点线面知识总结

2.1空间点.直线、平面之间的位置关系2.1.1(1)平面的画法：水平放置的平面通常画成一个平行四边形，锐角画成45°,II横边画成邻边的2倍长(如图)(2)平面通帘用希腊字母ci、B、Y等表示，如平面a、平面B等，也可以用表示平面的平行四边形的四个顶点或者相对的两个顶点的大写字母來表示，如平面AC.平面ABCD等。3三个公理：(1)公理1：如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线在此平面内符号表示为AELBELAGaBea公理1作用：判断直线是否在平面内(2)公理2：过不在一条直线上的三点，有且只有一个平而。符号表示为：A、B、C三点不共线=>有且只有一个平面a,使AWa.BGa.CGao公理2作用：确定一个平面的依据。(3)公理3：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一•条过该点的公共直线。符号表示为：pean3=>anp=L,且pet公理3作用：判定两个平面是否相交的依据2.1.2空间中直线与直线之间的位置关系1空间的两条直线有如下三种关系：址丿相交直线：同一平面内，有且只有一个公共点;共曲直线［y行直线：同一平面内，没冇公共点；异而直线：不同在任何一个平而内，没有公共点。2公理4：平行于同一条直线的两条直线互相平行。符号表示为：设纸b、C是三条直线a〃bc〃b=>a//c强调：公理4实质上是说平行具有传递性，在平而、空间这个性质都适用。公理4作用：判断空间两条业线平行的依据。3等角定理：空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补4注意点:①『与V所成的角的人小只由a、b的相互位置來确定，与O的选择无关，为简便，点0—•般取在两直线屮的-条上；7T②两条异面宜线所成的角()W(0,)；—③当两条异面直线所成的角是直角时，我们益说这两条异面直线互相垂直，记作a丄b；④两条直线互相垂直，仃共面垂直与异面垂直两种借形；⑤计算中，通常把两条异面直线所成的角转化为两条相交直线所成的角。2.1.3—2.1.4空间中直线与平面、平面与平面之间的位置关系1、直线与平面有三种位置关系：(1)直线在平面内——有无数个公共点(2)直线与平而和交——有且只有一个公共点(3)直线在平面平行——没有公共点2.2.1直线与平面平行的判定1、直线与平面平行的判定定理：平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，则该直线与此平面平行。简记为：线线平行，则线面平行。符号表示： a/7a2.2.2平面与平面平行的判定1、两个平面平行的判定定理：一个平面内的两条交直线与另一个平面平行，则这两个平面平行。符号表示:adb=Pa//ab〃a丿2.2.3—2.2.4直线与平面、平面与平面平行的性质1、定理：一•条直线与一个平面平行，则过这条直线的任一平面与此平面的交线与该直线平行。简记为:线面平行则线线平行。符号表示：a//aaG3aQB二b作用：利用该定理可解决直线间的平行问题。2、定理：如果两个平而同时与第三个平面相交，那么它们的交线平行。符号表示：a〃B=a〃bPnY=b丿作用：可以由平面与平面平行得出直线与直线平行2.3.1直线与平面垂直的判定1、定义如果直线L与平面a内的任意一条直线都垂直，我们就说直线L与平面a互相垂直，记作L丄a,直线L叫做平面a的垂线，平面a叫做直线L的垂面。如图,直线与平面垂直时，它们唯一公共点P叫做垂足。2、判定定理：一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则该直线与此平面垂直。注意点：a）定理中的“两条相交直线”这一条件不可忽视；b）定理体现了“直线与平面垂直”与“直线与直线垂直”互相转化的数学思想。2.3.2平面与平面垂直的判定二而角的概念：表示从空间-•直线岀发的两个半平而所组成的图形1、则这两个平面垂直。2.3.3一2.3.4直线与平面、平面与平面垂直的性质1、定理：垂直于同一个平面的两条直线平行。2性质定理：两个平面乖直，则一个平面内乖直于交线的直线与另一个平面乖直。 1・h，bh是空间三条不同的直线，则下列命题正确的是（）A.1]丄b，12丄b=h〃bB.h丄b，12〃b=h丄bC.h〃b〃4h，】2，b共面D.h，b，b共点=＞h，b，h共面2.（2012*上海）已知空间三条直线1、m、n.若1与m异面，且1与n异面，则（）A.m与n异面B・m与n相交C・m与n平行D・m与n异面、相交、平彳亍均冇可能3・（2011＞浙江）若直线1不平行于平面a,且如则（）A.a内存在直线与1界而B・a内存在与1平行的直线C.a内存在唯一的直线与1平行D・a内的直线与1都相交4.设hm是两条不同的直线，a是一个平而，贝IJ下列命题正确的是（）A.若1丄m,mca,贝ij1丄aB.若l±a,\//m,则m丄aC・若1〃6mca,贝ijl〃mD.若1〃a,m/Za,贝i]l〃m5.（2010•福建）如图，若Q是长方体ABCD・A]B]CiDi被平面EFGH截去几何体EFGHBC后得到的几何体，其中E为线段A冋上异于内的点，F为线段BB|上异于b的点，且EH〃A|D|,则下列结论屮不正确的是（）A.EH〃FGB.四边形EFGH是矩形C・Q是棱柱D・Q是棱台6.平行六面体ABCD-A^iCjD,中，既与AB共面也与CC]共面的棱的条数为（）A・3B・4C・5D・67•垂直丁•同一平而的两条直线（）A・平行B.垂直C・和交D.杲而8.给定下列四个命题：①若一个平面内的两条直线与另一个平面都平行,那么这两个平面相互平行;②若一个平面经过另一个平面的垂线，那么这两个平面相互垂直；③垂直于同一直线的两条直线相互平行：④若两个平面垂直，那么一个平面内与它们的交线不垂直的直线与另一个平而也不垂直.其中，为真命题的是（）A・①和②B.②和③C.③和④D.②和④9•平面a〃平面卩的一个充分条件是（）A.存在条直线a,a〃①a〃0B.存在一条直线a,aca,a〃bC・存在两条平行直线a,b,aua,bu卩，a〃Bb〃aD・存在两条异面直线a,b,ac«,bcp,a#ftb〃a10.过平行六面体ABCD-A|B|C|D|任意两条棱的中点作直线，其中与平面DBBQi平行的直线共有（）A.4条B.6条C・8条D.12条11.（2005・重庆）对于不重合的两个平面a与山给定下列条件：①存在平面Y，使得％卩都平行于Y②存在平面门使得a,卩都垂直于丫；③a内有不共线的三点到卩的距离相等：④存在异面直线1,m,使得1〃61〃直m〃4m〃直其中，可以判定a与卩平行的条件有（）A・1个B.2个C・3个D.4个12.设a、卩、丫为平面，m、n、1为直线，则m丄B的一个充分条件是（）A・a丄BaDp=ltm丄1B・aDy=m,a丄％卩丄yC・a丄\；卩丄Ym丄aD・n丄4n丄Bm丄a13.（2005•辽宁）已知m、n是两条不重合的直线，a.0、丫是三个两两不重合的平而，给出下列四个命题：①若m丄®m丄氏则（x〃B②若a丄Y卩丄4则C③若皿〃4n〃厲m〃m则ct〃B④若m、n是异面直线，m丄am//ftn丄Bn〃4贝Ua丄B其中真命题是（）A・①和②B.①和③C・③和④D・①和④14.如果一条直线与一个平ihi垂直，则称此直线与平面构成一个“正交线面对'在一个正方体ill两个顶点确定的直线与含冇卩U个顶点的平面构成的“正交线面对”的个数是;15・己知平面（X,卩和直线，给出条件：®m//a；②m丄5③mua；④a_L3：⑤叨3（i）当满足条件时，有m〃R（ii）当满足条件时，有m丄R（填所选条件的序号）16.（2012*盐城三模）已知a、卩是两个不同的平面,下列四个条件:①存在一条直线a,a丄a,a丄B②存在一个平面丫，Y丄5丫丄R③存在I从j条平行直线a、b,aca,bcp,a//ftb〃5④存在两条异面直线a、b,aca,bcp?a/7ftb〃a其中是平面a〃平而p的充分条件的为・（填上所有符合要求的序号）17・（2011・南京模拟）设b,c表示两条直线，a,0表示两个平而，现给出F列命题：①若bugc〃①贝Ub〃c；②若bugb〃c,贝ijc#a；③若c〃4a丄B则c丄B④若c〃a,c丄B则a丄B・其中正确的命题是•（写出所冇正确命题的序号）18.（2010*安徽模拟）己知肓线a、b和平而a、卩，下列命题正确的是•（写出所冇正确命题的编号）①若a/7fta〃a,贝lja〃B②若alb,a丄a,b丄B则a丄E③若a丄Ba丄B贝＞Ja/7a；④若a〃①a丄B贝Ua丄A（Ii（Ii（jji19.（2008•长宁区二模）已知直线a,b及平而a,下列命题中：®＜&,二＞8”Q;②&„二＞8丄。；③&二＞8”。；Ibl^lb//④qQ.正确命题的序号为（注：把你认为正确的序号都填上）.[b丄Q 20.（2007•湖南模拟）对于不同的直线inia1inia①十=＞n//a②片nJLin）n_LQ其中正确的命题序号是m,n和不同的平面a,卩，给出下列命题:mca、|二九〃m③nUp与n异面B丄a'④QnP=n=111丄Pnj_in.22.下列命题正确的序号是；(其中1,m表示直线，a,卩，丫表示平面)(1)若1丄m,I丄a,m丄B则a丄B(2)若1丄m,lua,mu卩，贝I」a丄厲(3)若a丄Y；卩〃Y；则a丄B(4)若\//m,1丄a,mu卩则a丄B23.已知直线m,n与平面a,卩，给出下列三个命题：①若m〃①n〃4则m〃n；②若m〃a,n丄a,贝Ijn丄m；③若m丄am/7ft则a丄B其中正确命题的序号是.24.已知直线a,b,c,平面a,卩，丫，并给出以下命题：①若aua,b〃8则a〃b：②若aua,bcp,且a〃R则a〃b；③若a〃a,b〃6则a〃b；④若a丄b,b〃c,贝9a丄c；It屮正确的命题有•25.对直线m,n和平而a,卩，有下列四个命题：①若m〃n,mca,nep,则a//fig)若m丄am丄n,nep,则a//若m〃①m丄厲则a丄B④若m〃n,m丄则n丄a其中正确的命题的序号为.26.对于直线m,n,和平面a,卩，y,冇如下四个命题：(1)若m〃a,m丄n,,贝ijn丄a(2)若m丄a,m丄n,则n〃a(3)若a丄B丫丄ft则a〃y(4)若m丄a,m〃n,nep,则a丄B其中正确命题的序号是•27.设有不同的直线a,b和不同的平面a,卩.给出下列命题：①若&〃6b#ft且a〃B则zi〃b②若a丄a,b丄B且a丄B则a丄b③若&〃6b#ft且a〃b,贝％〃B④若a丄a,b丄B且a丄b,则a丄B其中正确的题号是.28.关于直线m,n和平面a,卩，有以下四个命题：①若m〃①n〃直a〃b则m〃n；②若m〃n,mua,n±ft则a丄B③若aAp^m,m〃n,则11〃＜1且1］〃1^④若mln,aD卩=m,则n丄a或n丄B.Jt中止确的命题序号是•29.设a,b,c为三条不同直线，a,卩，丫为三个不同平而，下列四个命题中的真命题是(写出所有真命题的序号)①.若a丄B卩丄％则a//Y②若a丄b,b丄c,贝i」a〃c或a丄c③若aua,cep,a丄b,a丄c,则a丄B④若a丄a,bu卩，a〃b,则a丄B30.正方体ABCD-A1B1C1DI的棱长为a,若过AC作平面a〃D】B,则截面三角形的面积为.