绝对值化简---“分类思想”一个数的绝对值就是数轴上表示这个数的点到原点的距离。一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数；零的绝对值是零。即显然，任何数的绝对值都是非负数，即≥0.化简含绝对值的式子，关键是去绝对值符号。先根据所给的条件，确定绝对值符号内的的正负（即）。如果已知条件没有给出其正负，应该分类讨论（即分别讨论的情形）。分类思想是数学中一种非常重要的思想。下面以一道例题来分析：例：化简【解析】题目没有给出的正负，要去掉绝对值符号，必须讨论的取值。显然，由于分母不能为0，因此。①当时，=②当时，=通过刚才例题的分析，想必大家对分类讨论的思想已有所了解了吧，下面两道绝对值化简的题目大家可以练习一下哦。1.当，化简
（提示：）2.试化简（提示：当时，=；当时，=）七年级数学核心题目赏析有理数及其运算篇【核心提示】有理数部分概念较多，其中核心知识点是数轴、相反数、绝对值、乘方.通过数轴要尝试使用“数形结合思想”解决问题，把抽象问题简单化.相反数看似简单，但互为相反数的两个数相加等于0这个性质有时总忘记用..绝对值是中学数学中的难点，它贯穿于初中三年，每年都有不同的难点，我们要从七年级把绝对值学好，理解它的几何意义.乘方的法则我们不仅要会正向用，也要会逆向用，难点往往出现在逆用法则方面.【核心例题】例1计算：分析此题共有2006项，通分是太麻烦.有这么多项，我们要有一种“抵消”思想，如能把一些项抵消了，不就变得简单了吗？由此想到拆项，如第一项可拆成，可利用通项，把每一项都做如此变形，问题会迎刃而解.解原式====例2已知有理数a、b、c在数轴上的对应点分别为A、B、C(如右图).化简.分析从数轴上可直接得到a、b、c的正负性，但本题关键是去绝对值，所以应判断绝对值符号内表达式的正负性.我们知道“在数轴上，右边的数总比左边的数大”，大数减小数是正数，小数减大数是负数，可得到a-b0.解由数轴知，aBC，AD=BE，求证：CD+CECD+CE二.对称法对称法是指通过轴对称变换可使某些几何元素集中，关系更密切，更明朗，易于找到解题途径。例2.如图2，已知中，AB>AC，AD是BC边上的高，E是AD延长线上的一点，且DEAB-AC。图2证明：由，作E点关于BC的轴对称点E’，则又作点C关于AE的轴对称点C’，则设，设与相交于点，因为，所以，
所以所以即EB-EC>AB-AC。三.旋转法旋转法是指一般在遇到相邻等线段时，旋转某个含有等线段中的一条的三角形，使其到与另一条线段重合的位置，从而把要求证的结论与原三角形联系起来。例3.如图3，已知中，AB=AC，P是内一点，且。求证：PC>PB。图3证明：把绕点A旋转到的位置，因，故AC和AB重合，因为，又所以所以所以，又因为，所以PC>PB四.延长法延长法是指延长某条线段可以使要求证的线段联系起来，从而利用有关联的三角形中的不等关系来达到证明的目的。例4.如图4，已知P为内一点，求证：AB+AC>PB+PC。
证明：延长BP交AC于D。图4在中，AB+AD>BP+PD，在中，CD+PD>PC，所以AB+AD+CD+PD>BP+PD+PC，所以AB+AC>PB+PC五.截补法截补法是指在证明线段的和或差不等时，截长补短，然后依和差关系来达到求证的目的。例5.如图5，已知中，AB>AC，P是角平分线AD上的点。求证：PB>PC。图5证明：由AB>AC，可在AB上截取AE=AC。连结EP，则，所以因为，即，所以PB>PE，即PB>PC六.面积法例6.如图6，中，G为重心，EF过G与AB、AC分别交于E、F。
求证：。图6证明：连结AG，再连结BG并延长交AC于D点，E在AB上，F必在CD上。因为G是重心，所以BG=2GD，所以，故。七.反证法例7.如图7，在凸四边形ABCD中，已知。求证：ABDC，所以AB+BD>AC+CD这与已知条件相矛盾，所以ABAC，BD，CE分别是AC，AB边上的高。求证：AB+CE>AC+BD图8证明：在中，，所以，，A为锐角，所以，所以，又AB>AC，两边都乘以正数，得，所以，所以九.传递法根据不等式的传递性进行证明。欲证，只需要证得即可。例9.已知BC为的最大边，D、E分别是AB、AC上的任意两点，求证：。
图9证明：如图9，连结BE，则，因BC为的最大边，故。①又，故，所以。②由①与②，可得到。十.化直法先将曲线化为折线，再把折线化为直线（段）然后加以证明，可简喻为化直法。这种方法充分反映了“静止”与“运动”间的对立统一。例10.已知为正三角形，为它的内接三角形，顶点D、E、F分别在BC、CA、AB上。求证：的周长的周长。（见图10）
图10证明：将连续翻转五次，各次对称轴分别为。因的周长，这时周长的2倍为折线，所以的周长的周长。三角形外角的性质及应用蔡志武阮正法角是平面几何中基本的、重要的概念之一，也是学好直线形和圆的基础。本文谈谈三角形外角的性质及应用。一.三角形外角的概念及特征如图1，像∠ACD那样，三角形的一边与另一条边延长线组成的角叫三角形的外角。图1外角特征：（1）顶点在三角形的一个顶点上，如∠ACD的顶点C是△ABC的一个顶点；（2）一条边是三角形的一边，如∠ACD的一条边AC正好是△ABC的一条边；（3）另一条边是三角形某条边的延长线如∠ACD的边CD是△ABC的BC边的延长线。二.性质1.三角形的外角与它相邻的内角互补。2.三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和。3.三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角。4.三角形的外角和等于360°。三.应用
1.求角的度数例1.（2005年四川省南充中考）一个三角形的两个内角分别是55°和65°，这个三角形的外角不可能是（）A.115°B.120°C.125°D.130°解析：如图2，∠A的外角为：180°=125°。∠B的外角为：180°－65°=115°∠ACB的外角为：55°+65°=120°所以选D。图2例2.（2005年浙江省宁波市中考）如图3，AB//CD，∠B=23°，∠D=42°，则∠E=（）A.23°B.42°C.65°D.19°图3解析：延长BE交CD于F因为AB//CD所以∠1=∠B=23°∠BED是△EDF的外角则∠BED=∠1+∠D=23°+42°=65°故选C。
例3.（2006年重庆市中考）如图4，AB=AC，∠BAD=，且AE=AD，则∠EDC=（）A.B.C.D.图4解析：设∠EDC=x°因为∠ADC是△ABD的外角所以∠ADC=∠ABC+∠BAD即∠ADE+x=∠ABC+（1）因为AB=AC，AD=AE所以∠B=∠C，∠ADE=∠AED而∠AED是△DEC的外角所以∠AED=∠EDC+∠C即∠AED=x+∠C（2）将（2）代入（1）得：所以所以选A。2.判定三角形的形状例4.（2003年成都市中考）已知三角形的一个外角小于与它相邻的内角，那么这个三角形是（）A.锐角三角形
B.直角三角形C.钝角三角形D.以上三种情况都有可能解析：如图5，在三角形ABC中，∠BAC的外角∠CAD∠BAC。
图8证明：延长BD交AC于E在△ABE中，∠BEC>∠A在△CDE中，∠BDC>∠BEC所以∠BDC>∠A例8.已知：如图9，在△ABC中，∠BAC=90°，AD⊥BC于D，E是AD上一点，求证：∠DEC>∠ABC。图9证明：因为∠BAC=90°所以∠BAD+∠DAC=90°又因为AD⊥BC所以∠ADB=90°所以∠ABC+∠BAD=90°所以∠ABC=∠DAC又因为∠DEC是△AEC外角所以∠DEC>∠DAC所以∠DEC>∠ABC5.证明角度的和差关系例9.如图10，已知：在△ABC中，AB>AC，∠AEF=∠
AFE，延长EF与BC的延长线交于G，求证：。图10证明：因为∠AEF=∠B+∠G又因为∠AEF=∠AFE，∠AFE=∠GFC所以∠AEF=∠GFC所以∠GFC=∠B+∠G①又因为∠ACB=∠GFC+∠G②①+②得：∠ACB=∠B+2∠G所以例10.如图11，求证：∠A+∠B+∠C+∠D+∠E=180°。图11证明：如图11，∠1=∠C+∠D，∠2=∠A+∠E而∠1+∠2+∠B=180°所以∠A+∠B+∠C+∠D+∠E=180°
练习：1.（1996年昆明市中考）如图12，、、分别是△ABC的外角，且，则∠ACB等于（）A.20°B.30°C.40°D.80°图122.（2004年陕西省中考）如图13，在锐角三角形中，CD、BE分别是AB、AC边上的高，且CD、BE交于一点P。若∠A=50°，则∠BPC的度数是（）A.150°B.130°C.120°D.100°图133.（2005年浙江省中考）如图14，直线a//b，则∠A=_________度。图144.如图15，求∠A+∠B+∠C+∠D+∠E的度数。（提示：利用如图∠1、∠2即可）。
图15巧用倒数解题有些分式题，如果直接求解，往往难以入手，若根据题目条件或欲求结论，将其倒过来求解，则可能立即奏效，化难为易。以下举几例加以说明，以便大家在解题中参考。一、在分式排序中倒过来例1.已知a、b、c、d都是正实数，且，则与0的大小关系是（）A.A＞0B.A≥0C.A＜0D.A≤0解：由，得，即又因为a、b、c、d为正实数，所以故选A。例2.（2001“希望杯”初二培训题）由小到大排列下列各数：是___________。解：把以上各数倒立得：
通分后分别为：而，故二、在分式求值中倒过来例3.（1988年广州五城市初中竞赛题）设，求的值。解：因为，所以对所求值式倒过来得：所以例4.（1997年“希望杯”初二试题）已知a、b、c为实数，且，那么的值是___________。解：将三个条件等式取倒数是则三式相加，并整理得：
将所求式倒立得：所以三、在解分式方程（组）中倒过来例5.求出方程组的所有实数解，并说明你的解答是正确的。解：显然有一组解：；当，原方程组每个方程均倒立可化为由＋＋并整理得：即则经检验均合题意，故原方程组的所有实数解为：及。
例6.解下列方程（）解：取倒数后令其值为k，得：由此可得：，所以于是化简得：，解得或（舍去）因此得方程的解：四、在解不等式中倒过来例7.求满足下述条件的最小正整数n，对于这个n，有唯一的正整数k，满足。解：对取倒数得：即（n、k为正整数）若，则不是正整数
若，则所以满足下列条件的最小正整数n应是97。例8.已知，求S的整数部分。解：设S的分母为A，则有将式取倒数得即，所以S的整数部分为165。字母系数二元一次方程组李光红二元一次方程组中出现字母系数（包括字母常数），是我们经常碰到的问题，它比单纯解方程组要求高一些。解此类问题首先要进行分析，挖掘题目所隐含的条件，运用转化的数学思想，巧妙地列出相应的方程或方程组来解，请看下面的例子。例1若是二元一次方程组的解，求m、n的值。分析：根据方程组解的定义，可把代入方程组中，这样可得到关于m、n的二元一次方程组，解之即可。解：把代入相应的二元一次方程组中，得解得
例2已知方程组与有相同的解，求a、b的值。分析：两个方程组的解相同，也就是有一组x、y的值是这四个方程的公共解，当然也是其中任意两个方程的公共解。所以可以把原来的方程组打乱，重新组合起来求解。解：由已知可得解得把代入剩下的两个方程组成的方程组得解得例3关于x、y的方程组的解中x与y的和等于1，则m的值是。分析：方程组的解也必然是方程的解，也是方程的解，把它们组合得方程组这个方程组的解一定也是方程的解，代入这个方程即可求得m的值。解：由解得代入，得。例4k为何值时方程组无解？分析：将方程组消元，使之化为的形式，然后讨论一次项系数a。当时，有唯一解；当，时，有无数个解；当，时，无解。反之也成立。解：①×2＋②，得。③由原方程组无解，知方程③也无解。所以。解得。当时方程组无解。
例5小刚在解方程组时，本应解出由于看错了系数c，而得到的解为求的值。分析：尽管看错了c，但是和都适合方程组中的第一个方程。将它们代入第一个方程可得到关于a、b的二元一次方程组，可解出a、b的值，再由原方程组的解是可求出c的值。解：∵是方程组的解，∴由方程②，得。设小刚把c看成了n，则满足由③可得。⑤由方程①⑤组成方程组解得所以。例6要使方程组有正整数解，求整数a的值。分析：首先解方程组（用含a的式子表示x、y的取值），再由条件确定a的取值。
解：解方程组得要使x、y均为正整数，则a＋4必须是16和32的正整数因数，所以a＋4只能等于1，2，4，8，16，故整数a的值是－3，－2，0，4，12。［练一练］1、方程组的解中x与y相等，则k＝。2、在二元一次方程组中，当m＝时，这个方程组有无数组解。3、已知关于x、y的方程组的解是求a＋b的值。4、已知关于x、y的方程组的解也是方程的解，求m。5、小明和小言同时解方程组小明把方程①抄错了，求得的解为小言把方程②抄错了，求得的解为求原方程组的解。答案：1、02、93、4、m＝1。5、解二元一次方程组的三个重视贾士锋陶秀娟
解二元一次方程组的主要方法是消元法（化二元为一元最后达到求解的目的）。同学们在初学时常忽视一些运算细节，这些细节虽不是疑难知识点，但如果不注意方法，不养成好习惯，往往会造成会做的题做错，考试中应得的分失去。1、应重视加与减的区分例1解方程组错解：①~②，得n＝2。分析与解：①~②，即。去括号，得。合并同类项，得，即。把代入①，得。所以原方程组的解是失误警示：学习了二元一次方程组的解法后，同学们会感到加减消元法比代入消元法方便好用。但用加减消元法解方程组常常受到符号问题的困扰。解决问题的关键是要正确应用等式性质，重视加与减的区分。2、应重视方程组的化简例2解方程组繁解：由①得。③把③代入②，得。化简，得。解得。把代入③，得。所以原方程组的解是
分析与简解：没有把原方程组化为整数系数的方程组，含有小数的计算容易出错。原方程组可化为以下解答略。失误警示：这道题解法上并没有错误，但思想方法不是很完美，解题应寻找最简便的方法。把含小数系数的二元一次方程组化为整数系数方程组，可以简化运算。3、应重视方程组变形的细节例3解方程组错解：整理，得分析与解：将原方程组整理为④~③，得，代入③，得。所以原方程组的解是失误警示：解二元一次方程组往往需要对原方程组变形，在移项时要特别注意符号的改变。例谈梯形中的常用辅助线侯明辉在解（证）有关梯形的问题时，常常要添作辅助线，把梯形问题转化为三角形或平行四边形问题。本文举例谈谈梯形中的常用辅助线，以帮助同学们更好地理解和运用。一、平移1、平移一腰：从梯形的一个顶点作一腰的平行线，把梯形转化为一个三角形和一个平行四边形。［例1］如图1，梯形ABCD的上底AB=3，下底CD=8，腰AD=4，求另一腰BC的取值范围。
图1析解：过点B作BM//AD交CD于点M，则梯形ABCD转化为△BCM和平行四边形ABMD。在△BCM中，BM=AD=4，CM=CD－DM=CD－AB=8－3=5，所以BC的取值范围是：5－4CF。即BF>CE。在Rt△BDF和Rt△CAE中由勾股定理得BD>AC五、作中位线1、已知梯形一腰中点，作梯形的中位线。［例9］如图9，在梯形ABCD中，AB//DC，O是BC的中点，∠AOD=90°，求证：AB＋CD=AD。
图9析证：取AD的中点E，连接OE，则易知OE是梯形ABCD的中位线，从而OE=（AB＋CD）①在△AOD中，∠AOD=90°，AE=DE所以②由①、②得AB＋CD=AD。2、已知梯形两条对角线的中点，连接梯形一顶点与一条对角线中点，并延长与底边相交，使问题转化为三角形中位线。［例10］如图10，在梯形ABCD中，AD//BC，E、F分别是BD、AC的中点，求证：（1）EF//AD；（2）。图10析证：连接DF，并延长交BC于点G，易证△AFD≌△CFG则AD=CG，DF=GF由于DE=BE，所以EF是△BDG的中位线从而EF//BG，且因为AD//BG，所以EF//AD，EF平行四边形精析
赵春祥本部分知识的重点和难点是平行四边形的性质判定定理（推论）与判定定理在解题中的应用。平行四边形的应用主要包括三个方面：一是直接运用平行四边形的性质去求角的度数、求线段的长度、证明角相等或互补、证明线段相等，等等；二是判定一个四边形是平行四边形，从而判定直线平行等；三是先判定一个四边形是平行四边形，然后再用平行四边形的性质去解决某些问题。一.思维误区警示例1.一组对边及一组对角相等的四边形是否为平行四边形？误区警示：如果用满足题设条件的一部分特殊图形，代替适合题设条件的一切四边形，就容易错误地认为这类四边形一定是平行四边形。正确解法：事实上，一组对边及一组对角相等的四边形不一定是平行四边形。如图1，任意作一等边，在底边BC上取一点E，使，连接AE。作，取ED=AC，连结AD，则四边形ABED满足本题题设条件，但它不是平行四边形。由作图知，四边形ABED满足题设条件。又因，而，故，四边形ABED不是平行四边形。二.典型例题精析1.证明线段垂直例2.如图2，在平行四边形ABCD中，AB=2BC，M为AB的中点，求证：。
分析：根据平行四边形的性质，不仅它的对角相等，而且相邻的角也互补，这就为证明垂直提供了充分的条件。又从已知中和M为AB的中点，可以得到相等的角。利用“两直线平行，内错角相等”及“等边对等角”的性质，得，问题便能得到解决。证明：在平行四边形ABCD中，AB//CD，AD=BC。（内错角），（内错角），M是AB的中点又，所以。由内角和为180°，得∠DMC=90°，所以有。2.证明线段平行例3.如图3，线段AB、CD交于点O，AC//DB，AO=BO，E、F分别为OC、OD的中点，连接AF、BE。求证：AF//BE。分析：从已知条件可证，得到。又E、F为OC、OD中点，则，判定四边形AFBE为平行四边形，。证明：连接BF、AE。因AC//DB，故∠C=∠D。在中，由，故
。又E、F为OC、OD的中点，则OE=OF。又，故四边形AFBE是平行四边形，AF//BE。评析：利用平行四边形的性质，可以证明线段平行。3.证明线段相等例4.如图4，中，，P是BC上的一点，PE//AC交AB于E，PF//AB交AC于F，请猜出线段PE、PF、AB之间存在什么关系，并证明你的猜想。分析：从已知条件中不难证明，从而猜想PE、PF、AB之间满足关系式。证明：四边形AEPF是平行四边形，PF=AE。评析：在解决此类探索型问题时，一般通过对已知条件的分析、比较，探索出结论。4.求线段的长度例5.如图5，在四边形ABCD中，AB=6，BC=8，∠A=120°，∠B=60°，∠BCD=150°。求AD的长。
分析：由∠A和∠B的关系可以判定AD//BC，这样不妨过点C作AB的平行线，构成一个平行四边形，然后利用角之间的关系与平行四边形的性质，使问题得解。解：过点C作CE//AB交AD于E。因∠A+∠B=180°，故AD//BC。四边形ABCE是平行四边形。又因而，故，所以。练一练：1.如图6，在平行四边形ABCD中，AD=2AB，点E、A、B、F在一条直线上，且。求证：2.如图7，某村有一个呈四边形的池塘，在它的四个顶点A、B、C、D处均种有一棵大核桃树。现该村准备开挖池塘建养鱼池，想使池塘面积扩大一倍，又想保持核桃树不动，并要求扩建后的池塘呈平行四边形形状。请问：能否实现这一设想？若能，请你设计并画出图形；若不能，请说明理由。3.如图8，在平行四边形ABCD中，∠A=60°，E、F分别为AB、CD的中点，AB=2AD，求证：。
4.如图9，AD、BC垂直相交于点O，AB//CD。又BC=8，AD=6，求AB+CD的长。钟表上的追及问题新课标提倡，数学走进生活，教科书中出现了与日常生活密切相关的钟表问题。例如：在3点和4点之间的哪个时刻，钟表的时针与分针：（1）重合；（2）成平角；（3）成直角。许多同学面对此题，束手无策，不知如何解决。实际上，因为分针旋转的速度快，时针旋转的速度慢，而旋转的方向却是一致的。因此上面这类问题也可看做追及问题。通常有以下两种解法：一.格数法钟表面的外周长被分为60个"分格"，时针1小时走5个分格，所以时针一分钟转分格，分针一分钟转1个分格。因此可以利用时针与分针旋转的"分格"数来解决这个问题。解析（1）设3点x分时，时针与分针重合，则分针走x个分格，时针走个分格。因为在3点这一时刻，时针在分针前15分格处，所以当分针与时针在3点与4点之间重合时，分针比时针多走15个分格，于是得方程，解得。所以3点16分时，时针与分针重合。（2）设3点x分时，时针与分针成平角。因为在3点这一时刻，时针在分针前15分格处，而在3点到4点之间，时针与分针成一平角时，分针在时针前30分格处，此时分针比时针多走了45分格，于是得方程，解得。所以3点分时，时针与分针成平角。（3）设3点x分时，时针与分针成直角。此时分针在时针前15分格处，所以在3点到4点之间，时针与分针成直角时，分针比时针多走了30分格，于是得方程，解得。所以3点分时，时针与分针成直角。
二.度数法对钟表而言，时针12小时旋转一圈，分针1小时旋转一圈，转过的角度都是360°，所以时针1分钟转过的角度是0.5°，分针1分钟转过的角度是6°。故也可以利用时针与分针转过的度数来解决这道题。解析（1）设3点x分时，时针与分针重合，则时针旋转的角度是0.5x°，分针旋转的角度是6x°。整3点时，时针与分针的夹角是90°，当两针重合时，分针比时针多转了90°，于是得方程，解得。（2）设3点x分时，时针与分针成平角。此时分针比时针多转了90°+180°=270°，于是得方程，解得。（3）设3点x分时，时针与分针成直角。此时分针比时针多转了，于是得方程，解得。练一练1.钟表上9点到10点之间，什么时刻时针与分针重合？2.钟表上5点到6点之间，什么时刻时针与分针互相垂直？3.钟表上3点到4点之间，什么时刻时针与分针成40°的角？4.钟表上2点到3点之间，什么时刻时针与分针成一直线？（参考答案：1.9点49分；2.5点43或5点10分；3.3点9分或3点23分；4.2点43分。）等腰三角形背景下的证明题等腰三角形是特殊的三角形之一，它具有许多特性，因此，以等腰三角形为背景的证明题特别受到中考命题者的青睐，常以此考查同学们对等腰三角形性质的掌握情况及运用能力。例1.如图1，等腰△ABC中，AB＝AC，AD是顶角∠BAC的外角的平分线。求证：AD∥BC图1
分析：要证AD∥BC，只需证明同位角∠1＝∠B（或内错角∠2＝∠C）即可，而这些角究竟有什么关系呢？考虑已知条件AB＝AC，知∠B＝∠C。AD平分∠BAC的外角，得∠1＝∠2又∠1＋∠2＝∠B＋∠C（三角形外角等于与它不相邻的两个内角的和）由这三个相等关系即可得：∠1＝∠B故AD∥BC成立。例2.如图2，等腰△ABC中，AB＝AC，D是AB边上一点，E是AC延长线上一点，且BD＝CE，DE交BC于F。求证：DF＝EF图2分析：要证DF＝EF，只需设法证明DF与EF所在的三角形全等，但由于DF所在的△DFB比EF所在的△EFC显然大，故应考虑添加辅助线。作DG∥AC，交BC于G，则∠DGB＝∠ACB从而∠DGF＝∠ECF（等角的补角相等）由AB＝AC，得∠B＝∠ACB从而∠DGB＝∠B，DG＝BD＝CE在△DFG与△EFC中，∠DGF＝∠ECF，∠DFG＝∠EFC（对顶角相等）故∠GDF＝∠FEC又DG＝CE，所以△DFG≌△EFC所以DF＝EF例3.如图3，等腰△ABC中，AB＝AC，D是BC上任一点，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F。
求证：为定值。图3分析：所谓定值是指不论点D在底边BC的何处，DE＋DF的大小总是等于已知的或隐含的某条线段的长，也就是说定值是一个常量。那么本题的定值究竟是多少呢？我们可以考虑点D所在的特殊位置，当点D与点B重合时，DE的长度为0，DF等于AC边上的高，可见，（DE＋DF）的定值是腰上的高，因此，作△ABC的高BG，然后只需证明DE＋DF＝BG即可。要证，可在BG上截取GH＝DF，然后只需证BH＝DE。连接DH，则只需证明△BDE≌△DBH。易知四边形DFGH是矩形，从而DH∥AC，∠BDH＝∠C，∠BHD＝∠DHG＝90°＝∠BED。又AB＝AC，∠EBD＝∠ABC＝∠C，所以∠BDH＝∠EBD。所以∠EDB＝∠DBH。又BD为公共边，所以△BDE≌△DBH。如果注意到高，联想到三角形面积，则可采用如下简单的证法：连接AD则由，得：又AB＝AC边上的高＝定值例4.如图4，等腰△ABC中，AB＝AC，D是AB边上一点，E是AC延长线上一点，且BD＝CE。求证：DE＞BC
图4分析：要证DE＞BC，由于它们不是同一个三角形的两边，故应先考虑通过添加辅助线把它们迁移到同一个三角形中。把DE沿AB平移到BF，连接EF、CF，则只需证明∠BCF＞∠BFC。易知四边形BDEF是平行四边形，所以∠DEF＝∠DBF，EF＝BD＝CE，∠ECF＝∠EFC又而所以∠BCF＞∠BFC故DE＞BC【练习】1.等腰△ABC中，AB＝AC，D是底边BC延长线上一点。求证：2.等腰△ABC中，AB＝AC，D、E分别是AB、AC上的点（中点除外），且BD＝AE。求证：解读“数据的分析”刘顿
用样本估计总体是统计的基本思想，这一章我们将学习如何通过对样本的数据分析来估计总体的各个特征。一.知识梳理二.重难点精讲1.平均数包括总体平均数和样本平均数，一般情况下都是用样本平均数去估计总体平均数。平均数的计算公式：设n个数的平均数是，则（1）；（2）若出现次，出现次，…，出现次，则，其中。2.平均数是反映样本或总体的平均水平的特征数。平均数的大小与一组数据里的每一个数据都有关系，其中任何一个数据的变化都会引起平均数的变化，这既表明了平均数非常充分地反映了一组数据的信息，也带来了求平均数时较为麻烦的计算问题。3.在一组数据中出现次数最多的数据叫做这一组数据的众数。一组数据的众数有时不唯一。众数着眼于对数据出现次数的分析，这就告诉我们在求一组数据的众数时，既不需要排列，又不需要计算，只要能找出出现次数最多的一个（或几个）数据就可以了。众数是描述一组数据集中趋势的统计量。4.中位数是指将一组数据按大小顺序排列后，处在最中间的一个数（或处在最中间的两个数的平均数）。一组数据的中位数是唯一的。5.平均数、众数和中位数三者之间的关系：平均数、众数和中位数都是描述一组数据的集中趋势的量，但它们描述的角度和适用的范围又不尽相同。用哪种量来描述一组数据的集中趋势，需要看数据的特点和我们要关注的问题。6.一组数据中的最大值减去最小值所得的差叫极差。它能反映数据的变化范围。7.一组数据中，各数据与它们的平均数的差的平方分别是，那么可用它们的平均数，即
来衡量这组数据的波动大小，并把这个平均数叫做这组数据的方差。一组数据的方差越大，说明这组数据的波动越大；方差越小，数据的波动越小。要比较数据的稳定性，一般会用到方差。8.有时为了运用方便，常将求出的方差开平方，即算术平方根。这个算术平方根，即称为这组数据的标准差。标准差也是用来表示一组数据的波动大小的量。9.对于一组给出的数据，可以通过求平均数、中位数和众数来分析数据的集中趋势，也可以通过求极差、方差和标准差来了解数据的离散程度。极差计算方便，但只能反映数据的变化范围。方差计算比较复杂，但可以全面反映数据的离散程度。10.进行数据分析的一般步骤是：（1）收集数据；（2）整理数据；（3）描述数据；（4）分析数据；（5）撰写调查报告；（6）交流。三.思想方法1.统计思想例1.从鱼塘打捞草鱼240尾，从中任选9尾，称得每尾的质量分别是1.5kg，1.6kg，1.4kg，1.6kg，1.2kg，1.7kg，1.8kg，1.3kg，1.4kg。估计这240尾草鱼的总质量约是（）A.300kgB.360kgC.36kgD.30kg解析：先求出样本中9尾鱼的平均质量，再乘以240即为所求，因为这9尾鱼的平均质量是，所以这240尾草鱼的总质量大约是。故应选B。点评：用样本估计总体是统计的基本思想。2.方程思想例2.一组数据4，，9，5，3，x的平均数是4，那么x等于（）。A.3B.4C.5D.6解析：依题意可以构造出方程求解。因为的平均数是4，所以有，解得。故应选B。点评：当数据中含有未知数时，根据题意构造方程是解题的重要方法。3.分类思想例3.已知一组数据-1，4，6，x的极差为9，试确定x的值。
解析：根据题意，这一组数据中的x只能最大值或最小值，所以应分情况讨论。因为数据-1，4，6，x的极差为9，所以有或。解得或。点评：当数据不确定时，应分不同情况讨论。4.数形结合思想例4.为了从甲、乙两名学生中选拔一人参加今年6月份举行的全县中学生数学竞赛，每个月对他们进行一次测验，下图是两人赛前5次测验成绩的折线统计图。（1）分别求出甲、乙两名学生5次测验成绩的平均数与方差。（2）如果你是他们的辅导教师，应选派哪一名学生参加这次数学竞赛？请结合所学统计知识说明理由。解析：要解此题，必须从统计图中捕捉求解的信息，充分利用数形结合的思想方法。从统计图中可以知道甲的5次成绩（单位：分）分别是：65，80，80，85，90；乙的5次成绩（单位：分）分别是：70，90，85，75，80。（1）甲成绩的平均数，乙成绩的平均数=80，进而可以求出甲成绩的方差，乙成绩的方差；（2），所以乙同学的成绩比较稳定，故应选乙参赛。点评：做含有图形的题时，应认真观察图形，从中挖掘有用信息。5.整体思想例5.已知数据的平均数是，则一组新数据的平均数是_______。解析：由于数据的平均数是，故，即。要求一组新数据的平均数，只要利用平均数的公式，并从中找到的因式，从而整体代入求解即可。所以一组新数据的平均数是
。点评：由于求平均数时，所有的数据都参与计算，所以计算量较大，有时利用整体思想可以简化运算过程。练一练1.一射击运动员在射击练习中的成绩如下表所示，射击成绩的众数是________。成绩/环678910次数256432.如果一组数据3，，2，4的平均数是3，那么x是（）A.2B.3C.4D.03.已知一组数据5，15，75，45，25，75，45，35，45，35，那么40是这一组数据的（）A.平均数但不是中位数B.平均数也是中位数C.众数D.中位数但不是平均数4.数据25，41，40，37，22，14，19，39，21，42的极差是______。5.已知的方差为2，则的标准差为_____。参考答案1.82.B3.B4.285.平方根与算术平方根概念辨析裴义明平方根与算术平方根是初中数学中的两个重要概念，因为它们定义相近，联系紧密，所以初学的同学很容易混淆。为帮助同学们正确理解和区分这两个概念，现将它们的区别与联系总结如下：一、区别：1、定义不同。平方根：一般地，如果一个数x的平方等于a，即，那么这个数x叫做a的平方根。例如，，2是4的平方根，，－2是4的平方根，即2和－2都是4的平方根。
算术平方根：一般地，如果一个正数x的平方等于a，即，那么这个正数x叫做a的算术平方根（特别规定：0的算术平方根是0）。例如，，正数2是4的算术平方根。虽然，但－2不是正数，所以－2不是4的算术平方根。2、表示方法不同。平方根：一个非负数a的平方根记做。例如，5的平方根记做。算术平方根：一个非负数a的算术平方根记作。例如，5的算术平方根记作。3、个数不同。平方根：一个正数有两个平方根，它们互为相反数。例如，16的平方根有两个，一个是4，另一个是－4。算术平方根：一个正数的算术平方根只有一个，且这个数是正数。例如，16的算术平方根只有一个，是4。二、联系1、二者之间存在着从属关系。一个正数的平方根包含了这个正数的算术平方根，算术平方根是平方根中的一个。例如，的两个平方根是，其中是的算术平方根。2、二者被开方数的取值范围相同。只有非负数才有平方根，负数没有平方根。只有非负数才有算术平方根，负数没有算术平方根。一个数没有平方根，它一定也没有算术平方根。三、典型例题例1求下列各数的平方根。（1）121（2）（3）0（4）解：（1）因，故121的平方根是。
（2）因，故的平方根是。（3）因，故0的平方根是0。（4）因，故的平方根是。评析：求数a的平方根，就是要把平方后等于a的数都找出来。正数的平方根有两个，不要丢掉负的平方根。例2求下列各数的算术平方根。（1）225．（2）（3）0.49（4）解：（1）因，故225的平方根是，取正的平方根，即225的算术平方根是15。（2）因，故的算术平方根是，即。（3）因，故0.49的算术平方根是0.7，即。（4）因，而，所以的算术平方根是5。评析：求正数a的算术平方根，只需找出平方后等于a的正数。例3下列说法是否正确？为什么？（1）5是25的平方根。（2）25的平方根是5。解：（1）正确。因，所以5是25的平方根。（2）不正确。因都等于25，所以25的平方根是。评析：判断x是不是a的平方根，只需看是否等于a，若，那么x就是a的平方根，求a的平方根，则需将所有平方后等于a的数全部找出来。
例4下列说法正确的是（）A.－5是的算术平方根B.81的平方根是C.2是－4的算术平方根D.9的算术平方根是解：选B。评析：解答此题的关键是理解、掌握平方根和算术平方根的联系和区别。只有非负数才有平方根和算术平方根，所以选项C错误；一个正数有两个平方根，其中正的平方根才叫做算术平方根，所以选项A、D错误。例5求下列各式的值。（1）（2）（3）（4）解：（1）（2）（3）（4）评析：解这类题的关键是弄清三种符号的意义：表示a的平方根，表示a的算术平方根，表示a的负的平方根。例6下列各式正确的是（）A.B.C.D.
解：选D评析：解答此题的关键是掌握平方根和算术平方根的定义和表示方法。一个正数a的平方根记为，它的结果是互为相反数的两个数，所以C错误。一个正数a的算术平方根记为，它的结果是一个正数，所以A、B错误。“平均数、中位数与众数”导学白建伟描述一组数据的“平均水平”的特征数最基本、最常用的是平均数、中位数和众数。学习时应注意以下特别提示以及它们的联系、区别与运用。1.加权平均数定义（1）：在求n个数的算术平均数时，如果出现次，出现次，…，出现次（这里），那么这n个数的算术平均数，也叫做这k个数的加权平均数，其中分别叫做的权。[特别提示]在不同多个数据重复出现时，可运用加权平均数公式。定义（2）：若n个数的权分别是，则叫做这n个数的加权平均数。[特别提示]数据的权能够反映数据的相对“重要程度”。2.中位数：是将一组数据按从小到大（或从大到小）的顺序排列后，当数据的个数为奇数时，处于中间位置的一个数据即为中位数；当数据的个数为偶数时，中间两个数据的平均数即为中位数。[特别提示]（l）中位数是一组数据的“分水岭”，它可能在这组数据中，也可能不在这组数据中；（2）在统计数据的个数时，相同的数据不能算作一个数据；（3）求一组数据的中位数时，一定要按从小到大（或从大到小）的顺序将这组数据排列，且注意这组数据的个数的奇偶性。3.众数：一组数据中出现次数最多的数据叫做这组数据的众数。[特别提示]（1）若一组数据中，有两个或两个以上数据出现的次数最多，则这两个或
两个以上数据都是这组数据的众数；（2）一组数据可以有多个众数，但若一组数据存在众数，则众数必在这组数据中。（3）一组数据中平均数和中位数是唯一的，而众数则不一定唯一。在特殊情况下，平均数、中位数、众数可能是同一个数据。4.联系：平均数、中位数与众数都是反映一组数据的集中趋势，其中平均数最为重要。5.区别：（1）平均数的大小与一组数据里每个数据都有关系，其中任何数据的变动都会相应引起平均数的变动。因此，平均数能较充分地反映一组数据的“平均水平”，但它容易受极端值的影响。当一组数据没有极端值时，一般选用平均数来描述“平均水平”。（2）中位数的大小仅与数据的排列位置有关，部分数据变动对中位数没有影响。当一组数据中的个别数据变动较大时，一般用中位数来描述“平均水平”。（3）众数着眼于各数据出现的次数，其大小与该组的部分数据有关，求一组数据的众数既不需要计算，也不需要排列，只要找出该数据中出现次数最多数据即为众数。因此，因此，当一组数据中有不少数据重复出现时，一般用众数来描述“平均水平”。一元一次不等式导学渠英1、不等式的三条性质不等式的性质是对不等式进行变形的重要依据，是学好不等式的基础和关键。（1）不等式两边加上（或减去）同一个数（或式），不等号方向不变，如果a>b，那么。（2）不等式两边乘（或除）以同一个正数，不等号的方向不变。如果a>b，c>0，那么或。（3）不等式两边乘（或除）以同一个负数，不等号的方向改变。如果，那么或。性质（2）和（3）可简记为“负变正不变”。2、解一元一次不等式解一元一次不等式的步骤与解一元一次方程的步骤大致相同。应用上面的性质（2）和性质（3）解题时，要注意不等号的方向。3、不等式组解集的确定方法（设abcB、ac>bcC、ac>abD、ab>ac图5分析：从a、b、c在数轴上的位置可知，a>0，bac，所以C不正确，D正确。解：选D。
例2（1）用不等式表示：①x的一半与4的差是负数；②x、y两数的平方和不大于2。（2）①若a>b，则_______；②若a>0，b3，x可以取大于3的任何实数；一元一次方程的解是x=3，也就是只有当x=3时才成立。4、求解的步骤解一元一次不等式的步骤一般是去分母，去括号，移项，合并同类项，系数化为1。与解一元一次方程不同之处在于系数化为1时，如果不等式两边同乘以（或除以）一个负数，不等号要改变方向。例1解一元一次不等式1。解：去分母，得去括号，得移项，得合并同类项，得系数化为1，得（注意不等号的方向）5、解应用题的方法用一元一次不等式解应用题的方法与列一元一次方程解应用题的方法相似。主要步骤有：审题，设元，找出主要的不等关系，列不等式，解不等式，检验做答。例2一次“保护环境”知识竞赛共有20道题，答对1道题得10分，答错或不答每题扣5分，至少要答对几道题得分才不少于80分？
分析：答对的题的得分减去答错或不答题所扣的分数应不少于80，据此可列不等式。解：设答对了x道题，则答错或不答的题是道，列出不等式解得答：至少要答对12道题得分才不少于80分。感悟勾股定理孔凡哲芦淑坤勾股定理是几何中最重要的定理之一。它不仅是解直角三角形的主要依据之一，而且在生产生活实际中用途广泛。先看看孔教授是怎么说的吧。勾股定理具有十分悠久的历史，几乎所有的文明古国（中国、埃及、巴比伦、印度等）对它都有研究。因而，有些史学家将其作为人类最伟大的科学发现之一，这并不过分。我国著名数学家华罗庚在谈到一旦人类遇到了“外星人”，该怎样与他们交谈时，曾建议用一幅反映勾股定理的数形关系图作为与“外星人”交谈的语言。甚至还有人提出过这样的建议：在地球上建造一个大型装置，以便向可能会来访的“天外来客”表明地球上存在有智慧的生命，最适当的装置就是一个象征勾股定理的巨大图形，可以设在撒哈拉大沙漠、俄罗斯的西伯利亚或其他广阔的荒原上，一切有知识的生物都必定知道这个非凡的定理，所以用它来做标志最容易被外来者识别！一.勾股定理：历史上证法最多的定理之一勾股定理的证明方法也是丰富多彩的。由于勾股定理简单明白而且重要，因而，两千多年来引起了中外许多人士的兴趣、甚至著名的大物理学家爱因斯坦也给出了一个证明。这个定理堪称世上证法最多的定理之一。据不完全统计，勾股定理的证明方法已经有四百余种了（其中大部分都是利用面积关系来进行证明）。这些证明方法不仅验证了勾股定理，而且丰富了研究数学问题的思想，促进了数学的发展。据说，古希腊数学家兼哲学家毕达哥拉斯十分喜爱这个定理。公元前550年左右，当他发现这个定理时，宰杀了百头牛羊以感谢神的默示。勾股定理在国外也被称为毕达哥拉斯定理。著名的古希腊数学家欧几里得在其巨著《几何原本》中给出了勾股定理的一个很好的证明，这个证明巧妙地运用了全等三角形和面积关系。证明方法如下：如图1，分别以直角三角形ABC的直角边AB、AC及斜边BC为边向外作正方形ABFG、ACKH及BCED，连接FC、AD，作AL⊥DE交DE于点L。显然，△ABD≌△FBC（SAS），，（自C点作BF边的高，可以看出）。
易知，故。同理可证，（连接BK、AE即可）即图1这个证明过程是平面几何中的经典内容。它是建立在欧氏几何逻辑演绎的基础之上的，采用了分割图形、合同变换等综合手段。到目前为止，国际上依然有一些杂志（如美国的《MathematicsTeacher》）经常刊登有关勾股定理的新证法。二.勾股定理：数学中最重要的结论之一勾股定理是一个古老而又应用广泛的定理，它以其简单优美的形式、丰富深刻的内容，充分反映了自然界的和谐关系。因而，它成为数学中最重要的定理之一。例如，从勾股定理出发，逐渐发展了开平方、开立方，用勾股定理计算圆周率等等。再如，可以直观发现很多有趣的结论。比如像图2所示，你能发现下面的结论吗？图2对于正数a、b、c、d，如果a+b=c+d，那么，。
值得一提的是，勾股定理还诱发了人们对数论的研究，其中，勾股数组就是经常涉及的概念。所谓勾股数组，就是满足方程的正整数数组a、b、c。如3、4、5就是勾股数组。勾股数组还有一些奇特的规律，如：（1）对于任意的正整数m、n：如果mn仍为正整数，则它们就构成勾股数组；对于正整数x：也构成勾股数组。（2）如果a、b、c是勾股数组，n是正整数，则na，nb，nc也是勾股数组。（3）如果a、b、c是两两互质的数，并且a、b、c是勾股数组，那么a、b必是一奇一偶，c是奇数。利用所学的知识，你能证明上面的三条结论吗？如果你还想继续研究勾股定理，建议你以“勾股定理”或“勾股数”为关键词在因特网上搜寻有关的信息和资源。实际问题中的不等式组石大浩学习了一元一次不等式组以后，我们可以利用不等式组解决许多与实际密切联系的问题。解决此类问题的关键是要找准不等关系，从而根据不等关系列出不等式组把问题解决。一般情形下，在有关一元一次不等式组的实际问题中，不等关系分为两种类型。一、不等关系明显型此类问题的特点是在题目中会出现明显的表示不等关系的关键字，如“大于”、“小于”、“不能超过”、“不少于”、“最多”等。例1（哈尔滨市）双蓉服装店老板到厂家选购A、B两种型号的服装，若销售一件A型服装可获利18元，销售一件B型服装可获利30元，根据市场需求，服装店老板决定，购进A型服装的数量要比购进B型服装数量的2倍还多4件，且A型服装最多可购进28件，这样服装全部售出后，可使总获利不少于699元，问有几种进货方案？如何进货？分析：由题意，本题不等关系非常明显，由两个表示不等关系的关键字即可看出，即“最多”和“不少于”，因此要解决本题我们可以直接根据这两个关键字列出不等式组。解：设B型服装购进x件，则A型服装购进件，根据题意，得
解得因为x为整数，所以x=10、11、12所以、26、28所以有三种进货方案：B型服装购进10件，A型服装购进24件或B型服装购进11件，A型服装购进26件；B型服装购进12件，A型服装购进28件。例2（连云港市）光明农场有某种植物10000千克，打算全部用于生产高科技药品和保健食品。若生产高科技药品，1千克该植物可提炼出0.01千克的高科技药品，将产生污染物0.1千克，每1千克高科技药品可获利润5000元；每生产1千克保健食品可获利润100元。1千克该植物可生产0.2千克保健食品，将产生污染物0.04千克。要使总利润不低于元，所产生的污染物总量不超过880千克，求用于生产高科技药品的该植物重量的范围。分析：由题意很容易发现体现本题不等关系的两个关键字，即“不低于”和“不超过”，因此我们就根据这两个关键字列出不等式组把问题解决。解：设用于生产高科技药品的该植物重量为x千克，则用于生产保健食品的该植物重量为（10000－x）千克，根据题意，得解得所以用于生产高科技药品的该植物重量不低于7000千克且不高于8000千克。二、不等关系隐含型此类问题的特点是题目中没有出现表示不等关系的关键字，因此不等关系比较含蓄，需要我们从题意中分析得到。例3（广东省茂名市）今年6月份，我市某果农收获荔枝30吨，香蕉13吨，现计划租用甲、乙两种货车共10辆，将这批水果全部运往深圳，已知甲种货车可装荔枝4吨和香蕉1吨，乙种货车可装荔枝、香蕉各2吨。（1）该果农安排甲、乙两种货车时有几种方案？请你帮助设计出来。（2）若甲种货车每辆要付运输费2000元，乙种货车每辆要付运输费1300元，则该果农应选择哪种方案使运输费最少？最少运输费是多少？
分析：本题没有明显的不等关系，但是从题意可知本题是一个最优方案设计问题，因此可以建立不等式组模型来解决问题。由题意，本题的不等关系为：10辆甲、乙两种货车的运货总量至少要达到30吨荔枝，13吨香蕉。解：（1）设安排甲种货车x辆，则安排乙种货车（10－x）辆，根据题意，可得解得因为x为整数，所以x=5、6、7，所以5、4、3。所以车辆安排有三种方案：方案一：甲种车、乙种车各5辆；方案二：甲种车6辆、乙种车4辆；方案三：甲种车7辆、乙种车3辆。（2）方案一，要运输费：元方案二，要运输费：元方案三，要运输费元这说明，方案一所需运输费最少，为16500元。例4（常州市）七（2）班有50名学生，老师安排每人制作一件A型或B型的陶艺品，学校现有甲种制作材料36千克，乙种制作材料29千克，制作A、B两种型号的陶艺品用料情况如下表：需甲种材料需乙种材料1件A型陶艺品0.9千克0.3千克1件B型陶艺品0.4千克1千克（1）设制作B型陶艺品x件，求x的取值范围；（2）请你根据学校现有材料，分别写出七（2）班制作A型和B型陶艺品的件数。分析：本题题目中没有出现明显的表示不等关系的字，所以不等关系比较隐含，分析题意可发现，制作两种型号的陶艺品的材料已给出限制，所用材料不能超过这个限制，因此我们就可以根据总材料的限制来列出本题的不等式组。
解：（1）设制作B型陶艺品x件，则制作A型陶艺品为（50－x）件，由题意，得解得（2）由（1）知，又因为x为整数，所以x=18、19、20，50－x=32、31、30所以七（2）班制作A型和B型陶艺品的件数有三种可能：可能一：制作A型陶艺32件，B型陶艺18件；可能二：制作A型陶艺31件，B型陶艺19件；可能三：制作A型陶艺30件，B型陶艺20件。平面直角坐标系知识导学渠英一.基本概念1.平面直角坐标系的概念是建立在数轴基础上的，在平面内，两条互相垂直且有公共原点的数轴组成平面直角坐标系，通常两条数轴分别置于水平位置与铅直位置，水平的数轴向右为正叫做x轴（横轴），铅直的数轴向上为正叫做y轴（纵轴）。x轴和y轴统称坐标轴，它们的公共原点O称为直角坐标系的原点，建立了直角坐标系的平面叫做坐标平面。2.坐标平面由两条坐标轴和四个象限构成，如图1，可以看成坐标平面的六个区域；x轴，y轴，第一象限，第二象限，第三象限，第四象限。注意：坐标轴上的点不属于任何一个象限。3.平面内的点的位置由它的坐标确定。对于平面内任意一点P，过点P分别向x轴、y轴作垂线，垂足在x轴、y轴上对应的数a、b分别叫做点P的横坐标、纵坐标，有序数对（a，b）叫做点P的坐标。（1）平面内点的坐标是有序实数对，即表示点的坐标的两个实数是有顺序的，横坐标在前，纵坐标在后，位置不能颠倒，如图2中P点的坐标只能写成（a，b），而不能写成（b，a）；
（2）坐标平面内的点与有序实数对一一对应，即对于坐标平面内的任意一点P都有惟一的有序实数对（a，b）与它对应；对于任意一对有序实数（a，b）在坐标平面内都能找到惟一的点P与它对应；（3）点P（a，b）到x轴的距离为|b|，到y轴的距离为|a|。4.特殊位置的点的坐标的特征：（1）坐标轴上的点：①点P的坐标为（a，0）点P在x轴上；②点P的坐标为（0，b）点P在y轴上；（2）各象限内的点：①点P在第一象限；②点P（a，b）在第二象限；③点P（a，b）在第三象限；④点P（a，b）在第四象限；5.具有特殊位置关系的两点之间的坐标关系；（1）关于坐标轴或原点对称的两点，根据对称的性质，如图4，有①点P（a，b）关于x轴对称点坐标为；②点P（a，b）关于y轴对称点坐标为；
③点P（a，b）关于原点对称点坐标为（）。（2）连线平行于坐标轴的两点，连线平行于x轴的两点的纵坐标相同，连线平行于y轴的两点的横坐标相同。6.在平面直角坐标系中，（1）将点向右（或左）平移a个单位长度，可以得到对应点（或）；（2）将点向上（或下）平移b个单位长度，可以得到对应点。其中，。7.图形平移与坐标变化（1）图形上各点的纵坐标不变，横坐标分别加a（a＞0），则图形沿水平方向向右平移，减a（a＞0），则图形沿水平方向向左平移a个单位，形状、大小不变。（2）图形上各点的横坐标不变，纵坐标分别加a（a＞0），则图形沿铅直方向上平移，纵坐标分别减a（a＞0），则图形沿铅直方向下平移a个单位，形状、大小不变。二.中考例题分析讲解例1.（2005年韶关）在图5的直角坐标系中描出下列各组点，并将各组内的点用线段依次连结起来。（1）（2，0）、（4，0）、（6，2）、（6，6）、（5，8）、（4，6）、（2，6）、（1，8）、（0，6）、（0，2）、（2，0）；（2）（l，3）、（2，2）、（4，2）、（5，3）；（3）（1，4）、（2，4）、（2，5）、（1，5）、（1，4）（4）（4，4）、（5，4）、（5，5）、（4，5）、（4，4）
（5）（3，3）。观察所得的图形，你觉得它像什么？分析：本题主要是考查学生正确的在平面直角坐标系中标出点的位置，再将各组内的点用线段依次连结起来。解：如图5，像猫脸。例2.（2006年辽宁）某市有A、B、C、D四个大型超市，分别位于一条东西走向的平安大路两侧，如图6所示，请建立适当的直角坐标系，并写出四个超市相应的坐标。分析：本题是建立适当的坐标系，再写出各点的坐标。解：平安大道所在的直线所在的直线为x轴，过D点垂直于平安大道所在的直线为y轴建立平面直角坐标系，A（10，4）B（6，－4）C（－2，2.5）D（0，－3）例3.如图，图7②至图7④中的图形均由图7①中的图形变换而得：（1）请写出图7①中点A、B、M、N的坐标；（2）请写出图7②至图7④中与点A、B、M、N对应的点A'、B'、M'、N'的坐标；（3）与图7①对比，你能说出图7②至图7④中的图形发生了什么变化吗？
分析：正确的写出图7①中A、B、M、N各点的坐标以及图7②至图7④中A'、B'、M'、N'的坐标是探索图形变化后点的变化的关键。解：（1）图7①中A、B、M、N各点的坐标依次为：（2，4）、（4，0）、（1，2）、（3，2）；（2）图7②中A'、B'、M'、N'各点的坐标依次为：（5，4）、（7，0）、（4，2）、（6，2）。图7③中A'、B'、M'、N'各点的坐标依次为：（2，－4）、（4，0）、（1，－2）、（3，－2）。图7④中A'、B'、M'、N'各点的坐标依次为：（4，8）、（8，0）、（2，4）、（6，4）；（3）图7①到图7②向右平移3个单位，横坐标加3，纵坐标不变；图7①到图7③沿x轴对折，横坐标不变，纵坐标变为相反数；图7①到图7④是以0为位似中心作出的位似图形，且相似比为2：1，纵、横坐标都变为其2倍。例4.（2005年南通通州暨2006年济源）如图8，在直角坐标系中，第一次将变换成，第二次将变换成，第三次将变换成…
已知：A（1，3）、（2，3）、（4，3）、（8，3）；B（2，0）、（4，0）、（8，0）、（16，0）观察每次变换前后的三角形有何变化，按照变换规律，第五次变换后得到的三角形的坐标是_________，的坐标是_________。分析：本题主要考查图形变换与坐标变化的规律，沿x轴向右平移后，纵坐标都没有改变，横坐标改变。因此，A点的纵坐标不变，横坐标，依次变为是，B的纵坐标是0，横坐标是，依次变为是。解：，例5.（2006年成都）如图9，方格纸中的每个小方格都是边长为1的正方形，我们把以格点间连线为边的三角形称为“格点三角形”，图中的是格点三角形。在建立平面直角坐标系后，点B的坐标为（-1，-1）。（1）把向左平移8格后得到，画出的图形并写出点的坐标；（2）、（3）略分析：图形向左平移，图形上各点的纵坐标不变，横坐标分别减8其形状、大小不变。
解：B的坐标为（），向左平移8格后得到解直角三角形的实际应用解直角三角形知识的解决测高、测距等实际问题方面具有重要作用，是中考命题的热点之一。现在以北师大版教材《数学》九年级下册第一章第4节中的题目为例，归纳这类题的解题策略，供读者参考。一.基本题型例1.如图1，海中有一个小岛A，该岛四周10nmile内有暗礁。今有货轮由西向东航行，开始在A岛南偏西55°的B处，往东行驶20nmile后到达该岛的南偏西25°的C处。之后，货轮继续向东航行。你认为货轮继续向东航行途中会有触礁的危险吗？你是怎样想的？与同伴进行交流。（该题是课文开头导入课题的讨论、交流题）图1例2.（P21“想一想”）如图2，小明想测量塔CD的高度。他在A处仰望塔顶，测得仰角为30°，再往塔的方向前进50m至B处，测得仰角为60°，那么该塔有多高？（小明的身高忽略不计，结果精确到1m）图2例3.（习题1.6第2题）有一座建筑物，在地面上A点测得其顶点C的仰角为30°。向建筑物前进50m到B点，又测得C的仰角为45°，求建筑物的高度（结果精确到0.1m）在例1中，要判断货轮继续向东航行途中会不会有触礁的危险，只需求出货轮的航行途中距岛A的最近距离。如图1，作AD⊥BC交BC的延长线于D，该题实际上是求线段AD的长。例2明确指出是求CD的长。根据例3的题意画出图3，CD表示建筑物，该题和例2
相似，都需求出线段CD的长。我们认真观察、比较图1、图2、图3，发现这三道题可归结为下面的基本题目。图3例4.如图4，已知点A，B，D在同一直线上，且A，B在点D的同侧，CD⊥AD于D，AB＝m，∠CAD＝α，∠CBD＝β，求CD的长（用含α，β，m的式子表示）。图4分析：该题图中存在两个直角三角形：△ACD和△BCD。它们有一条公共直角边CD，另一对直角边之差AD－BD＝m为已知。根据锐角的正切定义，可用含CD的式子表示AD和BD，然后列出等量关系式求解。解：在△ACD中，∠ADC＝90°，由锐角的正切定义得，即同理，在△BCD中有解得评注：例4的解答方法是利用两个直角三角形中的边角关系和已知条件AD－BD＝m，列出关于CD的方程，再解方程求出结论。有了例4的解法，例1、例2、例3便迎刃而解了。
说明：例4解答过程中的方程还有其他列法，同学们可尝试别的方法。二.基本题型的引申、推广例5.若把例4中“A，B在点D的同侧”改为“A，B在点D的两侧”，其他条件不变（如图5），求CD的长。图5解：由例4的分析、解答过程可知解得评注：例4和例5是解直角三角形应用题的两个试题模型，利用这两个试题模型，除能解决航海问题和测高问题外，还能解决别的类似问题。三.中考中的类似题型例6.（2005年青海省课改区）如图6，一人工湖的岸边有一条笔直的小路，湖上原有一座小桥与小路垂直相通，现小桥有一部分已断裂，另一部分完好，在完好的桥头A处测得路边的小树D在它的北偏西30°，前进32m到断口B处，测得小树D在它的北偏西45°。请计算小桥断裂部分的长（结果用根号表示）分析：根据题意画出图7，延长AB交小路于点C，则∠ACD＝90°，AB＝32m，∠DAC＝30°，∠DBC＝45°，要求BC的长，可参考例4的解法。
解：如图7，延长AB交小路于点C在Rt△ADC中，在Rt△BDC中，，即小桥断裂部分的长为评注：解答该题要先把实际问题转化为数学问题，在实际问题中建立直角三角形模型。通过对该题的解答，我们要认真领悟转化思想和建模思想在解题中的应用。例7.（2005年青岛市课改区）如图8，为保卫祖国的海疆，我人民解放军海军在相距20nmile的A，B两地设立观测站（海岸线是过A，B的直线），按国际惯例，海岸线以外12nmile范围内均为我国领海，外国船只除特许外，不得私自进入我国领海。某日，观测员发现一外国船只行驶至P处，在A观测站测得∠BAP＝63°，同时在B观测站测得∠ABP＝34°。问：是否需要向此未经特许的船只发生警告，命令其退出我国领海？（参考数据：）分析：由于海岸线以外12nmile范围内均为我国领海，当该外国船只行驶至P处时，我们需要求出该船只到海岸线AB的距离，可过点P作PQ⊥AB于Q，求出PQ的长，再与12nmile比较大小即可判断最后结论。对照例5便可得出解法。
解：如图8，过点P作PQ⊥AB于Q∵在△PAQ中，∠AQP＝90°∴∵在△PQB中，∠PQB＝90°∴解得故应该向该未经特许的船只发出警告，命令其退出我国领海。评注：在解直角三角形应用题中，虽然题目涉及内容不同，但有相当一部分题目的图形与本文的两个“试题模型”是一致的，今后解题时，我们要善于分析、归纳、总结，充分发挥“试题模型”的作用，这就是数学中的“类比思想”。学会类比，精通一道题，会解一类题。练习：1.如图9，天空中有一静止的广告气球C，从地面上A点测得C点的仰角为45°，从地面上B点测得C点的仰角为60°。已知AB＝20m，点C和直线AB在同一铅垂面上，求气球C离地面的高度（结果保留根号）。图92.为测量汉江某段河面宽度，秋实同学设计了如图10所示的测量方案：先在河的北岸选一定点A，再在河的南岸选定相距am的两点B，C，分别测得∠ABC＝α，∠ACB＝β。请你根据秋实同学测得的数据，计算河宽AD。
图10参考答案：1.2.三角形的中位线用于解四边形问题单纯的三角形中位线问题并不复杂，但把它放到四边形中就难多了。下面通过一些例子来有序地讨论这些问题。例1.已知点E、F、G、H分别是四边形ABCD四边的中点，试问四边形EFGH是平行四边形吗？分析：这是个引子问题，也是个基础问题。只要连结四边形ABCD的一条对角线，再利用三角形中位线性质和平行四边形的判定定理“一组对边平行且相等的四边形是平行四边形”可解决问题。它也有许多引伸。如：当四边形ABCD满足什么样条件时，连结它四边中点所得到的四边形是菱形？答案是对角线相等。想想为什么？例2.已知：如图，在△ABC中，点D、E、F分别是三边AB、BC、AC的中点，AH是BC边上的高，垂足是H，试说明四边形DHEF是等腰梯形。
分析：这是一道三角形的中位线与直角三角形斜边上的中线的性质巧妙结合的题。同时，如何描述一下四边形是等腰梯形也是很难的。解：因为点D、E、F分别是AB、BC、AC的中点，所以，DF∥BC又因为HE＜BE，所以HE＜DF所以四边形DHEF是梯形。又，且AH⊥BC所以，则DH＝EF所以四边形DHEF是等腰梯形。例3.已知：如图，四边形ABCD，点E、F分别是AB、CD的中点，试说明。分析：本题看条件很简单，如何得结论似乎无处入手。但只要想到三角形中位线，知道构造三角形，这问题也不难。解：连结BD，取BD中点为H，连结EH、FH。因为点E、F分别是AB、CD的中点
所以又，所以即例4.已知：如图，四边形ABCD，AC、BD交于点O，且AC＝BD，点E、F分别是AB、CD中点，连结EF交AC、BD于G、H，试说明OG＝OH。分析：本题看条件比例3多了一个条件，但解题仍比较困难，这时经验与想象力就很重要了。解：取BC中点为M，连结ME、MF因为点E、F分别是AB、CD的中点所以ME∥AC，MF∥BD又AC＝BD，所以ME＝MF则∠MEF＝∠MFE又ME∥AC，MF∥BD所以∠1＝∠MEF，∠2＝∠MFE所以∠1＝∠2，OG＝OH下面两道题留给同学们思考。（1）已知：四边形ABCD，点M、N分别是AD、BC的中点，点P、Q分别是AC、BD的中点，且AC＝BD，试说明MN⊥PQ。
（2）已知：如图，四边形ABCD，AB＝CD，点E、F分别是AD、BC的中点，BA、CD的延长线交EF的延长线于点G、H，试说明∠BGF＝∠CHF。解直角三角形的方法点拔解直角三角形与直角三角形的概念、性质、判定和作图有着密切的联系，是在深入研究几何图形性质的基础上，根据已知条件，计算直角三角形未知的边长、角的大小和面积等。首先要明确解直角三角形的依据和思路：在直角三角形中，我们是用三条边的比来表述锐角三角函数的定义。因此，锐角三角函数的定义本质上揭示了直角三角形中边角之间的关系，它是解直角三角形的基础。每个边角关系式都可看作方程，解直角三角形的思路，实际上就是根据已知条件，正确地选择直角三角形中边角间的关系式，通过解方程来求解。例1.如图1，若图中所有的三角形都是直角三角形，且，求AB的长。图1思路1：所求AB是的斜边，但在中只知一个锐角A等于
，暂不可解。而在中，已知一直角边及一锐角是可解的，所以就从解入手。解法1：在中，因，且，AE＝1故在中，由，得在中，由，得思路2：观察图形可知，CD、DE分别是和斜边上的高，具备应用射影定理的条件，可以利用射影定理求解。解法2：同解法1得在中，由，得在中，由，得点拔：本题是由几个直角三角形组合而成的图形，这样的问题，可先解出已经具备条件的直角三角形，从而逐步创造条件，使得要求解的直角三角形最终可解。值得注意的是，由于射影定理揭示了直角三角形中有关线段的数量关系，因而在解直角三角形时经常要用到。例2.如图2，在中，，AD是BC边上的中线。（1）若，，求AD的长。（2）若，求证：
图2分析：（1）由AD是BC边上的中线，只知DC一条边长，仅此无法直接在中求解AD。而在中，由已知BC边和可以先求出AC，从而使可解。（2）和分别为和中的锐角，且都以直角边AC为对边，抓住图形的这个特征，根据锐角三角函数可以证明解：（1）在中，，在中，（2）证明：在中，由，，得在中，由，得故，又因BC＝2DC，故点拔：在解直角三角形的问题中，经常会遇到这样的图形，如图2，它是含有两个直角三角形的图形。随着D点在BC边上位置的变化，会引起直角三角形中有关图形数量相应的变化，从而呈现出许多不同的解直角三角形问题。
例3.如图3，在中，，AD是的平分线。（1）若，求（2）在（1）的条件下，若BD＝4，求图3分析：在（1）中已知AD是的平分线，又知AB、BD这两条线段的比为，应用三角形内角平分线的性质定理，就能把已知条件集中转化到中，先求出即可求得。解：（1）由AD是的平分线，得，即在中，由，得，（2）由，得由，得。又点拨：解直角三角形时，要注意三角形中主要线段的性质，利用平面几何的有关定理，往往能够建立已知与未知的联系，从而找到解决问题的突破口。
例4.如图4，在中，，D为BC上一点，，，BD＝1，求AB。图4分析：已知的角告诉我们，和都是特殊的直角三角形，抓住这个特点设未知数，根据线段间的数量关系，可以列出一元一次方程求解解：在中，设，由，可知，得，在中，由，BD＝1，，得得点拨：解直角三角形时，要注意发掘图形的几何性质，利用线段和差的等量关系布列方程，还要熟练地掌握特殊锐角的三角函数值，以使解答过程的表述简便。训练题：如图5，在中，D、F分别在AC、BC上，且，，，求AC。
图5（提示：是直角三角形，AF为斜边上的高线，CF是直角边AC在斜边上的射影，AC又为所求，已知的另外两边都在中，且，即是等腰三角形，因此，可以过D作，从而找到解题思路。由于DE、AF同垂直于BC，可以利用比例线段的性质，逐步等价转化求得AC）等分三角形面积的一个推广由三角形面积的定义可知，三角形一边上的中线能将三角形分割成面积相等的两部分。如图1，AD为△ABC的中线，则；由梯形的性质可知，连接梯形的两条对角线，图中能找到三组面积相等的三角形。图1如图2，在梯形ABCD中，AD∥BC，对角线AC与BD交于O，则，图2应用这两个简单的性质，可以解决下列问题：
问题1：如图3，点D是△ABC边BC上的任意一点（不与B、C重合），能否过点D画一条直线，使直线两侧的面积相等？图3分析：在三角形中，一边上的中线能将三角形分成面积相等的两部分，因此我们想到，先作出三角形的一条中线，将三角形面积分成相等的两部分，然后再利用上面两个性质，使直线符合要求。解：取AB的中点E，连结DE，过点C作CF∥DE交AB于F，作直线DF即是符合要求的直线。理由：连结CE，交DF于O，则在梯形DEFC中，有因为，所以问题2：如图4，若点D、E是△ABC边BC上的任意两点，能否分别过点D、E画两条直线，将△ABC的面积分割成相等的三个部分？图4分析：经过BC边上任意两点画直线，使三角形的面积被分割成相等的三部分，可以转化成上述问题1的一般情况。解：取AB边的三等分点F，连结DF，过点C作CM∥DF，连结DM，则
接下来只要过点E画直线将△MBD的面积二等分：取DM的中点为G，连结EG，过点B作BN∥EG交DM于N，连结EN，则EN分△MBD面积为相等的两部分。直线DM、EN即为所求作的两条直线。由上问题的解决，我们可以推广到更一般的情形中，过三角形某一条边上若干个点（或是分布在不同一边上的若干个点）画直线都可以将三角形分割成面积相等的若干部分。在学习过程中，充分利用我们已有知识，只要我们善于思考、分析、归纳、总结、拓广，然后再加以论证，可以得到许多我们没有发现的结论，在知识的海洋中捕捉到一朵朵美丽的浪花。裂项法（一）同学们知道：在计算分数加减法时，两个分母不同的分数相加减，要先通分化成同分母分数后再计算。（一）阅读思考例如，这里分母3、4是相邻的两个自然数，公分母正好是它们的乘积，把这个例题推广到一般情况，就有一个很有用的等式：即或下面利用这个等式，巧妙地计算一些分数求和的问题。【典型例题】
例1.计算：分析与解答：上面12个式子的右面相加时，很容易看出有许多项一加一减正好相互抵消变为0，这一来问题解起来就十分方便了。像这样在计算分数的加、减时，先将其中的一些分数做适当的拆分，使得其中一部分分数可以相互抵消，从而使计算简化的方法，我们称为裂项法。例2.计算：公式的变式
当分别取1，2，3，……，100时，就有例3.设符号（ ）、< >代表不同的自然数，问算式中这两个符号所代表的数的数的积是多少？
分析与解：减法是加法的逆运算，就变成，与前面提到的等式相联系，便可找到一组解，即 另外一种方法设都是自然数，且，当时，利用上面的变加为减的想法，得算式。这里是个单位分数，所以一定大于零，假定，则，代入上式得，即。又因为是自然数，所以一定能整除，即是的约数，有个就有个，这一来我们便得到一个比更广泛的等式，即当，，是的约数时，一定有，即上面指出当，，是的约数时，一定有，这里，36共有1，2，3，4，6，9，12，18，36九个约数。当时，，当时，，当时，，当时，，
当时，，当时，，当时，，当时，，当时，，故（ ）和< >所代表的两数和分别为49，32，27，25。【模拟试题】二.尝试体验：1.计算：2.计算：3.已知是互不相等的自然数，当时，求。【试题答案】1.计算：2.计算：
3.已知是互不相等的自然数，当时，求。 的值为：75，81，96，121，147，200，361。 因为18的约数有1，2，3，6，9，18，共6个，所以有
（二）前一节我们已经讲过，利用等式，采用“裂项法”能很快求出这类问题的结果来，把这一等式略加推广便得到另一等式：，现利用这一等式来解一些分数的计算问题。【典型例题】例1.分析与解：此题如按异分母加法法则来求和，计算量太大，下面用裂项法试一试。下面我们用，现在给、一些具体的值，看看有什么结果。当时，有当时，有当时，有……当时，有
当时，有上面这998个等式左边的分数，其分母分别与题目中各加数的分母一样，只是分子是2不是1，但是很容易将题目中各数的分子变为2，例如，……，这样采用裂项法也能较快求出结果来。因为，……，，所以例2.因为所以同样可得
一般地，因为这里是任意一个自然数。利用这一等式，采用裂项法便能较快地求出例2的结果。例3.计算：分析与解：
而即连续使用上面两个等式，便可求出结果来。
【模拟试题】（答题时间：15分钟）二.尝试体验1.求和：2.求和：3.求和：【试题答案】1.求和： 2.求和： 3.求和： 变化的鱼学习了平面直角坐标系后，我们来搞个活动，探究一下平面直角坐标系内图形变化与坐标的关系。将下列各点A（0，0）、B（5，4）、C（3，0）、D（5，1）、E（5，－1）、F（4，－2）在平面直角坐标系中描出，然后按照A→B→C→D→E→C→F→A的顺序将各点用线段依次连接起来，如图1。
图1探究一：图形的平移1.观察图1，你觉得它像什么？是不是像一条可爱的小鱼？2.把这些点的横坐标分别加6，纵坐标保持不变，再按照原来的顺序将所得的各点用线段依次连接起来，所得的图案与原来的图案相比在大小、形状、位置上有什么变化？（如图2，我们发现它们的大小、形状不变，位置发生了变化——向右移动了6个单位长度）。图23.图形中各点的坐标如何变化，才能使小鱼上下平移？（要使这条小鱼上下平移，可适当加减这些点的纵坐标，横坐标保持不变。）4.如果把这些点的横坐标都加1，纵坐标都减2，再按照原来的顺序将所得的各点用线段依次连接起来，所得的图案与原来的图案相比在大小、形状、位置上有什么变化？（大小、形状不变，位置发生变化——先向右平移1个单位，再向下平移2个单位。）探究二：图形的伸缩1.将图1中各点进行如下变化：纵坐标保持不变，横坐标分别变成原来的2倍，再按照原来的顺序将所得的各点用线段依次连接起来，所得的图案与原来的图案相比有什么变化？（如图3，大小和形状都发生了变化，图案变长了。）图32.
思考：图形上各点的坐标如何变化，才能使小鱼上下或左右伸缩？（上下伸缩可改变各点纵坐标的大小，横坐标不变；左右伸缩可改变各点横坐标的大小，纵坐标不变。）3.若横、纵坐标分别变为原来的2倍，所得的图形情况又怎样呢？（如图4，所得的图形形状不变，但整个图形变大了。）图4探究三：图形的对称1.图1中各点纵坐标保持不变，横坐标分别乘以－1，再将所得的各点用线段依次连接起来，所得的图案与原来的图案相比有什么变化？（如图5，你能解释为什么吗？）图52.图1中各点横坐标保持不变，纵坐标分别乘以－1，再将所得的各点用线段依次连接起来，所得的图案与原来的图案相比有什么变化？（自己画出图形，观察有什么现象。）规律总结图形的平移：图形中各点纵坐标保持不变，横坐标分别加上或减去a（a>0），则图形向右或向左平移a个单位；横坐标保持不变，纵坐标分别加上或减去a（a>0），则图形向上或向下平移a个单位。图形的伸缩：图形中各点纵坐标保持不变，横坐标分别变成原来的a（a≥1）倍或，则图形横向伸长（或压缩）为原来的a倍（或）；横坐标保持不变，纵坐标分别变成原来的a倍或，则图形纵向伸长（或压缩）为原来的a倍（或）。
图形的对称：图形中各点横坐标保持不变，纵坐标分别乘以－1，所得的图案与原图案关于x轴对称；纵坐标保持不变，横坐标分别乘以－1，所得的图案与原图案关于y轴对称。与初一学生谈数轴数轴是理解有理数概念与运算的重要工具，是数与形结合的基础。同学们在初学时应注意以下几点：1.理解数轴的定义数轴是规定了原点、正方向和单位长度的特殊的直线，原点、正方向、单位长度这“三要素”缺一不可，而且都是根据需要规定的，一经确定就不能更改。2.画数轴的步骤（1）画直线、定原点：通常原点选在直线中间，若问题中负数的个数较多时，原点选靠右些；正数的个数较多时，原点选的靠左些。（2）定方向：通常取原点向右的方向为正方向。（3）定单位长度：选取适当的长度（如0.5cm）为单位长度，若在数轴上表示是0.0001和－0.0004则可取一个单位长度为0.0001；在数轴上表示3000与－4000，则可规定一个单位长度为1000。（4）标数：在数轴上依次标出1，2，3，4，―1，―2，―3，－4等各点。3.画数轴应避免四种错误（1）缺正方向。如下图：（2）缺少原点。如下图：（3）缺少单位长度。如下图：（4）单位长度不统一。如下图：
4.正确理解数轴与有理数间的对应关系（1）会准确地由数轴上的有理数点把所表示的有理数写出来。（2）会准确地把所有的有理数在数轴上表示出来，表示时要用实心圆点。要特别注意的是，所有的有理数都可以用数轴上点来表示；反过来，却不成立，也就是说，“数轴上所有的点都表示有理数”这句话是错误的，这一点在学习了实数后就会明白。5.利用数轴做题数轴通常用于有理数大小比较和化简计算。例a，b在数轴上对应的点如下图所示，化简：。解：观察数轴可知，所以故帮你认识“无理数”初一时，我们认识了负数，使数的范围扩展到了有理数，初二，我们又开始学习了无理数，把数的范围再一次扩展到了实数。刚刚学习无理数，认为无理数不象有理数那样，直观易懂，总有一种虚幻的感觉，其次，无理数和有理数一样，有自己的鲜明特征。那么怎样学习无理数呢？请同学们注意以下四个方面。一.明确无理数的存在无理数来自实践，无理数并不“无理”，也不是人们臆想出来的，它是实实在在存在的，例如：（1）一个直角三角形，两条直角边长分别为1和2，由勾股定理知，它的斜边长为；（2）任何一个圆，它的周长和直径之比为一常数等等；像这样的数，在我们周围的生活中，不是只有少数几个，而是像有理数一样有无限个。二.弄清无理数的定义
教材中指出：无限不循环小数叫无理数，这说明无理数是具有两个基本特征的小数：一是小数位数是无限的；二是不循环的。这对初学者来说有一定难度，因此，我们必须掌握它的表现形式。三.掌握无理数的表现形式在初中阶段，无理数表现形式主要有以下几种：1.无限不循环的小数，如0.……（两个1之间依次多一个0）2.含的数，如：，，等。3.开方开不尽而得到的数，如，等。4.某些三角函数值：如，等。四.辨别一些模糊认识1.无限小数都是无理数无限小数分：为无限循环小数和无限不循环小数，其中无限循环小数是有理数，只有无限不循环的小数才是无理数。2.无理数包括正无理数、负无理数和零。受思维习惯的影响，有些同学错误认为正无理数与负无理数之间应有零，零也是无理数，其实零是一个有理数，因此，无理数只分为正无理数和负无理数两类。3.带根号的数是无理数。是有理数2，是有理数－2，可见带根号的数不一定是无理数。4.无理数是用根号形式表示的数。是无理数，但并不是用根号形式表示的，再如：0.……（两个1之间依次多一个），亦为不带根号的无理数。5.无理数是开方开不尽的数。无理数并非由开方的结果来定义的，事实上，如，0.……，等无理数，都不是由开方得到的。6.两个无理数的和、差、积、商仍是无理数。两个无理数的和，差，积，商不一定是无理数，如：等都是有理数。7.无理数与有理数的乘积是无理数。
这种说法是错误的！由等似乎易见无理数与有理数的积是无理数，就下肯定结论，错了！如等足以推翻以上结论。8.有些无理数是分数。因为分数属于有理数，且无理数与有理数是两类不同的数，所以说，无理数不可能写成分数，当然，有些无理数可以借助分数线来表示。如，但一定要注意它并不是分数。9.无理数比有理数少。这种说法错误，无理数在人们生产和生活中使用的少一些，但并不是说无理数就少一些，我们平常的计算中没有特别需要时，习惯地把一些无理数按要求通过取近似值的方法用有理数来表示，这样似乎就觉得使用无理数少一些，实际上，无理数也有无限个且比有理数多得多。10.一个无理数的平方一定是有理数。这种说法错误，不要误认为只有等无理数，如等也是无理数，显然等不是有理数。不等式的特点与规律孔凡哲李寒月数量关系是数学研究的核心内容之一，数量关系既包括等量关系，也包括不等量关系，与刻画等量关系的等式、方程、函数等模型不同，不等式则是刻画普通存在的不等关系的典型模型。理解进而掌握不等式模型，不仅可以深化对等式、方程等模型的理解，而且可以丰富自己的数学认知结构，为后续学习奠定重要基础。为此，我们必须努力做到以下三个方面。一、理解不等关系不等关系与相等关系既是矛盾对立的，也是相互统一的。事实上，对于两个量a、b之间的不等关系a>b，如果我们引入一个实数，使得，那么，，即是一个正数，从而不等关系a>b可以等价地转化为相等关系（其中是一个正数）。二、理解不等式的基本性质对此我们可以从以下三个方面进行思考1、类比等式性质理解和掌握不等式性质
等式有很多基本的性质，不等式也是如此。在理解不等式的基本性质时，我们可以借助类比的思想，对照等式相应的性质，感受不等式的基本性质。但是，对于性质3“不等式的两边都乘以（或除以）同一个负数，不等号的方向改变”，我们要知道这时不等号的类别不变，但方向改为原来的相反方向，即、、依次改为。这是等式里所没有的，解不等式时尤其要注意这一点。2、能够初步证明不等式的有关性质。利用“（其中是一个正数）”，我们可以很简捷地证明不等式的三个基本性质。例如，对于性质1“若a>b，则”，因“（其中是一个正数）”，于是，由等式性质，得，即，从而必有。同样地，对于性质2和性质3，利用“（其中是一个正数）”也能很容易地证明。3、能够利用不等式的性质解决有关问题解不等式的过程，实际上就是利用不等式的基本性质以及相关的法则将不等式变形的过程。我们可以类比解一元一次方程（组）的过程解一元一次不等式（组）。当然，二者最大的不同在于不等号的变化，解方程（组）时不会涉及这一点。三、理解与不等式有关的建模思想在运动变化过程中，如果用函数模型刻画运动变化的两个变量x、y之间的关系，那么，方程模型刻画的是x、y变化过程中某一瞬间的情况，而不等式模型刻画的是变化过程中x、y之间的大小关系，是更普遍存在的状态。建立不等式模型，需要我们将现实问题“数学化”，即根据问题情境中的数量关系，列出不等式，进而解不等式，最后还要将结果“翻译”到现实问题中，检验其是否符合实际意义。例某服装厂生产西装和领带，每套西装定价200元，每条领带定价40元。厂方在促销期间，向客户提供两种优惠方案：（1）买1套西装送1条领带；（2）西装和领带均按定价的90%付款（即打九折）。某商店老板要到该服装厂购买20套西装和x（x>20）条领带。请你根据x的不同情况，帮助老板选择最省钱的购买方案。解：按方案（1）购买，应付款：（元）。按方案（2）购买，应付款：（元）。由，得，即
时，选方案（1）比选方案（2）省钱。同理，当x=100时，选方案（1）与选方案（2）付款相同；当x>100时，选方案（2）比选方案（1）省钱。若想既获得厂方赠送的领带，同时又享受九折优惠，可将两个方案综合，设计出方案（3）：先按方案（1）购买20套西装并获赠20条领带，然后按方案（2）购买余下的条领带。此时，应付款：（元）。方案（3）与方案（2）比较，显然按方案（3）购买较省钱。方案（3）与方案（1）比较，由，得，解得x>20。故当x>20时，方案（3）比方案（1）省钱。综上所述，当x>20时，按方案（3）购买最省钱。解直角三角形的几种方法解直角三角形是中考必考内容，其中需构造含特殊角的直角三角形再解直角三角形的问题是最受命题者青睐的。本文以近几年全国各地中考题为例说明解这类问题常用的方法。一.三角形作高法若三角形的内角（或外角）中有特殊角时，一般过非特殊角的顶点作三角形的高，可构造出含特殊角的直角三角形。例1.如图1所示，一渔船正以每小时30nmile（海里）的速度由西向东航行，在A处看见小岛C在船的北偏东60°方向，40min后，渔船行至B处，此时看见小岛C在船的北偏东30°方向，若以小岛C为中心，周围10nmile是危险区，这艘渔船继续向东航行是否有进入危险区的可能？图1分析：在△ABC中，和其外角均为特殊角，因此，过非特殊角的顶点C作，可构造出含特殊角的。若设，通过解可获解。解：作，垂足为D，设
，故这艘轮船继续向东航行不会进入危险区。二.梯形作高法若梯形的内角中有特殊角时，一般过较短的底作梯形的高，可构造出含特殊角的直角三角形。例2.如图2所示，塔AB和楼CD的水平距离为80m，从楼顶C处及楼底D处测得塔顶A的仰角分别为45°和60°，试求塔高和楼高。图2分析：在直角梯形ABDC中，有特殊角，过较短底CD的端点C作梯形的高CE，可构造出含特殊角的。解，得AB、AE，从而获塔高AB和楼高CD。解：作，分别解，得故塔高为，楼高为。三.延长四边形不相邻的两边使之相交法有一对角均为直角，或相邻的两角互余的四边形中有特殊角时，可延长不相邻的两边使之相交，构造含特殊角的直角三角形。例3.如图3所示，在四边形ABCD中，AB=8，BC=1，BAD=30°，ABC=60°，四边形ABCD的面积为，求AD的长。
图3分析：显然四边形ABCD中有特殊角DAB和CBA，且它们互余，延长AD、BC相交于E，可得Rt△AEB。解：延长AD、BC相交于E，则三角形外角定理的应用三角形外角定理是三角形内角和定理的推论，在解决实际问题中有着广泛的应用，灵活应用它有助于提高我们的解题能力，下面举例说明。例1一副三角板（分别含45°角和60°角）如图1叠放在一起，求图中∠α的度数。图1分析：欲求∠α的度数，需先求出∠BAE，而∠BAE＋∠B=∠FED，求∠BAE要用三角形外角的性质。解：由题意知，∠B=30°，∠FED=45°，∠BAC=90°∵∠FED是△ABE的外角∴∠FED=∠B＋∠BAE∴∠BAE=∠FED－∠B=15°∴∠α=90°－15°=75°
点评：三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和，所以用三角形外角定理解题的前提是三个角中两个角的度数要知道。例2已知△ABC中，点P是△ABC内的一点，连接BP、CP，试说明：∠BPC=∠ABP＋∠ACP＋∠A。分析：可用三角形的外角定理解题，所以本题要构造三角形的外角。解：如图2，延长BP交AC于点E∵∠BPC是△CEP的外角∴∠BPC=∠PEC＋∠ACP∵∠PEC是△ABE的外角∴∠PEC=∠ABP＋∠A∴∠BPC=∠ABP＋∠ACP＋∠A图2点评：在三角形中求角的关系时常用到三角形外角定理，若没有直接条件，就要作辅助线构造出三角形的外角。数学阅读技巧数学,技巧,阅读
一、阅读引言 1.要注意章节标题，因为它标出了课文主题；2.要注意理解段落大意，弄明白引入新知识的直观素材；3.要抓住关键字、词、句和重要结论，这对于理解新知识非常重要。 二、阅读概念 1.要正确理解概念中的字、词、句，能正确进行文字语言，图形语言和符号语言的互译；2.要注意联系实际找出正反例子或实物；3.要弄明白概念的内涵和外延，就是说既能区分相近的概念，又能知道其适用范围。 三、阅读定理 1.要注意分清定理的条件和结论；2.要探讨定理的证明途径和方法，通过与课本对照，分析证法的正误、优劣；3.要注意联系类似定理，进行分析比较、掌握其应用；4.要思考定理可否逆用，推广及引伸。 四、阅读公式 1.要弄明白公式的来龙去脉，会推导公式；2.要明白公式的特征并能想法子记住；3.要注意公式的应用条件，弄明白有关公式的内在联系，了解公式的运用、逆用、合用，变用和巧用。 五、阅读例题 1.要认真审题，分析解题过程的关键所在，尝试解题；2.要和课本比较解法的优劣，并使解题过程的表达既简捷又符合书写格式；3.要注意总结解题规律并努力去探求新的解题途径七年级数学之一元一次方程练习一1．以为解的一元一次方程是_______．（写出一个即可）2．若是方程的解，则_______．3．若是方程的解，则_______．4．若，，，则和之间的关系式为_______．5．如果，那么_______，这就是说，如果两个数的和为，那么这两个数_______．如果，那么_______，这就是说，如果两个数互为倒数，那么这两个数的积为_______．6．如果在等式的两边同除以就会得到．我们知道，由此可以猜测等于_______．7．若，则应是（ ）Ａ．Ｂ．Ｃ．Ｄ．8．如果，那么①；②；③互为倒数；④都不能为零．其中正确的结论有（ ）Ａ．个Ｂ．个Ｃ．个Ｄ．个9．下列四个式子中，是一元一次方程的为（ ）Ａ．Ｂ．Ｃ．Ｄ．10．根据下列条件，能列出方程的是（ ）Ａ．一个数的倍比小Ｂ．与的差的Ｃ．甲数的倍与乙数的的和Ｄ．与的和是11．若互为相反数，则的解是（ ）Ａ．Ｂ．Ｃ．或Ｄ．任意数12．下列变形正确的是（ ）
Ａ．由，得Ｂ．由，得Ｃ．由，得Ｄ．由，得13．已知，，求的值，试说明根据等式的什么性质．练习二1．如果的值与的值互为相反数，那么等于（ ）Ａ．Ｂ．Ｃ．Ｄ．2．如果式子与互为倒数，那么的值是（ ）Ａ．Ｂ．Ｃ．Ｄ．3．下列变形中属于移项的是（ ）Ａ．由，得Ｂ．由，得Ｃ．由，得Ｄ．由，得4．将方程，去分母得到新方程，其错误的是（ ）Ａ．分母的最小公倍数找错Ｂ．去分母时，分子部分未添括号，造成符号错误Ｃ．去分母时，漏乘了分母为的数Ｄ．去分母时，分子未乘相应的数5．方程的解是（ ）Ａ．Ｂ．Ｃ．或Ｄ．不能确定6．方程，移项，得，也可以理解为方程两边同时（ ）Ａ．加上 Ｂ．减去Ｃ．加上Ｄ．减去7．解方程：．8．解方程：．9．解方程：．
10．解方程：．练习三1．一商店把某商品按标价的九折出售仍可获得的利润，若该商品的进价是每件元，则标价是每件______元．2．买个练习本和支笔共花了元，已知一支笔是元，则每个练习本是______元．3．在航天知识竞赛中，包括甲同学在内的名同学的平均分为分，其中甲同学考了分，则除甲同学以外的名同学的平均分为______分．4．某市开展“保护母亲河”植树造林活动，该市金桥村有亩荒山绿化率达，亩良田视为已绿化，河坡地植树面积已达，目前金桥村所有土地的绿化率为，则河坡地有______亩．5．某超市规定，如果购买不超过元的商品时，按全额收费；购买超过元的商品时，超过部分按九折收费．某顾客在一次消费中，向售货员交纳了元，那么在此次消费中该顾客购买了价值______元的商品．原价8折现价：19.2元6．右图是“东方”超市的“飘柔”洗发水的价格标签，一服务员不小心将墨水滴在标签上，使得原价看不清楚了，请帮忙算一算，该洗发水的原价是（ ）Ａ．元Ｂ．元Ｃ．元Ｄ．元7．在高速公路上，一辆长米，速度为千米／时的轿车准备超越一辆长米，速度为千米／时的卡车，则轿车从开始追击到超越卡车，需要花费的时间约是（ ）Ａ．秒Ｂ．秒Ｃ．秒Ｄ．秒8．陈华以折的优惠价钱买了一双鞋子，节省了元，那么他买鞋子时实际用了（ ）Ａ．元Ｂ．元Ｃ．元Ｄ．元9．一杯可乐售价元，商家为了促销，顾客每买一杯可乐获一张奖券，每三张奖券可兑换一杯可乐，则每张奖券相当于（ ）Ａ．元Ｂ．元Ｃ．元Ｄ．元10．某商店销售一批服装，每件售价元，可获利，求这种服装的成本价．设这种服装的成本价为元，则列得方程为（ ）Ａ．Ｂ．Ｃ．Ｄ．11．某种出租车的收费标准是：起步价元（即行驶路程不超过千米都需付元车费），超过千米以后，每增加千米，加收元（不足千米按千米计），某人乘这种出租车从甲地到乙地共支付车费元，设此人从甲地到乙地经过的路程是千米，那么的最大值是（ ）Ａ．Ｂ．Ｃ．Ｄ．12．某天，一蔬菜经营户用元钱从蔬菜批发市场批发了西红柿和豆角共千克到菜市场去卖，西红柿和豆角这天的批发价与零售价如下表：品名西红柿豆角批发价（单位：元／千克）
零售价（元／千克）问：他当天卖完这些西红柿和豆角能赚多少钱？13．联想中学本学期前三周每周都组织初三学生进行一次体育活动，全年级名学生每人每次都只参加球类或田径类中一个项目的活动，假设每次参加球类活动的学生中，下次将有改为参加田径类活动；同时每次参加田径类活动的学生中，下次将有改为参加球类活动．如果第一次与第二次参加球类活动的学生人数相等，那么第一次参加球类活动的学生应有多少名？14．班委会决定，由小敏、小聪两人负责选购圆珠笔、钢笔共支，送给山区学校的同学，他们去了商场，看到圆珠笔每支元，钢笔每支元．（1）若他们购买圆珠笔、钢笔刚好用去了元，问圆珠笔、钢笔各买了多少支？（2）若购买圆珠笔可折优惠，钢笔可折优惠，在所需费用不超过元的前提下，请你写出一种选购方案．15．足球比赛的记分规则为：胜一场得分，平一场得分，输一场得分．一支足球队在某个赛季中共需比赛场，现已比赛了场，输了场，共得分．请问：（1）前场比赛中，这支球队共胜了多少场？（2）这支球队打满场比赛，最高能得多少分？（3）通过对比赛情况的分析，这支球队打满场比赛，得分不低于分，就可以达到预期的目标．请你分析一下，在后面的场比赛中，这支球队至少要胜几场，才能达到预期目的．小光、小明、小强和小华四人参加数学竞赛，四人的分数是互不相同的整数，四人的平均分是80分。小光得分最少，比小明少得6分；小华得分最多，比小强多得8分。得分最多的小华最少得几分？解：设小光，小明，小强，小华四人各得分为，，，：根据题意有等式：⑴⑵⑶由⑴+⑵得⑷
由⑷+⑶得⑸思想：把各自得分用字母来表示；如下：小光：小明：小强：小华：因为小明是最低分，小华是最高分；理论上就应该有一个数的大小关系即：，但又因为小明比小光分高6分，且小华是最高分，所以要保证这四个人的分数的大小关系，必须要保证：要使得这个不等式成立，大于83.5，但因为分数都为整数，所以最小只能取84将=84代入计算，发现不是小光最低分，而是小强最低；所以取=85代入计算，满足条件。故小华最高分最少是85分。某班学生50人，年龄均为整数，年龄的平均值为12.2，已知班上任意两人的年龄差都不超过3，那么，这班学生中年龄最大的能是几岁？如果有一个学生的年龄达到这个值，那么这个班里年龄既不是最大也不是最小的学生最多有多少人？分析：年龄的平均值12.2大于整数12,若假设都是12岁,则有全班50人的年龄总数，比平均12岁的年龄总数多:(12.2-12)×50=10(岁),（反之少10岁）另外：年龄最大的岁数只能是:12+3=15(岁).如果有一人是15岁,则其余49个平均12岁的人的年龄总和还是要少:10-3=7(岁);（反之多7岁）若：把这7岁平均加到平均分为12分的7个孩子身上,则这7个孩子为13岁.所以最多有7个人的年龄大于12岁而小与15岁.（思想：假设法解应用题或是鸡兔同笼）解：把50个孩子都看作12岁,则有实际总分比假设之后的总分少：(12.2-12)×50=10(岁).所以这班学生中的年龄最大数应该大于12岁,再考虑到任意两人的年龄差都不超过3,故这个最大岁数只可能是12+3=15(岁).若一个孩子15岁,其余孩子都是12岁,则还多10-3=7(岁),再把这7岁平均分到7个孩子身上,有7个孩子13岁.答∶最大是15岁.年龄不是最大也不是最小的学生最多有7个.
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