有理数的加减法

有理数的加减法【学习目标】1．掌握有理数加法的意义，法则及运算律，并会使用运算律简算；2．掌握有理数减法的法则和运算技巧，认识减法与加法的内在联系，体会其中蕴含的转化的思想；3．熟练地将加减混合运算统一成加法运算，理解运算符号和性质符号的意义，运用加法运算律合理简　　　算，并且会解决简单的实际问题.【要点梳理】要点一、有理数的加法1.定义：把两个有理数合成一个有理数的运算叫作有理数的加法．2.法则：（1）同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加；（2）绝对值不相等的异号两数相加，取绝对值较大的加数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值．互为相反数的两个数相加得0；（3）一个数同0相加，仍得这个数．要点诠释：利用法则进行加法运算的步骤：(1)判断两个加数的符号是同号、异号，还是有一个加数为零，以此来选择用哪条法则．(2)确定和的符号(是“+”还是“－”)．(3)求各加数的绝对值，并确定和的绝对值(加数的绝对值是相加还是相减)．3.运算律：有理数加法运算律[来源:学*科*网]加法交换律[来源:Z.Com]文字语言两个数相加，交换加数的位置，和不变符号语言a+b＝b+a加法结合律文字语言三个数相加，先把前两个数相加，或者先把后两个数相加，和不变符号语言(a+b)+c＝a+(b+c)要点诠释：交换加数的位置时，不要忘记符号．要点二、有理数的减法1.定义：已知两个数的和与其中一个加数，求另一个加数的运算，叫做减法，例如：(-5)+?＝7，求？，减法是加法的逆运算．要点诠释：（1）任意两个数都可以进行减法运算．（2）几个有理数相减，差仍为有理数，差由两部分组成：①性质符号；②数字即数的绝对值．2.法则：减去一个数，等于加这个数的相反数，即有：．要点诠释：将减法转化为加法时，注意同时进行的两变，一变是减法变加法；二变是把减数变为它的相反数”．如： 要点三、有理数加减混合运算将加减法统一成加法运算，适当应用加法运算律简化计算.【典型例题】类型一、有理数的加法运算1．计算：（1）（2）（3）（4）（5）【思路点拨】（1）（2）属于同一类型，用的是加法法则的第一条：；（3）（5）属于同一类，用的是加法法则的第二条；（4）用的是法则的第三条．【答案与解析】（1）；（2）（3）（4）（5）【总结升华】绝对值不等的异号两数相加，是有理数加法的难点，在应用法则时，一定要先确定符号，再计算绝对值．举一反三：【高清课堂：有理数的加减法382681有理数的加法例2】【变式1】计算：(1)-7+10;(2)(-)+(-7.3);(3)1+(-2);(4)7+(-3.8)+(-7.2)【答案】（1）原式=；（2）原式=；（3）原式=；（4）原式=【变式2】计算： 【答案】【变式3】计算：．【答案】解法一：→同号的数一起先加．解法二：→同分母，互为相反数的数，或几个数可以凑整的数分别结合相加．类型二、有理数的减法运算2．(1)2-(-3)；(2)0-(-3.72)-(+2.72)-(-4)；(3)．【思路点拨】此题是有理数的减法运算，先按照减法法则将减法转化为加法，再按照有理数的加法进行计算．【答案与解析】本题可直接利用有理数的减法法则进行计算．(1)2-(-3)＝2+3＝5(2)原式＝0+3.72+(-2.72)+4＝(0+4)+(3.72-2.72)＝4+1＝5（3）原式=【总结升华】算式中的“+”或“-”既可以看作运算符号按法则进行计算，也可以看作是性质符号按多重符号化简进行计算.类型三、有理数的加减混合运算3．计算：（1）-3.72-1.23+4.18-2.93-1.25+3.72；（2）11-12+13-15+16-18+17；（3） （4）（5）；（6）【答案与解析】（1）观察各个加数，可以发现-3.72与3.72互为相反数，把它们分为一组；4.18、-2.93与-1.25的和为0，把它们分为一组可使计算简便．解：-3.72-1.23+4.18-2.93-1.25+3.72＝(-3.72+3.72)+(4.18-2.93-1.25)-1.23＝0+0-1.23＝-1.23（2）把正数和负数分别分为一组．解：11-12+13-15+16-18+17＝(11+13+16+17)+(-12-15-18)＝57+(-45)＝12（3）仔细观察各个加数，可以发现两个小数的和是-1，两个整数的和是29，三个分数通分后也不难算．故把整数、分数、小数分别分为一组．解：（4）3.46和1.54的和为整数,把它们分为一组；-3.87与3.37的和为-0.5，把它们分为一组；与易于通分，把它们分为一组；与同分母，把它们分为一组．解：（5）先把整数分离后再分组．解：注：带分数中的整数与分数分离时，如果这个数是负数，那么分离得到的整数与分数都是负数，例如．（6）如果按小数、整数分组，效果似乎不是很好．可先将小数和分数统一后再考虑分组． 解：【总结升华】计算多个有理数相加时，必须先审题，分析特点，寻找规律，然后再去计算．注意在交换加数的位置时，要连同符号一起交换.举一反三：【变式】（1）（2）【答案】（1）=（2）类型四、有理数的加减混合运算在实际中的应用【高清课堂：有理数的加减法382681有理数加减的应用】4．某检修小组乘汽车沿公路检修线路，约定前进为正，后退为负，某天自A地出发到收工时所走路线（单位：千米）为：+10，-3，+4，+2，-8，+13，-2，+12，+8，+5.（1）问收工时距A地多远？（2）若每千米路程耗油0.2升，问从A地出发到收工时共耗油多少升？【答案与解析】（1）求收工时距A地多远，应求出已知10个有理数的和，若和为正数，则在A地前面，若和为负数，则在A地后面；距A地的路程均为和的绝对值.解：(1)(+10)+(-3)+(+4)+(+2)+(-8)+(+13)+(-2)+(+12)+(+8)+(+5)=[+2+(-2)]+[(-8)+(+8)]+(+10+4+13+12+5)+(-3)=0+0+44+(-3)=41（千米）；（2）要求耗油量，需求出汽车共行走的路程，即求各数的绝对值之和，然后乘以0.2升即可.(|+10|+|-3|+|+4|+|+2|+|-8|+|+13|+|-21|+|+12|+|+8|+|+5|)×0.2=67×0.2=13.4（升）.答：收工时在A地前面41千米，从A地出发到收工时共耗油13.4升.【总结升华】利用有理数的加减混合运算可以解决很多现实生活中的实际问题，这就需要我们认真观察、大胆分析和设想．举一反三：【变式】某产粮专业户出售粮食8袋，每袋重量(单位：千克)如下：197，202，197，203，200，196，201，198． 计算出售的粮食总共多少千克?【答案】法一：以200(千克)为基准，超过的千克数记作正数，不足的千克数记作负数，则这8个数的差的累计是：(-3)+(+2)+(-3)+(+3)+0+(-4)+(+1)+(-2)＝-6200×8+(-6)＝1594(千克)答：出售的粮食共1594千克．法二：197+202+197+203+200+196+201+198＝1594(千克)答：出售的粮食共1594千克．