第1讲绝对值与绝对值不等式的解法

WORD格式整理版第1讲绝对值和绝对值不等式的解法5.1绝对值的概念定义：我们把数轴上表示一个数的点与原点的距离，叫做这个数的绝对值．例如，到原点的距离等于，所以．这一定义说明了绝对值的几何定义，从这一定义中很容易得到绝对值的求法：．5.1.1绝对值的性质【例1】到数轴原点的距离是2的点表示的数是（）A．±2B．2C．-2D．4解：A【例2】已知|x|=5，|y|=2，且xy＞0，则x-y的值等于（　　）A．7或-7B．7或3C．3或-3D．-7或-3解：C【例3】已知：abc≠0，且M=，当a，b，c取不同值时，M有____种不同可能．当a、b、c都是正数时，M=______；当a、b、c中有一个负数时，则M=________；当a、b、c中有2个负数时，则M=________；当a、b、c都是负数时，M=__________．解：3；1，，．练习1：已知是非零整数，且，求的值解：由于，且是非零整数，则一正二负或一负二正，（1）当一正二负时，不妨设，原式；（2）当一负二正时，不妨设，原式．原式．【例4】若，则．解：，所以．结论：绝对值具有非负性，即若，则必有，，．练习1：，________；__________解：．专业学习参考资料 WORD格式整理版练习2：若，则．解：由题意，，所以．5.1.2零点分段法去绝对值对于绝对值，我们经常用到的一种方法是去绝对值，一般采用零点分段法，零点分段法的一般步骤：①找零点→②分区间→③定符号→④去绝对值符号．【例5】阅读下列材料并解决相关问题：我们知道，现在我们可以用这一结论来化简含有绝对值的代数式，如化简代数式时，可令和，分别求得（称分别为与的零点值），在有理数范围内，零点值和可将全体有理数分成不重复且不易遗漏的如下种情况：⑴当时，原式⑵当时，原式⑶当时，原式综上讨论，原式通过阅读上面的文字，请你解决下列的问题：（1）别求出和的零点值解：令，解得，所以是的零点；令，解得，所以是的零点．（2）化简代数式解：⑴当时，原式；⑵当时，原式；⑶当时，原式．综上讨论，原式．（3）化简代数式解：当时，；当时，；专业学习参考资料 WORD格式整理版当时，．综上讨论，原式．5.1.3绝对值函数常见的绝对值函数是：，其图象是绝对值函数学习时，要抓关键点，这里的关键点是．思考如何画的图象？我们知道，表示轴上的点到原点的距离；的几何意义是表示轴上的点到点的距离．【例6】画出的图像解：（1）关键点是，此点又称为界点；（2）接着是要去绝对值当时，；当时，．（3）图像如右图说明：此题还可以考虑该图像可由y=|x|的图象向右平移一个单位后得到练习1.（1）画出的图像；（2）画出的图像【例7】画出的图象解：（1）关键点是和（2）去绝对值当时，；当时，；专业学习参考资料 WORD格式整理版当时，．（3）图象如右图所示．【例8】画出函数的图像解：（1）关键点是（2）去绝对值：当时，；当时，（3）可作出图像如右图【例9】画出函数的图像解：（1）关键点是和（2）去绝对值：当或时，；当时，（3）可作出图像如右图1．________；________；_____；2．，，则__________．3．若，那么一定是（）A．正数B．负数C．非正数D．非负数4．若，那么是________数．5．如图，化简_____________6．已知，则_______．专业学习参考资料 WORD格式整理版7．化简，并画出的图象8．化简．9.画出的图像10.画出的图像答案：1．；；2．或3．C4．负5．-46．37．，图象如下8．9．如图所示10．如图所示5.2绝对值不等式到了高中，绝对值不等式需要强调的有两点：一是由定义引出的绝对值的几何意义的应用；二是代数意义上的分类讨论，其中几何意义的应用主要涉及到有关绝对值不等式的解法，而分类讨论的思想就体现为去绝对值、画绝对值函数图象、解绝对值不等式．专业学习参考资料 WORD格式整理版【例1】解方程：．解：原方程变为，∴或．【例2】解不等式．解：对应数轴上的一个点，由题意，到原点的距离小于1，很容易知道到原点距离等于1的点有两个：和，自然只有在和之间的点，到原点的距离才小于1，所以的解集是．练习1．解不等式：（1）；（2）（3）解：（1）（2）（3）结论：（1）的解集是，如图1．（2）的解集是，如图2．【例3】解不等式．解：由题意，，解得，所以原不等式的解集为．结论：（1）．（2）或练习1：解不等式：（1）；（2）；（3）；解：（1）由题意，，解得，所以原不等式的解集为．（3）由题意，或，解得或，，所以原不等式的解集为．（3）由题意，，解得，所以原不等式的解集为．练习2：解不等式组．解：由，得，解得，①由，得，即，解得，②专业学习参考资料 WORD格式整理版由①②得，，所以原不等式的解集为．练习3：解不等式．解：方法一：由，解得；由得，或，联立得，所以原不等式的解集为．方法二：或，解得，所以原不等式的解集为．【例4】解不等式：解：方法一：（零点分段法）（1）当时，原不等式变为：，解得，所以；（2）当时，原不等式变为：，解得，所以；综上所述，原不等式的解集为．方法二：或，解得或，所以原不等式的解集为．结论：（1）．（2）或．练习4：解不等式：．解：由得，解得，原不等式的解集为．【例5】解方程：（1）（2）（3）（4）【初中知识链接】在三角形中，三角形的两边之和大于第三边，两边之差小于第三边，这个结论反映在数轴上是这样的：若和是数轴上的两个数，那么当时，数到和的距离之和等于与的距离；当或时，数到和的距离之差的绝对值，等于与的距离．以上所有问题都可以用此方法解决．专业学习参考资料 WORD格式整理版解：（1）等式左边式子的几何意义是，实数到和1的距离之和，而和1的距离之和也刚好是3，容易知道，当位于和1之间时，到和1的距离之和就刚好为3，所以的取值范围是．（2）等式左边式子的几何意义是，实数到和1的距离之和，由于和1的距离是3，所以一定在和1的两边，经过计算，可知当位于和时，满足条件．（3）等式左边式子的几何意义是，实数到和1的距离之差，由于和1的距离刚好是4，所以当位于到1的两边时，到和1的距离之差刚好为4，的取值范围是或．（4）等式左边式子的几何意义是，实数到和2的距离之差，由于和1的距离刚好是5，所以一定位于到2之间，可知当位于和时，满足条件．【例6】解不等式：方法1：利用零点分区间法（推荐）分析:由，，得和．和把实数集合分成三个区间，即，，，按这三个区间可去绝对值，故可按这三个区间讨论．解：当时，得，解得：；当时，得，解得：；当时，得，解得：．综上，原不等式的解集为．说明:(1)原不等式的解集应为各种情况的并集；(2)这种解法又叫“零点分区间法”，即通过令每一个绝对值为零求得零点，求解应注意边界值．方法2：利用绝对值的几何意义解：的几何意义是数轴上的点到1和的距离之和小于5的点所对应的取值范围，由数轴可知，，易知当或时，，所以位于和之间（不含端点），所以，所以原不等式的解集为．说明：选择题和填空题中，利用绝对值的几何意义解含有两个绝对值不等式优势明显．专业学习参考资料 WORD格式整理版练习1．解：练习2．解不等式：解：练习3．解：【例7】解不等式：解：当时，原不等式变为：，解得：；当时，得，无解当时，得，解得：．综上，原不等式的解集为．【例8】解关于的不等式解：原不等式变为（1）当时，，原不等式无解；（2）当时，，解得．综上所述，当时，原不等式无解；当时，原不等式的解集为．1.已知，化简得()A.B.C.D.2.不等式的解是，不等式的解是______________.3.不等式的解是______________.4.根据数轴表示三数的点的位置，化简___.专业学习参考资料 WORD格式整理版5.解不等式6.解不等式7.解下列关于的不等式：8.解不等式9．解不等式：答案1.B2.；3.4.05.6.7.8.9．专业学习参考资料