2.1正数和负数

第二章有理数在上面的天气预报电视屏幕上，我们看到，这一天上海的最低温度是-5℃，读作负5℃，表示零下5℃。这里，出现了一种新数——负数.我们将会看到，除了表示温度以外，还有许多量需要用负数来表示.有了负数，数的家族引进了新的成员，将变得更加绚丽多彩，更加便于应用.本章将与你一起认识负数，把数的范围扩充到有理数，并研究有理数的大小比较和运算.§2.1正数和负数我们知道，为了表示物体的个数或事物的顺序，产生了数1，2，3，...;为了表示“没有”，引入了数0；有时分配、测量的结果不是整数，需要用分数(小数)表示.总之，数是为了满足生产和生活的需要而产生发展起来的.1.相反意义的量在日常生活中，常会遇到这样的一些量：例1汽车向东行驶3公里和向西行驶2公里；例2温度是零上10℃和零下5℃；例3收入500元和支出237元;例4水位升高5.5米和下降3.6米等等. 这里出现的每一对量，虽然有着不同的具体内容，但有着一个共同特点，它们都是具有相反意义的量，向东和向西、零上和零下；收入和支出;升高和下降都具有相反的意义.这些例子中出现的每一对量，有什么共同特点?你能再举出几个日常生活中的具有相反意义的量吗?2.正数与负数对于相反意义的量,只用原来的那些数很难区分量的相反意义.例如,零上5℃用5表示,那么零下5℃就不能仍用同一个数5来表示.想一想怎样表示具有相反意义的量呢?能否从天气预报的电视屏幕上出现的标记中，得到一些启发呢?在天气预报的电视屏幕上我们发现，零下5℃可以用-5℃来表示.一般地，对于具有相反意义的量，我们可把其中一种意义的量规定为正的，用过去学过的数表示，把与它意义相反的量规定为负的，用过去学过的数(零除外)前面放上一个“-”(读作负)号来表示.就拿温度为例，通常规定零上为正，于是零下为负，零上10℃就用10℃表示，零下5℃用-5℃来表示.在例1中，如果规定向东为正，那么向西为负.汽车向东行驶3公里记作3公里，向西2公里应记作-2公里.在例3中，如果规定收入为正，收入500元记作500元，支出237元应记作什么?在例4中，如果升高5.5米记作5.5米,下降3.6米记作什么?在这些讨论中，出现了哪些新数?为了表示具有相反意义的量,我们引进了象-5,-2,-237,-3.6这样的数,这是一种新数,叫做负数(negativenumber).过去学过的那些数(零除外),如10,3,500,5.5等,叫做正数(positivenumber).正数前面有时也可放上一个"+"号,如5可以写成+5,+5和5是一样的.注意:0既不是正数,也不是负数.练习1.将你所举出的具有相反意义的量用正数或负数来表示.2.在中国地形图上，在珠穆朗玛峰和吐鲁番盆地处都标有表明它们的高度的数，如图所示.这个数通常称为海拔高度，它是相对于海平面来说的.请说出图中所示的数8848和-155表示的实际意义。海平面的高度用什么数表示?3.下列各数中,哪些是正数?哪些是负数? +6；-21；54；0；；-3.14；0.001；-9994.“一个数，如果不是正数，必定就是负数.”这句话对不对?为什么?3.有理数想一想引进了负数以后，我们学过的数有哪些?引进了负数以后，我们学过的数就有：正整数，如1，2，3，...;零:0;负整数,如-1,-2,-3,...;正分数,如,,4.5(即);负分数,如-,,-0.3(即),....正整数、零和负整数统称整数(integers)，正分数和负分数统称分数(fractions).整数和分数统称有理数(rationalnumbers).有如下分类表：把一些数放在一起，就组成一个数的集合，简称数集(setofnumbers).所有的有理数组成的数集叫做有理数集.类似地，所有的整数组成的数集叫做整数集，所有的正数组成的数集叫做正数集，所有的负数组成的数集叫做负数集，如此等等.例5把下列各数填入表示它所在的数集的圈子里：-18,,3.1416,0,2001,,-0.142857,95%正整数负整数 整数集有理数集解,3.1416,-18,,2001,95%-0.142857正整数负整数－18，0，2001，-18,,3.1416,0,2001,,-0.142857,95%整数集有理数集练习1.请说出两个正整数,两个负整数,两个正分数,两个负分数.它们都是有理数吗?2.有理数集中有没有这样的数,它既不是正数,也不是负数?如有,这样的数有几个?3.下面两个圆圈分别表示正数集合和整数集合,请在这两个圆圈内填入六个数,其中有三个数既在正数集合内,又在整数集合内.这三个数应填在哪里?你能说出这两个圆圈的重叠部分表示什么数的集合吗?正数集整数集习题2.11.下列各数,哪些是整数,哪些是分数?哪些是正数,哪些是负数?1，-0.10，，-789，325，0，-20，10.10，1000.1 2.把下列各数填入表示它所在的数集的圈子里：,0.618,-3.14,260,-2001,,,-5%整数集分数集负数集有理数集3.下面的大括号表示一些数的集合,把第1、2两题中的各数填入相应的大括号里:正整数集:{}负整数集:{}正分数集:{}负分数集:{}4观察下面依次排列的一列数，它的排列有什么规律?请接着写出后面的三个数，你能说出第100个数、第2000个数、第2001个数是什么吗?(1)1，-1，1，-1，1，-1，1，-1，，，，......；(2)1，-2，3，-4，5，-6，7，-8，，，，......；(3)-1,,-,,,,,,,,......阅读材料－－中国人最早使用负数——《九章算术》和我国古代的“正负术” 《九章算术》是中国古典数学最重要的一部著作。这部著作的成书年代，根据现在的考证，至迟在公元前一世纪，但其中的数学内容，有些也可以追溯到周代。《九章算术》采用问题集的形式，全书246个问题，分成方田、粟米、衰分、少广、商功、均输、赢不足、方程、勾股等九章，其中所包含的数学成就是十分丰富的。引进和使用负数是《九章算术》的一项突出的贡献。在《九章算术》的“方程术”中，当用遍乘直除算法消元时，可能出现减数大于被减数的情形，为此，就需要引进负数《九章算术》在方程章中提出了如下的“正负术”：“同名相除，异名相益，正无入负之，负无入正之。其异名相除，同名相益，正无入正之，负无入负之。”这实际上就是正负术的加减运算法则。“同名”、“异名”分别指同号、异号；“相益”、“相除”分别指两数的绝对值相加、相减。前四句说的是正负数和零的减法法则，后四句说的是正负数和零的加法法则。用符号表示，设a＞b＞0，这八句话可以表示为：(±a)－(±b)＝±(a－b)；(±a)－(μb)＝±(a＋b)；0a＝－a；0－(－a)＝＋a；(±a)＋(μb)＝±(a－b),(±b)＋(μa)＝μ(a－b)；(±a)＋(±b)＝±(a－b)；0＋a＝＋a；0＋(－a)＝－a。不难看出，所有这些是与我们所学的有理数加减法法则是完全一致的。《九章算术》以后，魏晋时期的数学家刘徽对负数的出现就作了很自然的解释：“两算得失相反，要令正负以名之”，并主张在筹算中用红筹代表正数，黑筹代表负数。在国外，负数的出现和使用要比我国迟好几百年，直到七世纪时印度数学家才开始使用负数。而在欧洲，直到十六世纪韦达的著作还拒绝使用负数。