2.9有理数的乘法

§2.9有理数的乘法1.有理数的乘法法则问题1一只小虫沿一条东西向的跑道，以每分钟3米的速度向东爬行2分钟，那么它现在位于原来的位置的那个方向，相距多少米?我们知道，这个问题可用乘法来解答：3×2＝6，即小虫位于原来位置的东方6米处.注意：这里我们规定向东为正，向西为负。如果上述问题变为：问题2小虫向西以每分钟3米的速度爬行2分钟，那么结果有何变化?这也不难，写成算式就是：(－3)×2＝－6，即小虫位于原来位置的西方6米处。比较上面两个算式，有什么发现?当我们把“3×2＝6”中的一个因数“3”换成它的相反数“－3”时，所得的积是原来的积“6”的相反数“－6”，一般地，我们有：把一个因数换成它的相反数，所得的积是原来的积的相反数.试一试：3×(－2)＝?与3×2＝6相比较，这里把一个因数“2”换成了它的相反数“－2”，所得的积是原来的积“6”的相反数“－6”，即3×(－2)＝－6.再试一试：(－3)×(－2)＝?把上式与(－3)×2＝－6对比，这里把一个因数“2”换成了它的相反数“－2”，所得的积是原来的积“－6”的相反数“6”，即(－3)×(－2)＝6此外，如果有一个因数是0时，所得的积还是0，如(－3)×0＝0、0×2＝0.概括：综合以上各种情况，我们有有理数乘法法则：两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对植相乘.任何数同0相乘，都得0.例如：(－5)×(－3)··················同号两数相乘(－5)×(－3)＝＋()················得正5×3＝15····················把绝对值相乘所以(－5)×(－3)＝15.再如：(－6)×4····················异号两数相乘(－6)×4＝－()···················得负6×4＝24····················把绝对值相乘所以(－6)×4＝－24. 例1计算：(1)(－5)×(－6);(2)解(1)(－5)×(－6)=30;(2)练习1.确定下列两数的积的符号:(1)5×(－3)；(2)(－3)×3;(3)(－2)×(－7)；(4)2.计算:(1)3×(－4)；(2)(－5)×2；(3)(－6)×2；(4)6×(－2)；(5)(－6)×0；(6)0×(－6)；(7)(－4)×0.25;(8)(－0.5)×(－8)；(9);(10);(11)(－5)×2；(12)2×(－5)3.计算:(1)3×(－1)；(2)(2)(－5)×(－1)；(3)；(4)0×(－1)；(5)(－6)×1； (1)(6)2×1；(2)0×1；(3)(8)1×(－1).2．有理数乘法的运算律我们看下面的例子：(－3)×2＝－6，2×(－3)＝－6，就有(－3)×2＝2×(－3).换些数再试一试.一般地，我们有乘法交换律：两个数相乘，交换因数的位置，积不变。ab＝ba.再看下面的例子：－12×(－5)＝(－12)×(－5)＝60，3×＝3×20＝60，就有×(－5)＝3×.换些数再试一试，一般地，我们有乘法结合律：三个数相乘，先把前两个数相积乘，或者先把后两个数相乘，积不变.(ab)c＝a(bc).想一想［(－３)×(－２)］×５与(－２)×［(－３)×５］是否相等?根据乘法交换律和结合律可以推出：三个以上有理数相乘，可以任意交换乘数的位置，也可以先把其中的几个数相乘.例2计算：(-10)××0.1×6解(-10)××0.1×6=[(-10)×0.1]×=(-1)×2=-2能直接写出下列各式的结果吗?(-10)××0.1×6=(-10)××(-0.1)×6= (-10)××(-0.1)×(-6)=观察以上各式，能发现几个正数与负数相乘，积的符号与各因数的符号之间的关系吗?一般地，我们有几个:不等于0的数相乘，积的符号由负因数的个数决定，当负因数有奇数个时，积为负；当负因数有偶数个时，积为正.几个不等于0的数相乘，首先确定积的符号，然后把绝对值相乘.试一试：几个数相乘，有一个因数为0，积就为0.例3计算:(1);(2)解(1)==8+3=11(2)==练习1.计算：(1)(2)(3)2.计算：(1)(2) (3)(4)我们知道，在含有加减乘的算式中，要先算乘，后算加减，有括号时，先算括号里面的.看下面的例子：5×＝5×(－4)＝－20；5×3＋5×(－7)＝15－35＝－20；可得5×＝5×3＋5×(－7).一般地，我们有分配律：一个数同两个数的和相乘，等于把这个数分别同这两个数相乘，再把积相加.a(b＋c)＝ab＋ac.例4计算：(1);(2)解(1);(2)例5计算：(1)4×(-12)+(-5)×(-8)+16(2)解(1)4×(-12)+(-5)×(-8)+16=8×(-6+5+2)=8×1=8(2)由上面的例子可以看出，应用运算律，有时可使运算简便.也有时需要先把算式变形，才能用分配律，如例4(2)，还有时需反向运用分配律，如例5(1).练习1.计算: (1)(2);(3);(4)2.计算:(1);(2)习题2.91.计算(1)(－6)×(－7)；(2)(－5)×12；(3)(－26)×(－1)；(4)(－25)×14.2.计算：(1)0.5×(－0.4)；(2)－10.5×0.2；(3)(－100)×(－0.001)；(4)－4.8×(－1.25)；(5)－7.6×0.02；(6)－4.5×(－0.32).3.计算：(1);(2);(3); (4)4.计算：(1)－2×(－3)×(－4);(2)6×(－7)×(－5);(3)100×(－1)×(－0.1);(4)(－8)××(－1)×0.5;(5)21×(－71)×0×43;(6)－9×(－11)－12×(－8).5.计算：(1);(2)(3)(4)读一读队列操练中的数学趣题一次团体操排练活动中，某班45名学生面向老师站成一列横队.老师每次让其中任意6名学生向后转(不论原来方向如何)，能否经过若干次后全体学生都背向老师站立?如果能够的话请你设计一种方案，如果不能够，请说明理由.问题似乎与数学无关，却又难以入手.注意到学生站立有两个方向，与具有相反意义的量有关，向后转又可想象为进行一次运算，或者说改变符号.我们能否设法联系有理数知识进行讨论?让我们再发挥一下想象力：假设每个学生胸前有一块号码布，上写“+1”，背后有一块号码布，上写“-1”，那么一开始全体学生面向老师，胸前45个+1的“乘积”是+1.如果最后全部背向老师，则45个-1的“乘积”是-1.再来观察每次6名学生向后转进行的是什么“运算”.我们也设想老师不叫“向后转”，而称这6名学生对着老师的数字都“乘以-1”.这样问题就解决了：每次“运算”乘上了6个-1，即乘上了+1，故45个数的乘积不变(数学上称不变量)，始终是+1.所以要乘积变为-1是不可能的. 一个难题，被有理数的简单运算别出心裁地解决了.有理数的知识多么有用！可同学们的想象力更重要.试一试将一根绳子两端分别涂上红色和白色，再在中间随意涂上若干个白色或红色的圆点.在这些圆点中间剪开，这样所得到的各小段两端都有颜色.试说明两端颜色不同的小段数目必是奇数.