人教版数学七年级上册1.2.4《绝对值》 知识讲解

.绝对值（提高）撰稿：孙景艳审稿：赵炜【学习目标】1．掌握一个数的绝对值的求法和性质；2．进一步学习使用数轴，借助数轴理解绝对值的几何意义；3．会求一个数的绝对值，并会用绝对值比较两个负有理数的大小；4.理解并会熟练运用绝对值的非负性进行解题.【要点梳理】要点一、绝对值1.定义：一般地，数轴上表示数a的点与原点的距离叫做数a的绝对值，记作|a|.要点诠释：（1）绝对值的代数意义：一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0．即对于任何有理数a都有：（2）绝对值的几何意义：一个数的绝对值就是表示这个数的点到原点的距离，离原点的距离越远，绝对值越大；离原点的距离越近，绝对值越小．（3）一个有理数是由符号和绝对值两个方面来确定的．2.性质：绝对值具有非负性，即任何一个数的绝对值总是正数或0．要点二、有理数的大小比较1.数轴法：在数轴上表示出这两个有理数，左边的数总比右边的数小.如：a与b在数轴上的位置如图所示，则a＜b．2.法则比较法：两个数比较大小，按数的性质符号分类，情况如下：两数同号同为正号：绝对值大的数大同为负号：绝对值大的反而小. .两数异号正数大于负数－数为0正数与0：正数大于0负数与0：负数小于0要点诠释：利用绝对值比较两个负数的大小的步骤：（1）分别计算两数的绝对值；（2）比较绝对值的大小：（3）判定两数的大小．3.作差法：设a、b为任意数，若a－b＞0，则a＞b；若a－b＝0，则a＝b；若a－b＜0，a＜b；反之成立．4.求商法：设a、b为任意正数，若，则；若，则；若，则；反之也成立．若a、b为任意负数，则与上述结论相反．5.倒数比较法：如果两个数都大于零，那么倒数大的反而小.【典型例题】类型一、绝对值的概念1．计算：（1）（2）|－4|+|3|+|0|（3）－|+(－8)|【答案与解析】运用绝对值意义先求出各个绝对值再计算结果.(1)，(2)|－4|+|3|+|0|＝4+3+0＝7，(3)－|+(－8)|＝－[－(－8)]＝－8．【总结升华】求一个数的绝对值有两种方法：一种是利用绝对值的几何意义求解，一种是利用绝对值的代数意义求解，后种方法的具体做法为：首先判断这个数是正数、负数还是零．再根据绝对值的代数意义，确定去掉绝对值符号的结果是它本身，是它的相反数，还是零．从而求出该数的绝对值．2．如果|x|＝6，|y|＝4，且x＜y．试求x、y的值．【思路点拨】6和－6的绝对值都等于6，4和－4的绝对值都等于4，所以要注意分类讨论．【答案与解析】因为|x|＝6，所以x＝6或x＝－6；因为|y|＝4，所以y＝4或y＝－4；. .由于x＜y，故x只能是－6，因此x＝－6，y＝±4．【总结升华】已知绝对值求原数的方法：(1)利用概念；(2)利用数形结合法在数轴上表示出来．无论哪种方法但要注意若一个数的绝对值是正数，则此数有两个，且互为相反数.此外，此题x＝－6，y＝±4，就是x＝－6，y＝4或x＝－6，y＝－4.举一反三：【变式1】(1)如果|x|＝6，|y|＝4，且x＞y，则x、y的值各是多少?【答案】x＝6，y＝±4【变式2】如果数轴上的点A到原点的距离是6，则点A表示的数为．如果｜x－2｜＝1，那么x＝；如果｜x｜＞3，那么x的范围是．【答案】6或－6；1或3；或【变式3】已知|a|＝3，|b|＝4，若a，b同号，则|a+b|＝_________；若a，b异号，则|a+b|＝________．据此讨论|a+b|与|a|+|b|的大小关系．【答案】7，1；若a，b同号或至少有一个为零，则|a+b|=|a|+|b|；若a，b异号，则|a+b|＜|a|+|b|，由此可得：|a+b|≤|a|+|b|.类型二、比大小3．比较下列每组数的大小：(1)－(－5)与－|－5|；(2)－(+3)与0；(3)与；(4)与．【思路点拨】先化简符号，去掉绝对值号再分清是“正数与零、负数与零、正数与负数、两个正数还是两个负数”，然后比较．【答案与解析】(1)化简得：－(－5)＝5，－|－5|＝－5．因为正数大于一切负数，所以－(－5)＞－|－5|．(2)化简得：－(+3)＝－3．因为负数小于零，所以－(+3)＜0．(3)化简得：．这是两个负数比较大小，因为，. .，且．所以．(4)化简得：－|－3.14|＝－3.14，这是两个负数比较大小，因为|－π|＝π，|－3.14|＝3.14，而π＞3.14，所以－π＜－|－3.14|．【总结升华】在比较两个负数的大小时，可按下列步骤进行：先求两个负数的绝对值，再比较两个绝对值的大小，最后根据“两个负数，绝对值大的反而小”做出正确的判断．举一反三：【高清课堂：绝对值比大小例（简单举例）】【变式1】比大小：（1）－0.3（2）．【答案】＞；＞【高清课堂：绝对值比大小典型例题2（最后两个）】【变式2】比大小：（1）______－1.384；（2）－π___－3.14．【答案】＞；＜【变式3】若m＞0，n＜0，且|m|＞|n|，用“＞”把m，－m，n，－n连接起来．【答案】解法一：∵m＞0，n＜0，∴m为正数，－m为负数，n为负数，－n为正数．又∵正数大于一切负数，且|m|＞|n|，∴m＞－n＞n＞－m．解法二：因为m＞0，n＜0且|m|＞|n|，把m，n，－m，－n表示在数轴上，如图所示．∵数轴上的数右边的数总比左边的数大，∴m＞－n＞n＞－m．类型三、含有字母的绝对值的化简4.把下列各式去掉绝对值的符号．. .(1)|a－4|(a≥4)；(2)|5－b|(b＞5)．【答案与解析】(1)∵a≥4，∴a－4≥0，∴|a－4|＝a－4．(2)∵b＞5，∴5－b＜0，∴|5－b|＝－(5－b)＝b－5．【总结升华】由字母的取值范围来判断绝对值里面的符号情况，再根据绝对值的意义去掉绝对值的符号.举一反三：【变式1】已知有理数a，b，c在数轴上对应的点的位置如图所示：       化简：【答案】由图所示，可得．    ∴，，，    ∵     ．    ∴原式．【变式2】求的最小值．【答案】法一：当时，则当时，则当时，则综上：当时，取得最小值为：5.法二：借助数轴分类讨论：①；②；③.    的几何意义为对应的点到－2对应点的距离与. .对应点到3对应点的距离和．            由图明显看出时取最小值．所以，时，取最小值5类型四、绝对值非负性的应用5.已知a、b为有理数，且满足：，则a=_______，b=________．【答案与解析】由，，，可得∴【总结升华】由于任何一个数的绝对值大于或等于0，要使这两个数的和为0，需要这两个数都为0．几个非负数的和为0，则每一个数均为0．举一反三：【变式1】已知，则x的取值范围是________．【答案】；提示：将看成整体，即，则，故，．【变式2】已知b为正整数，且a、b满足，求的值．【答案】由题意得∴所以，类型五、绝对值的实际应用6．正式足球比赛对所用足球的质量有严格的规定，下面是6个足球的质量检测结果，用正数记超过规定质量的克数，用负数记不足规定质量的克数．检测结果(单位：克)：－25，+10，－20，+30，+15，－. .40．裁判员应该选择哪个足球用于这场比赛呢?请说明理由．【答案与解析】因为｜+10｜＜｜+15｜＜｜－20｜＜｜－25｜＜｜+30｜＜｜－40｜，所以检测结果为+10的足球的质量好一些．所以裁判员应该选第二个足球用于这场比赛．【总结升华】绝对值越小，越接近标准.举一反三：【变式】一只可爱的小虫从点O出发在一条直线上来回爬行，假定向右爬行的路程记为正数，向左爬行的路程记为负数，小虫爬行的各段路程(单位：cm)依次记为：+5，－3，+10，－8，－6，+12，－10，在爬行过程中，如果小虫每爬行1cm就奖励2粒芝麻，那么小虫一共可以得到多少粒芝麻?【答案】：小虫爬行的总路程为：|+5|+|－3|+|+10|+|－8|+|－6|+|+12|+|－10|＝5+3+10+8+6+12+10＝54(cm)小虫得到的芝麻数为54×2＝108(粒)答：小虫一共可以得到108粒芝麻..