初中数学人教版七年级上册1.2.4绝对值 去绝对值常用方法

去绝对值常用“六招” （初一）去绝对值常用“六招”（初一）绝对值是初中数学的一个重要概念，是后续学习的必备知识。解绝对值问题要求高，难度大，不易把握，解题易陷入困境。下面就教同学们去绝对值的常用几招。一、根据定义去绝对值例1、当a=-5，b=2，c=-8时，求3│a│-2│b│-│c│的值分析：这里给出的是确定的数，所以根据绝对值的意义即正数的绝对值是它本身，负数的绝对值是它的相反数，0的绝对值是0。代值后即可去掉绝对值。解：因为：a=-5＜0，b=2＞0，c=-8＜0所以由绝对值的意义，原式=3[-（-5）]–2×2- [-(-8)]=7二、从数轴上“读取”相关信息去绝对值例2、有理数a、b、c在数轴上的  位置如图所示，且│a│=│b│，化简│c-a│+│c-b│+│a+b│-│a│分析：本题的关键是确定c-a、c-b、a+b的正负性，由数轴上点的位置特征，即可去绝对值。解：由已知及数轴上点的位置特征知：a＜0＜c＜b且-a=b从而  c–a＞0，c-b＜0，a+b=0     故原式=c-a+[-(c–b)]+0-(-a)=b三、由非负数性质去绝对值例3：已知│a2-25│+(b–2)2 =0，求ab的值。分析：因为绝对值、完全平方数为非负数，几个非负数的和为零，则这几个数均为“0”。解：因为│a2-25│+(b–2)2 =0由绝对值和非负数的性质：a2-25=0且b–2=0即a=5  b=2或a=-5  b=2     故ab=10或ab=-10四、用分类讨论法去绝对值例4、若abc≠0，求++ 的值。分析：因abc≠0，所以只需考虑a、b、c同为正号还是同为负号；两个同为正（负）号，另一个为负（正）号，共八种情况。但因为两正（负）、一负（正）的结果只有两种情况，所以其值只有四种情况。解：由abc≠0可知，a、b、c有同为正号、同为负号和a、b、c异号。当a、b、c都为“+”时，++= + + =3当a、b、c都为“-”时，++= - - - =-3当a、b、c中两“+”一“-”时，++=1当a、b、c中两“-”一“+”时，++=-1五、用零点分段法去绝对值例5：求│x+1│+│x-2│+│x-3│的最小值。 分析：x在有理数范围变化，x+1、x–2、x-3的值的符号也在变化。关键是把各式绝对值符号去掉。为此要对x的取值进行分段讨论，然后选取其最小值。解这类问题的基本步骤是：求零点、分区间、定性质、去符号。即令各绝对值代数式为零，得若干个绝对值为零的点，这些点把数轴分成几个区间，再在各区间化简求值即可。解：由x+1=0，x-2=0，x-3=0可确定零点为-1，2，3。由绝对值意义分别讨论如下：当      x＜-1时，原式=-(x+1)+[-(x–2)]+[-(x–3)]=-3x+4＞3+4=7当-1≤x＜2时，原式=(x+1)+[-(x–2)]+[-(x–3)]=-x+6＞-2+6=4当2≤x＜3时，原式= (x+1)+(x–2)+[-(x–3)] = x+2≥ 2+2=4当     x≥3时，原式= (x+1)+(x–2)+  (x–3)   = 3x–4≥3×3-4=5故所求最小值是4。六、平方法去绝对值例6、解方程│x-1│=│x-3│分析：对含有绝对值的方程，用平方法是去绝对值的方法之一，但可能产生增根，所以对所求解必须进行检验，舍去增根。解：两边平方：x2 -2x+1=x2 -6x+9  有4x=8，得x=2  经检验，x=2是原不等式的根。练习1、已知实数a、b、c在数轴上的位置如图，且│a│=│c│，化简：│a+c│-│a+b│+│c-b│+│a│练习2、将上题中的a、b互换，│b│=│c│，化简其结果         练习3将例4中的a、b互换，其它不变，化简其结果。           练习4、若ab＜0，求++ 的值                 练习5、已知：│x-12│+(y-13)2  +(z–5)2 =0，求xyz的值。     练习6、求│x-1│+│x+2│+│x+3│的最小值                练习7、解方程：│1-x│-│x+3│=0参考答案：1、c；2、-a；3、-b；4、-1；5、78；6、4；7、-1； 因此脱去绝对值符号就成了解题的关键。如何正确去掉绝对值符号呢？当然掌握绝对值的意义是第一步（即正数的绝对值是它本身，负数的绝对值是它的相反数，0的绝对值是0）。然后根据所给条件，明确绝对值中数的性质，正确脱去绝对值符号。这样才能走困境“突出”重围。举例说明如下：例2、若│a│=2，│b│=5，求①│a+b│；②若ab＜0，求│a+b│ 分析：由绝对值的几何意义知，满足绝对值为非负数的有两个数，所以要去掉绝对值必须考虑所有满足条件的数，然后再求解。在①题中，满足条件的数可分别组合成四种结果，而这四种结果中其中两种是相同的。在②中由于ab＜0，即a、b异号，所以在两种情况中，由有理数的代数和性质知，其绝对值的结果是相同的。解：①∵│a│=2，│b│=5∴a，b有四种组合结果为：a=2  b=5；a=2  b=-5；a=-2  b=5；a=-2  b=-5；∴│a+b│=7；  或│a+b│=3②因为ab＜0，所以取a=2，b=-5；或a=-2，b=-5；故│a+b│=3例3、已知有理数a、b、c在数轴上的位置如图， 化简：│a│+│b│-│a+b│-│c│+│b-c│+│a-1│分析：在数轴上了解数性，这只是“突围”的开始。本题含有较多的绝对值，所以其关键仍然是分别考虑每个绝对值中代数式的性质，然后根据绝对值的意义去掉绝对值，达到“突围”并转化为多项式的化简。解：由图知-1＜b＜0＜1＜c＜a所以由有理数加减法性质有：a+b＞0；b-c＜0；a–1＞0    故原式=a–b-(a+b)–c+[-(b–c)]+(a–1)=a-3b–1 零点分段法的几何意义：从数轴上看，问题转化为：在数轴上是否存在表示数x的点，它到表示各零点x+1=0、x–2=0、x-3=0的距离的和最小？