2.7 有理数的乘法.7 有理数的乘法（一）

第二章有理数及其运算7.有理数的乘法（一）【知识脉络】本章内容主要涉及有理数的运算，是初等数学的重要基础，在实际生活中的应用十分广泛。本节有理数的乘法，从小处说，它既是有理数加法运算的延伸，也是学生后续学习有理数除法与乘方运算等有理数运算的基础。从大处说，它是整个初中学段乃至更高学段最基本的运算之一，是今后学习实数运算、代数式的运算、解方程以及函数知识等等的基础。本节内容分为两个课时，第一课时在实际背景和计算中探索出有理数乘法法则，学会进行有理数的乘法运算，掌握确定多个不等于零的有理数相乘的积的符号方法以及有一个数为零积是零的情况。第二课时在运算中归纳出乘法运算律在有理数的范围内仍然适用。【教学要求】有理数的乘法运算，在确定“积”的符号后，实质上是小学算术数的乘法运算，思维过程就是如何把中学有理数的乘法运算化归为小学算术数的乘法运算。因此确定“积”的符号是本节课应重点解决的问题。课标中指出：“要让学生经历数学知识的形成和应用过程”。在小学里正数与正数相乘、正数与0相乘的运算，经过多年的实践,已经深入学生骨髓，变得天经地义，因为他们可以毫不费劲的从生活实例中得到圆满解释。引入负数后就不同了,“负数与正数相乘”还能用有理数的加法来解释，而且也能在现实生活中找到相关背景，如连续降温等,但“正数与负数相乘”、“负数与负数相乘”、“负数与０相乘”等运算，很难在现实生活中找到合理的解释。如果直接将有理数的乘法法则告诉学生,经过大量的练习，学生也能熟练地掌握运算技巧。但由于没有经历知识的发生发展过程，必然会导致知其然不知其所以然，数学知识链会出现缺口。因此，法则的探索过程是本节的重要一环，不可忽视。在探究法则的过程中，让学生多动手、多动脑，尽可能达到在亲身探究中法则自然流淌而出，让学生触摸到知识的源头。【学情分析】知识技能方面：在学习本节课之前，学生已经学习了有理数的加减法运算法则，对符号问题也有了一定的认识。同时，初一的学生也具有一定的观察、归纳、猜想、验证能力。因此，学生对本节课内容具有深厚的知识基础。乘法的交换律、结合律、分配律在小学已经学习过，在有理数部分仍旧适用，其中的教学关键仍然是符号问题。 活动经验方面：七年级学生已经具备了初步探究问题的能力，但归纳概括能力不强，对于表象化的东西理解不深入。乘法法则的提炼经历了将实际问题数学化的过程，需要学生一定的归纳概括能力。同时，借助图形帮助学生确定乘积的符号，可以让学生尽早领悟数形结合思想方法。【教学重难点】教学重点：应用有理数的乘法法则正确的进行有理数乘法计算。教学难点：有理数乘法运算中符号确定的理解。－、学生起点分析学生的知识技能基础：学生在小学已经学习过非负有理数的四则运算以及运算律，在本章的前面几节课中又学习了数轴、相反数、绝对值的有关概念，并掌握了有理数的加减运算法则及其混和运算的方法，学会了由运算解决简单的实际问题，具备了学习有理数乘法的知识技能基础。学生的活动经验基础：在相关知识的学习过程中，学生已经历了探索加法运算法则的活动，并且通过观察＂水位的变化＂，运用有理数的加法法则解决了一些实际问题，从而获得了较为丰富的数学活动经验，同时在以前的学习中，学生曾经历了合作学习和探索学习的过程，具有了合作和探索的意识，另外在加法法则的学习过程中曾经遇到的问题和经历过的挫折，这对有理数的乘法法则的学习也是值得借鉴的宝贵经验。二、学习任务分析教科书基于学生已掌握了有理数加法、减法运算法则的基础上，提出了本节课的具体学习任务：发现探索有理数的乘法法则，了解倒数的概念，会进行有理数的运算。本节课的数学目标是：１、经历探索有理数乘法法则的过程，发展观察、归纳、猜想、验证能力；２、会进行有理数的乘法运算。三、教学策略对于认知的主体——学生来说，他们已经具备了初步探究问题的能力，但是对知识的主动迁移能力较弱，为使学生更好地构建新的认知结构，促进学生的发展，我将在教学中采用诱思探究式教学法并采用多媒体等现代教学手段。以学生为中心，使其在“生动活泼、民主开放、自主探索、合作交流、动手实践”的氛围中愉快地学习，让学生从“学会”到“会学”，使学生真正成为学习的主人. 四、教学过程设计本节课设计了七个环节：第一环节：创设情境，复习导新；第二环节：师生互动，探究新知；第三环节：分析法则，掌握实质；第四环节：解决问题，综合运用；第五环节：体验成功，享受快乐；第六环节：总结收获，畅谈体会；第六环节：布置作业，巩固深化第一环节：创设情境，复习导新活动1：1、计算：①、—5）+（—5）②、（—5）+（—5）+（—5）③、（—5）+（—5）+（—5）+（—5）④、（—5）+（—5）+（—5）+（—5）+（—5）2、猜想下列各式的值（—5）×2；(—5)×3；（—5）×4；(—5）×5，3、两个有理数相乘有几种情况？活动意图：通过创设情境，回顾复习以前的相关知识，以便形成知识迁移，出示负数与正数相乘的乘法引出新课。以给学生造成“心求通而未能得，口预言而未能说”的情势，从而唤起学生强烈的求知欲，使他们以跃跃欲试的姿态投入到新的探索活动中就过来。教学要求与效果：在以上活动１中学生通过加法运算和乘法的意义很快猜想出负数乘以正数的结果，对于有理数相乘有几种情况学生也很容易的得出，但对负数乘以负数心中存有疑惑，为下一个环节留下悬念。第二环节：师生互动，探究新知活动2：如图，一只蜗牛沿直线L爬行：它现在位置恰在L上的点0.024x(1)如果蜗牛一直以每分2cm的速度向右爬行，3分钟后它在什么位置？（+2）×（+3）=+6(2)如果蜗牛一直以每分2cm的速度向左爬行，3分钟后它在什么位置？（-2）×（+3）=-6(3)如果蜗牛一直以每分2cm的速度向右爬行，3分钟前它在什么位置？（+2）×（-3）=-6(4)如果蜗牛一直以每分2cm的速度向左爬行，3分钟前它在什么位置？（-2）×（-3）=+6思考：一个数同0相乘，如何解释？活动3：（1）那么下列一组算式的结果应该如何计算？请同学们思考：（－３）×３＝_____;（－３）×２＝_____;（－３）×１＝_____; （－３）×０＝_____.（２）当同学们写出结果并说明道理时，让学生通过观察这组算式等号两边的特点去发现积的变化规律，然后再出示一组算式猜想其积的结果：（－３）×（－１）＝______;（－３）×（－２）＝______;（－３）×（－３）＝______;（－３）×（－４）＝______.活动4：正数乘正数积为______数。负数乘正数积为______数。正数乘负数积为______数。负数乘负数积为_____数。乘积的绝对值等于各乘数绝对值的___________归纳：有理数的乘法法则两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘。任何数同0相乘，都得0.活动意图：培养学生从图形语言和文字语言中获取信息的能力，感受用数学知识解决实际问题，体验算法多样化。在本环节中，给与学生充分的合作交流、自主探索的时间和空间。通过设置活动2并用课件向学生演示蜗牛在直线上的运动过程，激发学生的学习兴趣。而且设置了四个问题：第一个问题，可以看成是与以前学过的乘法一样，学生容易理解。第二个问题中，结合有理数加法时的讲法，向右为正，向左为负，很容易得出负数与正数相乘结果。第三个问题是关键，在这个问题中，对于时间规定了现在前为负，有了这个规定，就可以得出正数与负数相乘的结果。通过设置活动3以算式求解和探究问题的形式引导学生逐步深入的观察思考，从负数与非负数相乘的一组算式中发现规律后，猜想负数与负数相乘的积是多少，通过对两组算式的观察，归纳，概括出有理数的乘法法则，并用语言表述之，以培养学生的观察能力，猜想能力，抽象能力和表述能力。通过设置活动4，引导学生用数学语言准确地描述以上实例的运算结果，培养学生从特殊归纳一般的意识，提高学生整合知识的能力，以填空形式引导学生对照实例自主完成，进一步引导学生观察积的符号的特点，师生共同归纳出有理数的乘法法则。 教学要求与效果：（1）在以上活动2中可得到“蜗牛一直以每分2cm的速度向右爬行，3分钟后它在什么位置”对于这个算法和结论学生是没有疑义的，但对活动２中得到“蜗牛一直以每分2cm的速度向左爬行，记作－2cm，3分钟后蜗牛所在的位置为（－2）+（－2）＋（－2）＝（－2）×3＝-6cm”的意义是“蜗牛在-6cm位置”会产生疑义，教师应不失时机地复习负数的有关知识，解释“蜗牛在右边-6cm位置”与“蜗牛在左边6cm位置”是等价的。（2）本环节的设计理念是学生通过观察思考，亲身经历感受乘法法则的发现过程，并在合作交流中互相补充，完善结论.但在实际过程中，学生对结论的表述有困难，或者表达不准确，不全面，对于这些问题，教师绝不能求全责备，而应循循善诱，顺势引导，帮助学生尽可能简练准确的表述，也不要担心时间不足而代替学生直接表述法则.（3）展示两组算式时，注意板书艺术，把算式竖排，并对齐书写，这样易于学生观察特点，发现规律.第三环节：分析法则，掌握实质活动5：填空1.（—5）×（—3）同号相乘（—5）×（—3）=+（）______得正5×3=15把绝对值相乘2.（—7）×4__________（—7）×4=—（）___________7×4=28__________（—7）×4=__________归纳：有理数相乘，先确定积的_____，再确定积的_____________.活动意图：通过设置活动5让学生去探索，从新的角度去认识乘法，并用课件向学生展示问题，引导学生理解法则的实质。在本环节留给学生充分探索交流的时间和空间，对学生可能出现的疑问给予帮助，让学生经过自主探索、合作交流从深层次理解法则，真正掌握本节课的重点知识，从而在头脑中再现知识的形成过程，避免单纯的记忆，使学习过程成为一种再创造的过程。对学生及时进行鼓励，充分肯定学生的探究成果，且关注学生的情感体验。教学要求与效果：（１）教科书中没有这个环节的要求，但在教学中应该设计这个环节，确实让学生体验经历验证过程。 　（２）本环节的重点是验证乘法法则的正确性而不是运用乘法法则计算，所以在验证过程中，既要用乘法法则计算，又要加法法则计算，真正体现验证的作用和过程。　（３）在用乘法法则计算时，要注意其运算步骤与加法运算一样，都是先确定结果的符号，再进行绝对值的运算.另外还应注意：法则中的“同号得正，异号得负”是专指“两数相乘而言的，”不可以运用到加法运算中去。第四环节：解决问题，综合运用例1计算（1）（-3）×9（2）（-！/2)×2（3）（-！/3)×（-3）（4）（-2/3)×（-3/2）注意：乘积是１的两个数互为倒数．一个数同+1相乘，得原数，一个数同-1相乘，得原数的相反数。例2用正负数表示气温的变化量，上升为正，下降为负。登山队攀登一座山峰，每登高1km气温的变化量为-60C，攀登3km后，气温有什么变化？问题：实际生活中，还存在其他类似的例子吗，说出来和大家一起分享吧！思考：用“＞”“＜”“＝”号填空。（1）如果a＞0，b＞0，那么a·b____0.（2）如果a＞0b＜0,那么a·b____0.（3）如果a＜0,b＜0,那么a·b____0.（4）如果a=0,b≠0,那么a·b____0（例3.计算⑴（－４）×５×（－０.２５）；　⑵（－3÷5）×（－5÷6）×（－2）；结论：多个数相乘，积的符号由负因数的个数决定，当负因数有奇数个时，积的符号为负；当负因数有偶数个时，积的符号为正.只要有一个数为零，积就为零。活动意图：为培养学生发散思维和规范解题的习惯，引导学生运用有理数的乘法法则解决两个例题，且明确倒数的定义在有理数范围内仍有意义。最后用问题；“实际生活中，还存在其他类似的例子吗，说出来和大家一起分享吧！”再次激起学生的求知欲望和主人翁的学习姿态。本环节通过让学生独立思考、分组讨论，进一步培养学生的合作意识，使学生有效的理解本节课的难点。教学要求与效果：（1）例题讲解板书时，要注意格式归范，一开始对每一步运算应注明理由，运算熟练后，可不要求书写每一步的理由； 　（2）在计算完例１的⑶⑷小题后，引出有理数的互为倒数的概念的同时，要注意复习互为相反数的概念，避免产生混淆错误，并注意本节课不讨论如何求倒数的问题；　（３）例3讲解之后，要启发学生完成＂议一议＂的内容，鼓励学生通过对例２的运算结果观察分析，用自己的语言表达所发现的规律，学生有困难时，教师可设置如下一组算式让学生计算后观察发现规律，而不应代替学生完成这个任务.（－１）×２×３×４＝＿＿＿＿＿;（－１）×（－２）×３×４＝＿＿＿＿＿;（－１）×（－２）×（－３）×４＝＿＿＿＿＿;（－１）×（－２）×（－３）×（－４）＝＿＿＿＿＿;（－１）×（－２）×（－３）×（－４）×０＝＿＿＿＿＿.通过对以上算式的计算和观察，学生不难得出结论：多个数相乘，积的符号由负因数的个数决定，当负因数有奇数个时，积的符号为负；当负因数有偶数个时，积的符号为正.只要有一个数为零，积就为零.当然这段语言，不需要让学习背诵，只要理解会用即可.第五环节：体验成功，享受快乐活动61.抢答题（1）、翻牌游戏老师任意摸两张扑克牌，学生说出它的积，规定：红色为正，黑色为负。（2）、计算①6×（-9）②（-4）×6③（-6）×（-1）④（-6）×0⑤(–)×(–)⑥(-1/3)×18（3）、写出下列各数的倒数。1，-1，1/3,-1/3,5,-5,2/3,-2/3.2、商店降价销售某种商品，每件降5元，售出60件后，与原价销售同样数量的商品相比，销售额有什麽变化？活动意图：对有理数乘法法则的巩固和运用，练习和提高。抓住学生对竞争充满兴趣的心理特征，用抢答题使学生的眼、耳、脑、口得到充分的调动，并让学生在抢答中体验成功，享受快乐。同时让学生通过本环节进一步理解有理数乘法法则，并在实际问题中进一步培养学生应用数学的意识，更好地 促进学生对本节课难点的理解和应用，帮助学生不断完善新的认知结构。教学要求与效果：学生刚开始训练时注意板书格式，要注意格式归范，一开始对每一步运算应注明理由，运算熟练后，可不要求书写每一步的理由；第六环节：总结收获，畅谈体会1、今天这节课我学到的新知识是________2、今天这节课我学到的数学思想或解决问题的方法是_______________________3、今天这节课给我留下印象最深的是_______4、今天这节课留给我的疑惑还有__________活动意图：在课堂临近尾声时，鼓励学生从数学知识、数学方法和数学情感等方面进行自我评价，让学生充分发表自己的感受，并相互补充。及时有效的回顾小结，进一步明确本节课的主要内容、思想和方法，同时培养学生的归纳能力和语言表达能力，以及善于反思的好习惯。让学生品尝收获的喜悦，坚定今后学习数学的信心。活动注意事项：学生小结时，可能会有语言表达障碍或表达不流畅，但只要不影响运算的正确性，则不必强调准确记忆，而应鼓励学生大胆发言，同时教师可用准确的语言适时的加以复述.第七环节：布置作业，巩固深化一、数学小日记日期_________今天数学课的课题：__________________所涉及的重要的数学知识______________理解最好的地方______________________不明白或还需要进一步理解的地方______所学的内容能够应用在而常生活中，举例说明_____________________________________二、必做题1、计算.（1）（-8）×（-7）(2)12×(-5)（3）2．9×（-0．4）（4）-30．5×0．2（5）100×（-0．001）(6)-4．8×(-1．2）（7）（–72）×（+1）2、小欣到知慧迷宫去游玩，发现了一个秘密机关，机关的门口有一些写着整数的数字按纽，此时传来了一个机器人的声音“按出两个数字，积等于8”，请问小欣有多少种按法？你能一一写出来吗？（不管顺序）三、选做题1、（+3）×（3–7）×× 2、小丽收集了9个可乐瓶盖，她把9个瓶盖都盖口朝上排放成一行，她每次都任意翻动两个瓶盖（盖口朝上的翻成朝下，盖口朝下的翻成朝上），问她能否经过若干次翻动后，所有的瓶盖都盖口朝下？活动意图：新课程强调发展学生的数学交流能力，用小日记给学生提供一种表达数学思想和情感的方式，以体现评价体系的多元化，并使学生尝试用数学的眼睛观察事物，体验数学的价值。必做题和选做题，体现分层教学，让“不同的人在数学得到不同的发展”，从而让学生巩固本节所学知识，并能解决实际问题。活动注意事项：对必做题１的计算，应要求学生对每一步的理由要写出来，以巩固有理数的乘法法则，以后的计算可省去理由.。对选做题2注意提醒学生做题的技巧。五、教学反思在教学过程中，我始终：以观察为起点，以问题为主线，以能力培养为核心的宗旨：遵照教师为主导，学生为主体，训练为主线的教学原则；遵循由已知到未知、由浅入深、由易到难的认知规律，采用诱思探究教学法，通过课件和师生的双边活动，使学生的知识和能力得到提高。通过创设、引导、渗透、归纳等活动随时搜集和评价学生的学习情况，及时反馈调节，查漏补缺，从而更好的促进学生全面、持续、和谐的发展。主要体现在：1.创造性的使用教材本节的问题情境教科书提供的是水位的上升，为了激发孩子们的兴趣，.我选用的是蜗牛的爬行，在教学中我们也可以采用其他的问题情境引入课题，例如利用数轴引入，或利用飞机的上升和下降引入，或利用收入和支出引入，总之，根据自己的学生所熟悉的问题，选择一种情境引入都可以.2.相信学生的探索能力本节课的内容适合学生探索，只要教师适当引导，学生具有能力探索出有理数的乘法法则的，不需要教师代替，也不能代替.3.合理使用多媒体教学手段可以弥补课时的不足，但绝不能代替必要的板书.