例谈绝对值方程与绝对值的化简

例谈绝对值方程与绝对值的化简于都三中蔡家禄绝对值问题在初中数学教学中是一个重点，也是一个难点。学生理解起来感觉比较困难，面对含有绝对值符号的问题常常无从下手。数a的绝对值记作，表示在数轴上代表数a的点与原点的距离，显然距离是没有负数之说，所以任何数的绝对值的结果都是一个非负数。比如，0的绝对值当然是0了，即。推广1：两数差的绝对值可理解为数轴上代表这两个数的点之间的距离，即表示在数轴上数a与数b的点之间的距离。如就可以理解成在数轴上表示6的点与表示9的点之间的距离，显然这两点之间的距离为3，即，同理，就要看成表示－3与8两个点之间的距离了，所以。事实上，就是数a与0之间的距离。解决这类问题一定要弄清是哪两个数相减，即谁与谁的差；推广2：两数和的绝对值可以转化为两数差来解决，即，比如，数轴上表示3与－4两点间的距离为7，表示4与－3两点间的距离也是7。这是我们通过“和”、“差”互为逆运算的关系将两数和的绝对值转化为两数差的绝对值解决了，这是一种非常重要的数学思想。根据以上绝对值的几何意义，我们可以得到去绝对值的法则，即正数的绝对值等于它本身，而一个负数的绝对值就等于它的相反数，即（0的绝对值既可以理解为等于它本身，也可以理解为等于它的相反数）。根据这个法则，我们在求一个数或式的绝对值时，只要先判断它是正数或负数就可以了，而不必去想它到底是代表哪两个点之间的距离了，当然有时我们可以用它的几何意义来帮助我们更直观的理解问题。例1：解方程分析：用绝对值法则来解，首先要判断数的正负，这里数与都是含字母的式子，它的值随字母的取值变化而变化，对于，当时，，而当时，，当时，，这个－2就是使的值为正数或负数的一个分界点，我们通常把它称为零界点，同理的零界点就是4，在数轴上－2，4两个数将数轴分为三部分，如图即三部分，在这三个区间，与的正负就可以确定了，从而我们可以去掉绝对值符号把绝对值方程转化为没有绝对值的一般方程来解了。解：分三种情况，①当时，原方程可化为，解得 ，又，所以不合题意，舍去，此方程无解；②当时，原方程可化为，得6=5，显然此方程无解；③当时，原方程可化为，解得，即此方程无解。综上所述，原绝对值方程无解。我们画个数轴，根据绝对值的几何意义来理解此方程，就是“在数轴上找一个数，使它分别到－2与4的距离相加的和为5”。因为表示－2与4的两点之间的距离为6，所以当表示x的点在－2的左边时，即时，表示x的点分别到表示－2与4的点的距离之和要大于6；当表示x的点在表示－2与4的两点之间时，即时，表示x的点分别到表示－2与4的点的距离之和就等于6；当表示x的点在4的右边时，即时，表示x的点分别到表示－2与4的点的距离之和也大于6；综上可以看出，数轴上是找不出满足方程的x的值的。思考下，若将上述方程的数字5改为6，方程有解吗？若有，它的解是什么？将5改为8呢？小结：解绝对值方程，先确定零界点，有n个绝对值就有n个零界点，n个零界点将数轴分成(n+1)部分，解方程时就要分(n+1)种情况讨论，这种分类讨论的方法称为“零点分段讨论法”。例2：化简思路分析：先找出界点－2，－5，将数轴分为三部分，再分三种情况讨论去掉绝对值符号，合并同类项即可。解：分三种情况，①当时，原式=；②当时，原式=；③当时，原式=。思考：此题分情况讨论后为什么不要“综上所述”来个小结呢？请比较一下绝对值方程与绝对值化简这两类题型的解法有什么相同之处和不同之处。