初一同步、正数和负数

第一章有理数1.1正数和负数初一同步班教师：周涛 例1考查角度1对正数、负数、0的认识对数“0”的认识下列对“0”的说法正确的个数是()①0是正数与负数的分界;②0只表示“什么也没有”;③0可以表示特定的意义,如0℃;④0是正数;⑤0是自然数.A.2B.3C.4D.5〔解析〕0除了表示“没有”之外,还具有其他意义,故②不正确;0既不是正数,也不是负数,故④不正确.故选B.【解题归纳】0是自然数,既不是正数,也不是负数.B 1.下列结论中正确的是()A.0既是正数,又是负数B.0是最小的正数C.0是最大的负数D.0既不是正数,也不是负数D 〔解析〕正数前面带“-”号的数是负数.小学学过的除0外的数是正数,正数前面也可以带“+”号,所以0.6,,+368是正数;,-100,是负数.考查角度2对正数、负数概念的理解例2以下各数:,0.6,-100,0,,+368,中,正数有:;负数有:.0.6+368-100 2.判断下列各数哪些是正数,哪些是负数.+2016,-3.1,，-9.1,-45,0,.解:正数:+2016,;负数:-3.1,-9.1,-45,. 用正、负数表示相反意义的量考查角度1判定相反意义的量例3判断下列各题中的量,是不是具有相反意义的量.(1)小明家1月份节约用水5吨和浪费电20度;(2)水位升高15米和水位下降12米;(3)乒乓球超出标准质量0.03克和不足标准质量0.02克.〔解析〕判断是不是具有相反意义的量,要从所描述的对象是否意义相反和是不是同类的量两方面考虑.解:(1)不是.描述对象不同,前者是用水,后者是用电.(2)是.(3)是. 3.下列各组量中,互为相反意义的量的是()A.收入200元与盈利200元B.上升10米与下降7米C.“黑色”与“白色”D.“你比我高3cm”与“我比你重3kg”B 考查角度2用正、负数表示相反意义的量例4填空.(1)如果用+15元表示小明勤工俭学挣得15元,那么小明购书用去12元应记作;(2)如果食堂把购进100千克面粉记作+100千克,那么-20千克表示.〔解析〕规定了一个量为正以后,那么与其意义相反的量即可用负数表示.〔答案〕(1)-12元(2)用去20千克面粉-12元用去20千克面粉 4.向东行进-50m表示的实际意义是()A.向东行进50mB.向南行进50mC.向北行进50mD.向西行进50m[提示:与“东”意义相反的是“西”,所以-50m表示向西行进50m.]D 正、负数在生活中的应用例5下面是几个家庭五月份用电支出比上月用电支出的变化情况:赵力减少25%,肖刚增加10%,王辉减少17%,李玉增加5%,田红增加8%,陈佳减少12%.分别用正、负数写出这几家五月用电支出比上月支出的增长率.〔解析〕正数表示增加,负数表示减少.解:这六家五月用电支出比上月支出的增长率分别为:赵力-25%,肖刚+10%,王辉-17%,李玉+5%,田红+8%,陈佳-12%.【解题归纳】解决此类题目的方法是:“增加”的增长率是正数,“减少”的增长率是负数. 5.1990~1995年下列国家年平均森林面积(单位:千米2)的变化情况是:中国减少866,印度增长72,韩国减少130,新西兰增长434,泰国减少3294,孟加拉减少88.用正数和负数表示这六国1990~1995年年平均森林面积的增长量.解:中国-866,印度+72,韩国-130,新西兰+434,泰国-3294,孟加拉-88. 三峡大坝从6月1号开始下闸蓄水,工作人员连续5天的水位记录(如果规定蓄水位为135米,高出记为正)情况,记录如下(单位:米):例66月1日6月2日6月3日6月4日6月5日-5+2-1+3+2求这5天中每天的水位各是多少米.解:这5天中每天的水位分别是130米,137米,134米,138米和137米.〔解析〕正数表示比135米多多少,负数表示比135米少多少.【解题归纳】用“+”“-”号表示的问题,首先要确定“基准”数,由“基准”数结合正、负数再确定原数.如此题的“基准”数是135米,再结合-5得出6月1日的水位是130米. 6.体育课上,某中学对七年级男生进行引体向上的测试,以能做5个为标准,超过个数用正数表示,离达标还缺的个数用负数表示,其中8名男生的成绩如下:2,-1,0,3,-2,-3,1,0.(1)这8名男生中达到标准的有几名?(2)这8名男生共做了多少个引体向上?解:(1)共有5人达标.(2)这8名男生所做的引体向上的数目分别为7个、4个、5个、8个、3个、2个、6个、5个,所以这8名男生所做的引体向上的数目之和为7+4+5+8+3+2+6+5=40(个). (实际应用题)一商品的标准价格是120元,但随着季节的变化,商品的价格可浮动±10%.(1)±10%的含义是什么?(2)请你计算出该商品的最高价格和最低价格;(3)如果以标准价格为标准,超过标准价格记作“+”,低于标准价格记作“-”,求该商品价格的浮动范围.例7〔解析〕在一对具有相反意义的量中,先规定其中一个为正,则另一个就用负表示.解:(1)+10%表示比标准价格高10%,-10%表示比标准价格低10%.(2)最高价格是120+120×10%=132(元),最低价格是120-120×10%=108(元).(3)该商品价格的浮动范围是(120±12)元. 例1考查角度1与有理数概念相关的判断题下列说法是否正确?若正确,请指出;若不正确,请说明理由.(1)整数就是正数;(2)负数就是带有负号的数;(3)正有理数都是正数;(4)零是最小的整数.对有理数进行分类〔解析〕对有理数的分类,应既不重复也不遗漏.要明确整数与分数对应,正数与负数对应,零既不是正数,也不是负数.数“0”的意义发生了变化,学习有理数后,“0”不仅仅表示“没有”了,也不再表示最小的数了,“0”既不是正数,也不是负数,而是介于正数和负数之间的数.解:(1)不正确.因为整数包括正整数、零、负整数,而零和负整数不是正数.(2)不正确.-(-2)虽然带有负号,但它不是负数.(3)正确.(4)不正确.在有理数范围内,整数包括正整数、零、负整数,所以零不是最小的整数.【解题归纳】(1)整数和分数:在小学数学中整数仅包括自然数,分数也只有正分数,而现在整数还包括负整数,分数也有正分数和负分数之分.(2)奇数和偶数:奇数和偶数的范围扩大了,奇数包括正奇数和负奇数,偶数包括正偶数、负偶数和零. 1.下列说法中正确的是()A.整数集合中仅包含正整数和负整数B.零是正整数C.分数都是有理数D.正数都是自然数[提示:整数集合包含正整数、负整数和0,A漏掉0;零是整数,但不是正整数,也不是负整数;0.5是正数,但不是自然数,故A,B,D都不正确.]C 考查角度2准确确定有理数的位置例2把下列各数填入如图1-1所示的圈中,并说明两圈的重叠部分表示什么数.-3,,4,0,0.75,-2010,25,25%.图1-1〔解析〕大于0的数为正数;正整数、负整数与零统称整数.解:如图1-2所示.图1-2【解题归纳】既是正数又是整数的应是正整数. 2.如图所示,下列两个圈分别表示某个集合,重叠部分是这两个集合所共有的.把有理数-3,2006,0,37,填入所属的集合的圈内.解:如下图所示. 1.2.2数轴1.2.3相反数 例1考查角度1数轴相关知识数轴与有理数的关系如图1-8所示,数轴上所标出的点中,相邻两点间的距离相等,则点A表示的数为()图1-8A.30B.50C.60D.80〔解析〕由图形中的数据可知5个单位长度为100,每一个单位长度代表20,A点在原点的右侧,距原点3个单位长度,因此点A表示60.故选C.C【解题归纳】数轴的单位长度应根据实际情况进行设置. 1.如图所示,数轴上一动点A向左移动2个单位长度到达B,再向右移动5个单位长度到达点C,若点C表示的数为1,则点A表示的数为()A.7B.3C.-3D.-2[提示:点A实际上是向右移动3个单位长度到达1,故点A表示-2.]D 例2(分类思想)在数轴上,把表示2的对应点移动5个单位长度后,得到的对应点所表示的数是()A.7B.-3C.7或-3D.不能确定〔解析〕数轴上表示2的对应点向右移动5个单位长度后对应点表示的数为7;向左移动5个单位长度后对应点表示的数为-3.故选C.C【解题归纳】在未指明移动方向时,要进行分类讨论. 2.在数轴上与表示-2的点相距8个单位长度的点表示的数为.[提示:在表示-2的点的左、右两边各有一个点与它相距8个单位长度.]6或-10 例3(创新题)小红在做作业时,不小心将墨水洒在一个数轴上,如图1-9所示,根据图中标出的数值,判断被墨迹盖住的整数共有多少个.图1-9〔解析〕根据数轴的画法将数轴补全,然后分别数出两段中整数的个数.解:在-12.6与-7.4之间的整数为-12,-11,-10,-9,-8,共5个;同理在10.6与17.8之间的整数为11,12,13,14,15,16,17,共7个.所以被墨迹盖住的整数共有5+7=12(个).【解题归纳】要确定两个数之间的整数,其方法是通过数轴找出介于两个数之间所有符合要求的点. 3.一滴墨水洒在一个数轴上,如图所示,试根据图中标出的数值,求出被墨迹盖住的整数共有多少个?解:[(-52)-(-187)+1]+(238-24+1)=136+215=351(个). 考查角度2数轴在实际问题中的应用例4(实际应用题)小明家、学校、邮局、图书馆坐落在一条东西走向的大街上,依次记为A，B，C，D，学校位于小明家西150米,邮局位于小明家东100米,图书馆位于小明家西400米.(1)用数轴表示A，B，C，D的位置(建议以小明家为原点);(2)一天,小明从家里先去邮局寄信后,以每分钟50米的速度往图书馆方向走了约8分钟,这时小明约在什么位置?距图书馆和学校各约多少米?〔解析〕因为本题中小明家、学校、邮局、图书馆都坐落在东西走向的大街上,所以我们可以把大街看作一条数轴,以小明家为原点,向东为正方向画出数轴,再结合数轴可解决后面的问题. (1)用数轴表示A，B，C，D的位置(建议以小明家为原点);解:(1)如图1-10所示.图1-10(2)一天,小明从家里先去邮局寄信后,以每分钟50米的速度往图书馆方向走了约8分钟,这时小明约在什么位置?距图书馆和学校各约多少米?解：小明从邮局出发,以每分钟50米的速度往图书馆方向走了约8分钟,其行走的路程约为50×8=400(米),由图1-10知C,D之间相距500米,此时小明在学校与图书馆之间,距图书馆约100米,距学校约150米.【解题归纳】用数轴表示数时,要根据实际需要,一个单位长度表示的数可大可小,但整体要保持统一,本题中一个单位长度表示50米. 考查角度3数轴与相反数相结合在数轴上点A表示的数为7，B，C两点表示的数互为相反数，且点C与点A之间的距离为2，那么点B与点C表示的数分别是多少?例5解:如图1-11所示.因为点C与点A的距离为2,所以点C表示的数为9或5.又因为点B与点C表示的数互为相反数,所以点B表示的数为-9或-5.【解题归纳】互为相反数的两个数分别在原点的左、右两边,并且到原点的距离相等,反之亦然.【规律方法】数轴是解决许多有理数的问题的重要工具,这里面渗透了数形结合思想. 下面两个数互为相反数的是()A.-(+7)与+(-7)B.-0.5与-(+0.5)C.-1.25与D.+(-0.01)与-考查相反数相关知识考查角度1相反数的判定例6〔解析〕因为+(-0.01)=-0.01,-=0.01,所以+(-0.01)与-互为相反数.故选D.【解题归纳】判断两个数是否互为相反数,需要对所给的数进行化简,然后再判断两个数是否只有符号不同.D 6.下列叙述正确的是()A.符号不同的两个数互为相反数B.一个有理数的相反数一定是负有理数C.与2.75都是-2.75的相反数D.0没有相反数C 考查角度2开放题例7任意写出三对除0以外的互为相反数的数.解:答案不唯一.满足条件的相反数,如:2和-2,3和-3,和等.【规律方法】互为相反数的两个数,只是符号不同,一个是正,另一个是负,0的相反数是它本身. 考查角度3阅读描述题阅读下面的文字，并回答问题1的相反数是–1，则1+(-1)=0；0的相反数是0，则0+0=0；的相反数是，则=0.所以,若a,b互为相反数,则a+b=0；若a+b=0，则a，b互为相反数.试用文字语言描述上面的结论.解:若两个数互为相反数,则这两个数的和等于零;若两个数的和等于零,则这两个数互为相反数.【解题归纳】本题通过由特殊到一般的探索,归纳出一般性的结论,体现了由特殊到一般的数学思想.通过本题,我们体会到做题时,要学会归纳总结.例8 8.阅读下面内容,然后回答问题:①1的相反数是-1,2.5的相反数是-2.5;②-1的相反数是1,-2.5的相反数是2.5;③0的相反数是0.由上可得:(1)正数的相反数是;(2)负数的相反数是;(3)0的相反数是;(4)相反数小于它本身的数是;(5)相反数大于它本身的数是;(6)相反数等于它本身的数是.负数正数0正数负数0 多重符号的化简例10(1)化简下列各式:-(-5),-(+5),-[-(+5)],-{-[-(+5)]};(2)猜想:当+5前面有2007个正号时,化简的结果为;当+5前面有2007个负号时,化简的结果为;当+5前面有2008个负号时,化简的结果为.解:(1)-(-5)=5,-(+5)=-5,-[-(+5)]=-(-5)=5,-{-[-(+5)]}=-{-[-5]}=-{+5}=-5.(2)5-55【规律方法】对于多重符号的化简,当一个数前面有“+”号时,化简结果为正;当一个数前面有偶数个“-”号时,化简结果为正;当一个数前面有奇数个“-”号时,化简结果为负.5-55 10.化简下列各数.(1)-(-2);(2)+(-2);(3)-(+2);(4)-[-(-2)].解:(1)-(-2)=2.(2)+(-2)=-2.(3)-(+2)=-2.(4)-[-(-2)]=-2. 1.2.4绝对值 例1有理数的大小比较考查角度1利用数轴比较有理数的大小在数轴上画出表示下列各数的点,并用“