绝对值难题解析绝对值的知识是初中代数的重要内容,在中考和各类竞赛中经常出现,含有绝对值符号的数学问题又是学生遇到的难点之一,解决这类问题的方法通常是利用绝对值的意义,将绝对值符号化去,将问题转化为不含绝对值符号的问题,确定绝对值符号内部分的正负,借以去掉绝对值符号的方法大致有三种类型。 一、根据题设条件 例1 设化简的结果是( )。 (A) (B) (C) (D) 思路分析 由可知可化去第一层绝对值符号,第二次绝对值符号待合并整理后再用同样方法化去. 解 ∴ 应选(B). 归纳点评 只要知道绝对值将合内的代数式是正是负或是零,就能根据绝对值意义顺利去掉绝对值符号,这是解答这类问题的常规思路. 二、借助数轴 例2 实数a、b、c在数轴上的位置如图所示,则代数式的值等于( ). (A) (B) (C) (D) 思路分析 由数轴上容易看出,这就为去掉绝对值符号扫清了障碍. 解 原式 ∴ 应选(C).
归纳点评 这类题型是把已知条件标在数轴上,借助数轴提供的信息让人去观察,一定弄清: 1.零点的左边都是负数,右边都是正数. 2.右边点表示的数总大于左边点表示的数. 3.离原点远的点的绝对值较大,牢记这几个要点就能从容自如地解决问题了. 三、采用零点分段讨论法 例3 化简 思路分析 本类型的题既没有条件限制,又没有数轴信息,要对各种情况分类讨论,可采用零点分段讨论法,本例的难点在于的正负不能确定,由于x是不断变化的,所以它们为正、为负、为零都有可能,应当对各种情况—一讨论.解 令得零点:;令得零点:,把数轴上的数分为三个部分(如图) ①当时, ∴ 原式 ②当时,, ∴ 原式 ③当时,, ∴ 原式
∴ 归纳点评 虽然的正负不能确定,但在某个具体的区段内都是确定的,这正是零点分段讨论法的优点,采用此法的一般步骤是: 1.求零点:分别令各绝对值符号内的代数式为零,求出零点(不一定是两个). 2.分段:根据第一步求出的零点,将数轴上的点划分为若干个区段,使在各区段内每个绝对值符号内的部分的正负能够确定. 3.在各区段内分别考察问题. 4.将各区段内的情形综合起来,得到问题的答案. 误区点拨 千万不要想当然地把等都当成正数或无根据地增加一些附加条件,以免得出错误的结果. 练习: 请用文本例1介绍的方法解答l、2题 1.已知a、b、c、d满足且,那么 2.若,则有( )。 (A) (B) (C) (D) 请用本文例2介绍的方法解答3、4题 3.有理数a、b、c在数轴上的位置如图所示,则式子化简结果为( ). (A) (B) (C) (D)
4.有理数a、b在数轴上的对应点如图所示,那么下列四个式子,中负数的个数是( ). (A)0 (B)1 (C)2 (D)3 请用本文例3介绍的方法解答5、6题 5.化简 6.设x是实数,下列四个结论中正确的是( )。 (A)y没有最小值 (B)有有限多个x使y取到最小值 (C)只有一个x使y取得最小值 (D)有无穷多个x使y取得最小值8、这个世界并不是掌握在那些嘲笑者的手中,而恰恰掌握在能够经受得住嘲笑与批忍不断往前走的人手中。9、障碍与失败,是通往成功最稳靠的踏脚石,肯研究、利用它们,便能从失败中培养出成功。
10、在真实的生命里,每桩伟业都由信心开始,并由信心跨出第一步。