a-1-1a-1）÷a2+4a+4a2-a，其中a＝3．【解答】解：原式=a+2a-1•a(a-1)(a+2)2=aa+2，当a＝3时，原式=33+2=35．21．（8分）某学校开展了主题为“垃圾分类，绿色生活新时尚”的宣传活动．为了解学生对垃圾分类知识的掌握情况，该校环保社团成员在校园内随机抽取了部分学生进行问卷调查，将他们的得分按优秀、良好、合格、待合格四个等级进行统计，并绘制了如下不完整的统计表和条形统计图． 等级频数频率优秀2142%良好m40%合格6n%待合格36%（1）本次调查随机抽取了 50 名学生；表中m＝ 20 ，n＝ 12 ；（2）补全条形统计图；（3）若全校有2000名学生，请你估计该校掌握垃圾分类知识达到“优秀”和“良好”等级的学生共有多少人．【解答】解：（1）本次调查随机抽取了21÷42%＝50名学生，m＝50×40%＝20，n=650×100＝12，故答案为：50，20，12；（2）补全条形统计图如图所示；（3）2000×21+2050=1640人，答：该校掌握垃圾分类知识达到“优秀”和“良好”等级的学生共有1640人． 22．（8分）如图，正方形ABCD，点E，F分别在AD，CD上，且DE＝CF，AF与BE相交于点G．（1）求证：BE＝AF；（2）若AB＝4，DE＝1，求AG的长．【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是正方形，∴∠BAE＝∠ADF＝90°，AB＝AD＝CD，∵DE＝CF，∴AE＝DF，在△BAE和△ADF中，AB=AD∠BAE=∠ADFAE=DF，∴△BAE≌△ADF（SAS），∴BE＝AF；（2）解：由（1）得：△BAE≌△ADF，∴∠EBA＝∠FAD，∴∠GAE+∠AEG＝90°，∴∠AGE＝90°，∵AB＝4，DE＝1，∴AE＝3，∴BE=AB2+AE2=42+32=5，在Rt△ABE中，12AB×AE=12BE×AG，∴AG=4×35=125．23．（9分）近日，长沙市教育局出台《长沙市中小学教师志愿辅导工作实施意见》，鼓励教师参与志愿辅导，某区率先示范，推出名师公益大课堂，为学生提供线上线下免费辅导，据统计，第一批公益课受益学生2万人次，第三批公益课受益学生2.42万人次． （1）如果第二批，第三批公益课受益学生人次的增长率相同，求这个增长率；（2）按照这个增长率，预计第四批公益课受益学生将达到多少万人次？【解答】解：（1）设增长率为x，根据题意，得2（1+x）2＝2.42，解得x1＝﹣2.1（舍去），x2＝0.1＝10%．答：增长率为10%．（2）2.42（1+0.1）＝2.662（万人）．答：第四批公益课受益学生将达到2.662万人次．24．（9分）根据相似多边形的定义，我们把四个角分别相等，四条边成比例的两个凸四边形叫做相似四边形．相似四边形对应边的比叫做相似比．（1）某同学在探究相似四边形的判定时，得到如下三个命题，请判断它们是否正确（直接在横线上填写“真”或“假”）．①四条边成比例的两个凸四边形相似；（ 假 命题）②三个角分别相等的两个凸四边形相似；（ 假 命题）③两个大小不同的正方形相似．（ 真 命题）（2）如图1，在四边形ABCD和四边形A1B1C1D1中，∠ABC＝∠A1B1C1，∠BCD＝∠B1C1D1，ABA1B1=BCB1C1=CDC1D1．求证：四边形ABCD与四边形A1B1C1D1相似．（3）如图2，四边形ABCD中，AB∥CD，AC与BD相交于点O，过点O作EF∥AB分别交AD，BC于点E，F．记四边形ABFE的面积为S1，四边形EFCD的面积为S2，若四边形ABFE与四边形EFCD相似，求S2S1的值．【解答】（1）解：①四条边成比例的两个凸四边形相似，是假命题，角不一定相等．②三个角分别相等的两个凸四边形相似，是假命题，边不一定成比例．③两个大小不同的正方形相似．是真命题． 故答案为假，假，真．（2）证明：如图1中，连接BD，B1D1．∵∠BCD＝∠B1C1D1，且BCB1C1=CDC1D1，∴△BCD∽△B1C1D1，∴∠CDB＝∠C1D1B1，∠C1B1D1＝∠CBD，∵ABA1B1=BCB1C1=CDC1D1，∴BDB1D1=ABA1B1，∵∠ABC＝∠A1B1C1，∴∠ABD＝∠A1B1D1，∴△ABD∽△A1B1D1，∴ADA1D1=ABA1B1，∠A＝∠A1，∠ADB＝∠A1D1B1，∴，ABA1B1=BCB1C1=CDC1D1=ADA1D1，∠ADC＝∠A1D1C1，∠A＝∠A1，∠ABC＝∠A1B1C1，∠BCD＝∠B1C1D1，∴四边形ABCD与四边形A1B1C1D1相似．（3）如图2中， ∵四边形ABCD与四边形EFCD相似．∴DEAE=EFAB，∵EF＝OE+OF，∴DEAE=OE+OFAB，∵EF∥AB∥CD，∴DEAD=OEAB，DEAD=OCAB=OFAB，∴DEAD+DEAD=OEAB+OFAB，∴2DEAD=DEAE，∵AD＝DE+AE，∴2DE+AE=1AE，∴2AE＝DE+AE，∴AE＝DE，∴S1S2=1．25．（10分）已知抛物线y＝﹣2x2+（b﹣2）x+（c﹣2020）（b，c为常数）．（1）若抛物线的顶点坐标为（1，1），求b，c的值；（2）若抛物线上始终存在不重合的两点关于原点对称，求c的取值范围；（3）在（1）的条件下，存在正实数m，n（m＜n），当m≤x≤n时，恰好m2m+1≤1y+2≤n2n+1，求m，n的值．【解答】解：（1）由题可知，抛物线解析式是：y＝﹣2（x﹣1）2+1＝﹣2x2+4x﹣1．∴b-2=4c-2020=-1．∴b＝6，c＝2019．（2）设抛物线线上关于原点对称且不重合的两点坐标分别是（x0，y0），（﹣x0，﹣y0），代入解析式可得：y0=-2x02+(b-2)x0+(c-2020)-y0=-2x02-(b-2)x0+(c-2020)．∴两式相加可得：﹣4x02+2（c﹣2020）＝0．∴c＝2x02+2020， ∴c≥2020；（3）由（1）可知抛物线为y＝﹣2x2+4x﹣1＝﹣2（x﹣1）2+1．∴y≤1．∵0＜m＜n，当m≤x≤n时，恰好m2m+1≤1y+2≤n2n+1，∴1n≤1y+2≤1m．∴1n≤y≤1m．∴1m≤1，即m≥1．∴1≤m＜n．∵抛物线的对称轴是x＝1，且开口向下，∴当m≤x≤n时，y随x的增大而减小．∴当x＝m时，y最大值＝﹣2m2+4m﹣1．当x＝n时，y最小值＝﹣2n2+4n﹣1．又1n≤y≤1m，∴1n=-2n2+4n-1①1m=-2m2+4m-1②．将①整理，得2n3﹣4n2+n+1＝0，变形，得2n2（n﹣1）﹣（2n+1）（n﹣1）＝0．∴（n﹣1）（2n2﹣2n﹣1）＝0．∵n＞1，∴2n2﹣2n﹣1＝0．解得n1=1-32（舍去），n2=1+32．同理，由②得到：（m﹣1）（2m2﹣2m﹣1）＝0．∵1≤m＜n，∴2m2﹣2m﹣1＝0．解得m1＝1，m2=1-32（舍去），m3=1+32（舍去）．综上所述，m＝1，n=1+32． 26．（10分）如图，抛物线y＝ax2+6ax（a为常数，a＞0）与x轴交于O，A两点，点B为抛物线的顶点，点D的坐标为（t，0）（﹣3＜t＜0），连接BD并延长与过O，A，B三点的⊙P相交于点C．（1）求点A的坐标；（2）过点C作⊙P的切线CE交x轴于点E．①如图1，求证：CE＝DE；②如图2，连接AC，BE，BO，当a=33，∠CAE＝∠OBE时，求1OD-1OE的值．【解答】解：（1）令ax2+6ax＝0，ax（x+6）＝0，∴A（﹣6，0）；（2）①证明：如图，连接PC，连接PB延长交x轴于点M，∵⊙P过O、A、B三点，B为顶点，∴PM⊥OA，∠PBC+∠BOM＝90°，又∵PC＝PB，∴∠PCB＝∠PBC，∵CE为切线，∴∠PCB+∠ECD＝90°， 又∵∠BDP＝∠CDE，∴∠ECD＝∠COE，∴CE＝DE．②解：设OE＝m，即E（m，0），由切割线定理得：CE2＝OE•AE，∴（m﹣t）2＝m•（m+6），∴m=t26+2t①，∵∠CAE＝∠CBD，∠CAE＝∠OBE，∠CBO＝∠EBO，由角平分线定理：BDBE=ODOE，即：(3+t)2+27(3+m)2+27=-tm，∴m=6t-t-6②，由①②得t26+2t=6t-t-6，整理得：t2+18t+36＝0，∴t2＝﹣18t﹣36，∴1OD-1OE=-1t-1m=-3t+6t2=16．