绝对值题型归纳总结一、知识梳理模块一绝对值的基本概念（1）非负性：（补充：）．对应题型：绝对值的化简．方法：判断“”里面整体的正负性．易错点：求一个多项式的相反数．对应策略：求一个多项式的相反数即求多项式中每个单项式的相反数．①的相反数是；②的相反数是；③的相反数．（2）双解性：，则．（3）绝对值的代数意义：（常用）或变式结论：①若，则；②若，则．模块二零点分段法（目的：去无范围限定的绝对值题型）零点：使绝对值为0的未知数值即为零点．方法：①寻找所有零点，并在数轴上表示；②依据零点将数轴进行分段；③分别根据每段未知数的范围去绝对值．易错点：分类不明确，不会去绝对值．化简：．①零点为1，2，故将数轴分为3个部分，即，，．②当时，原式；当时，原式；当时，原式．模块三几何意义的几何意义：数轴上表示数的点与原点的距离；举例：①表示x到
的几何意义：数轴上表示数x的点与数a的点之间的距离；的几何意义：数轴上表示数x的点与数a、b两点的距离之和．的距离．②表示x到和x到的距离之和．③表示x到和x到的距离之差．基本结论：令，．方法：直接套用几何意义画数轴．①当n为奇数时，当时取最小值；②当n为偶数时，当时取最小值．常见变形：①在时取得最小值．②在时取得最小值．③既有最小值也有最大值．例题分析题型一绝对值代数意义及化简【例1】⑴下列各组判断中，正确的是()A．若，则一定有B．若，则一定有C.若，则一定有D．若，则一定有⑵如果＞，则()A． B．＞ C． D＜⑶下列式子中正确的是 ()A．B．C．D．⑷对于，下列结论正确的是()A．B．C．D．⑸若，求的取值范围．【解析】⑴选择D．⑵选择B．
⑶我们可以分类讨论，也可以用特殊值法代入检验，对于绝对值的题目我们一般需要代正数、负数、，种数帮助找到准确答案．易得答案为D．⑷我们可以用特殊值法代入检验，正数、负数、，种数帮助找到准确答案．⑸，所以，即．【变1】已知：⑴，且；⑵，分别求的值【解析】因为，因为，又因为，所以即或⑵由非负性可知【例1】设为整数，且，求的值【解析】因为为整数，且故与一个为，一个为，从而，原式【例2】（1）已知，则．（2）满足（）有理数、，一定不满足的关系是（）A．B．C．D．（3）已知有理数、的和及差在数轴上如图所示，化简．【解析】（1）容易判断出，当时，，，所以这道题目体现了一种重要的“先估算+后化简+再代入求值”的思想．（2）为研究问题首先要先将题干中条件的绝对值符号通过讨论去掉，若时，，若时，，
从平方的非负性我们知道，且，所以，则答案A一定不满足．（3）由图可知，，两式相加可得：，进而可判断出，此时，，所以．【变1】若，则．【解析】，，故．【变2】若，求的值．【解析】法1：∵，则原式法2：由，可得，则原式【点评】解法二的这种思维方法叫做构造法．这种方法对于显示题目中的关系，简化解题步骤有着重要作用．【例1】已知，其中，那么的最小值为【解析】，当，的最小值为【例2】若的值是一个定值，求的取值范围.【解析】要想使的值是一个定值，就必须使得，且，
原式，即时，原式的值永远为3.【例1】是一个五位自然数，其中、、、、为阿拉伯数码，且，则的最大值是．【解析】当时，，当，时取最大值当，且时，，当，，时取得最大值．所以的最大值是．【例2】设为非零实数，且，，．化简．【解析】，，；，；，，所以可以得到，，；．【变1】已知，，化简．【解析】∵，∴，又∵，∴，∴，∴又∵，∴又∵，∴∴原式题型一关于的探讨应用【例3】已知是非零有理数，求的值.【解析】若，那么；若，那么.
【例1】已知是非零整数，且，求的值【解析】因为是非零有理数，且，所以中必有一正二负，不妨设，则原式【解析】【变1】三个数，，的积为负数，和为正数，且，求的值.【解析】，，中必为一负两正，不妨设，则；，所以原式＝1.【变2】，，为非零有理数，且，则的值等于多少？【解析】由可知，，里存在两正一负或者一正两负；若两正一负，那么；若一正两负，那么．综上所得．【变3】如果，则值等于（）A．B．C．D．【解析】易知，所以原式，故选择A【例2】如果，求的值．【解析】由得，进而有，
若，则，若，则．【例1】设实数，，满足，及，若，，那么代数式的值为______．【解析】由及，知实数，，中必有两个负数，一个正数，从而有．又=，则．【例2】有理数均不为零，且，设，则代数式的值为多少？【解析】由易知中必有一正两负或两正一负，不妨设或所以或者，所以，所以原式【变1】有理数均不为零，且，设，则代数式的值为多少？【解析】由易知中必有一正两负或两正一负，不妨设或所以或者，所以当时，原式当时，原式【变2】已知、、互不相等，求的值．【解析】由题意可得且，把，，当成整体分类讨论：①两正一负，原式值为；②两负一正，原式值为．
【例1】若有理数、、满足，求的值．【解析】由可得：有理数、、中两正一负，所以，所以，．【变1】有理数，，，满足，求的值．【解析】由知，所以，，，里含有1个负数或3个负数：若含有1个负数，则；若含有3个负数，则．题型一零点分段讨论法【例2】化简．【解析】先找零点.，；，零点可以将数轴分成三段．当，，，；当，，，；当，，，．【变2】化简：.【解析】先找零点.，．，．，，或，可得或者；综上所得零点有1，-1，3，依次零点可以将数轴分成四段．⑴，，，，；
⑵，，，，；⑶，，，，；⑷，，，，．【变1】求的值．【解析】先找零点，，，，解得，，．依这三个零点将数轴分为四段：，，，．当时，原式；当时，原式；当时，原式；当时，原式．【例1】已知，求的最大值与最小值．【解析】法1：根据几何意义可以得到，当时，取最大值为；当时，取最小值为．法2：找到零点、，结合可以分为以下两段进行分析：当时，，有最值和；当时，；综上可得最小值为，最大值为．【变2】已知，那么的最大值等于．【解析】（法1）：我们可以利用零点，将的范围分为段，分类讨论（先将此分类讨论的方法，而后讲几何意义的方法，让学生体会几何方法的优越性）（1）当时，，当时达到最大值；（2）当时，（3）当时，，当时，达到最大值综合可知，在上，的最大值为（法2）：我们可以利用零点，将的范围分为段，利用绝对值得几何意义分类讨论，很容易发现答案：当时达到最大值．【变3】如果，且，求的最大值和最小值
【解析】当时，有，所以；当时，有，所以综上所述，的最大值为，最小值为题型四绝对值非负性【例1】若，则.【解析】，，，.【变1】已知、、都是负数，并且，则．【解析】根据绝对值的非负性可知，，，所以．【变2】已知非零实数、、满足，那么【解析】由非负性可得到①，且②，①②得到，所以，代入①可得到：．所以．【例2】已知为实数，且满足，求的值【解析】由题意可知：，所以可得，即，所以，所以原式的值为【变3】、同时满足①；②．那么．【解析】因为，而完全平方式非负，所以，且非负．又因为，所以，观察可知，，所以．【例3】若、、为整数，且，求的值．【解析】法一：根据题意：，为非负整数，分类讨论：①若，，则，此时原式＝；②若，，则，此时原式＝．
法二：从总体考虑，、一个为，一个为，也就是、、有两个相同，另一个和他们相差．故三者两两取差的绝对值应该有个和个，所以．【例1】求满足的所有整数对【解析】因为，且，均为整数所以可得⑴或者⑵，由⑴可得或又因为均为整数，所以由⑵得或，所以综上可得：共有对，分别是：【变1】若为整数，且，则的值是多少?【解析】,同理，所以一个为0，一个为1，也就是说有两个相同，另一个和他们相差1.故三者两两取差的绝对值应该有2个1和1个0，所以=2.当然也可以分类讨论，更利于学生接受.【例2】设、是有理数，则有最小值还是最大值？其值是多少？【解析】根据绝对值的非负性可以知道，则，有最小值9.教师可在此多多拓展形式！【变2】代数式最大值为，取最大值时，与的关系是____________【解析】，互为相反数；【例3】已知，求的值【解析】由得所以
【例1】若与互为相反数，求的值【解析】根据相反数的意义，我们可以知道：所以必然有且，解方程组可得：所以原式利用绝对值几何意义求两点间距离的几何意义：在数轴上，表示这个数的点离开原点的距离．的几何意义：在数轴上，表示数、对应数轴上两点间的距离．【例2】的几何意义是数轴上表示的点与表示的点之间的距离．⑴的几何意义是数轴上表示的点与之间的距离；（，，）；⑵的几何意义是数轴上表示的点与表示的点之间的距离；则；⑶几何意义是数轴上表示的点与表示的点之间距离，若，则．⑷的几何意义是数轴上表示的点与表示的点之间的距离，若，则⑸当时，则．：【解析】⑴，原点；；⑵；⑶，，或；⑷，，或；⑸【变1】（1）如图表示数轴上四个点的位置关系，且它们表示的数分别为，，，．若，，，
则．（2）不相等的有理数在数轴上的对应点分别为，，，如果，那么点，，在数轴上的位置关系是（）A．点在点，之间B．点在点，之间C．点在点，之间D．以上三种情况均有可能【解析】（1）7；（2）B【变1】（1）阅读下面材料：点、在数轴上分别表示的数是、，、两点之间的距离表示为，特别地，当、两点中有一点在原点时，不妨设点在原点，如图1，则；当、两点都不在原点时：如图2，点、都在原点的右边，；如图3，点、都在原点的左边，.如图4，点、在原点的两边，。图1图2图3图4回答下列问题：①数轴上表示和的两点之间的距离是_____，数轴上表示和的两点之间的距离是_____；②数轴上表示数和的两点和之间的距离可表示为_____，如果，那么的值是_____；（2）当代数式取最小值时，相应的的取值范围是_____．【解析】（1）①；②；或（2）
利用绝对值几何意义求代数式的最值的几何意义：在数轴上，表示这个数的点离开原点的距离．的几何意义：在数轴上，表示数、对应数轴上两点间的距离．【例1】利用绝对值的几何意义完成下题：已知，利用绝对值的几何意义可得；若，利用绝对值的几何意义可得或．已知，利用绝对值在数轴上的几何意义得．利用绝对值的几何意义求的最小值．的最小值为．的最小值．的最小值．归纳：若，当时，取得最小值．若，当满足时，取得最小值．【解析】或；；；；；；．【点评】若，当时，取得最小值．若，当时，取得最小值．【变1】如图，在一条数轴上有依次排列的台机床在工作，现要设置一个零件供应站，使这台机床到供应站的距离总和最小，供应站建在哪？最小值为多少？【解析】设供应站在数轴上所对应的数，则台机床到供应站的距离总和为，当时，原式值最小为．即供应站建在点处，这台机床到供应站的距离总和最小为．
【变1】如图所示，在一条笔直的公路上有个村庄，其中、、、、、到城市的距离分别为、、、、、千米，而村庄正好是的中点．现在某个村庄建一个活动中心，使各村到活动中心的路程之和最短，活动中心应建在什么位置？【解析】因村庄是中点，所以村庄到城市距离为千米，即村庄在村庄之间，个村庄依次为．设活动中心到城市距离为千米，各村到活动中心距离和为千米，则：因为，所以当时有最小值，所以应当建在处【变2】若、、、、、是个不同的正整数，取值于，，，，，，记，则的最小值是【解析】利用此题我们充分展示一下数形结合的优越性：利用绝对值的几何意义在数轴上表示出来，从开始又回到，我们可以看成是一个圈，故最小值为，如下图，即使重叠路程最少绝对值的代数意义绝对值的代数意义：一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0．①绝对值是一种运算，运算符号是“”，求一个数的绝对值，就是根据性质去绝对值符号②绝对值具有非负性，即取绝对值的结果总是正数或0③任何一个有理数都是由两部分组成：符号和它的绝对值，如：符号是负号，绝对值是【例1】若，则．【解析】因为，所以，原式．
【例1】化简：⑴；⑵；⑶【解析】零点分段讨论法一般步骤：求零点；分区间；定性质；去符号⑴当时，则；当时，则，⑵当时，则；当时，则⑶先找零点，令，，则，，零点可以将数轴分成三段：若，则，，；若，则，，；若，则，，．【变1】已知是非零有理数，且，求的值．【解析】因为是非零有理数，且，所以中必有一正二负或者一负二正，分两种情况讨论：⑴如果是一正二负，不妨设，则原式⑵如果是一负二正，不妨设，则原式；可知原式的值为0【变2】若，求的值．【解析】法1：∵，则原式
法2：由，可得，则原式【点评】解法二这种方法叫做构造法，对于显示题目中的关系，简化解题步骤有着重要作用。【变1】为非零实数，且，，．化简【解析】，，；，；，，所以可以得到，，；．题型一含绝对值符号的函数1．绝对值代数意义：正数绝对值是它的本身，负数的绝对值是它的相反数，零的绝对值仍是零2．绝对值的几何意义：一个数的绝对值，是数轴上表示它的点到原点的距离．3．两个数的差的绝对值的几何意义：表示在数轴上，数和数之间的距离．【例1】解不等式【分析】本题主要运用绝对值的几何意义，为数轴上表示的点到点的距离，所以表示到和的距离之和要大于，求的取值范围，我们运用数轴去解题．【法一】由，得；由，得；①若，不等式可变为，即，解得，又，∴；②若，不等式可变为，即。∴不存在满足条件的；③若，不等式可变为，即，解得．又，∴．综上所述，原不等式的解为，或．
【法二】如图，表示x轴上坐标为x的点P到坐标为1的点A之间的距离|PA|，即|PA|＝|x－1|；|x－3|表示x轴上点P到坐标为2的点B之间的距离|PB|，即|PB|＝|x－3|．所以，不等式的几何意义即为．由，可知点在点(坐标为0)的左侧、或点P在点(坐标为4)的右侧．13ABx04CDxP|x－1||x－3|所以，或．【变1】解不等式组【分析】对于不等式组的解集，是把每个不等式求出解的范围，然后再求公共部分，对于每个不等式的求解，仍然按照之前所学的方法，这里我们运用图象更为简单．【解析】原不等式组可化为原不等式组的解集为．012345x-1-2单重绝对值方程【例1】不解方程直接判断方程⑴；⑵；⑶；⑷无解的有（）
A．1个B．2个C．3个D．4个【解析】根据绝对值的非负性可知：选【例1】解方程：【解析】根据绝对值的意义，原方程可化为或者，解得或【变1】解方程【解析】原方程整理得：，即或者，所以原方程的解为或者【变2】解方程【解析】本题应当分为三种情况来讨论：⑴当，即时，原方程化为，解得⑵当，即时，原方程化为，无解⑶当，即时，原方程化为，解得【例2】解方程【解析】因为任何数的绝对值都不小于零，所以当两数的绝对值之和为零时，只能这两个数都等于零，这样可以得，由此解得【例3】已知，且，，求的值.【解析】，且，，当，，，所以；当，，，不满足题意；当，，，所以；当，，，不满足题意
【变1】方程的解是．【解析】对的值分段讨论⑴若则原方程化为，解得：与，矛盾；⑵若则原方程化为，解得：；⑶若则原方程化为，解得：；⑷若则原方程化为，解得：与矛盾；综上所述可得方程的解为【变2】已知，，且与互为相反数，求的值．【解析】，，；，，且与互为相反数，所以，，．【例1】若已知与互为相反数，且，求的值.【解析】与互为相反数，那么.，，，当时，且，那么，；当时，且，那么，；综上可得.【变3】如果，，那么（）A．-2B.2C.D.【解析】讨论的符号：若则由第一个方程的代入到第二个方程=12显然是矛盾的，从而同样的方法可以讨论确定的符号。能可到题型一多重绝对值方程
【例1】解方程：．【解析】从外到内逐渐去掉绝对值.，所以，所以有：或者，进而可得：或者，当时有，，即或者；当时有，，即或者．【巩固】当时，求方程的解【解析】根据范围，可得，，因此，按从内到外的顺序逐个去除方程中的绝对值符号，原方程可顺次化为：，即，所以【变1】求方程的解.【解析】解法一：；，，，这个零点将数轴分4段，我们分段讨论研究可以得到结果为：或，但这么做没必要.我们来看看法．解法二：⑴当时，方程可化为：，，在范围内，是方程的解．⑵当时，方程可化为，当时，得，，不是解，舍去；当时，得，∵，∴是方程的一个解．综上可得，原方程的解为或．【例2】解方程：【解析】先将内层的绝对值符号去掉，再对外层的绝对值进行研究.当时，原方程可化为：，进而可得：，在的范围内，所以是原方程的解；当时，原方程可化为：，进而可得：，不在
的范围内，所以不是原方程的解；综上可得原方程的解为【变1】解绝对值方程：【解析】或，即或当时（即），，化为，解得．当时（），若还有（即），，解得．当时（），若还有（即），，解得．再来检验这三个解（舍去）、、题型一含有字母参数的绝对值方程【例1】若有三个整数解，求的值．【解析】显然，则，．当时，或者，方程有四个解：；当时，，方程有两个解：，；当时，或，方程有三个解：4，0，2．综上所得，当时，原方程有三个整数解．【例2】已知方程有一个负根而没有正根,求的取值范围。【解析】当时;;();即；当时;；(),;反过来即。【变2】求关于的方程的解【解析】原方程化为，需根据的取值范围进行分类讨论：
当时，原方程无解当时，方程可化为，解得当时，方程化为或，解得或【变1】已知关于的方程有一个正数解，求的取值范围【解析】当时，方程可化为，即，根据题意，此时方程有一个正数解，故可以得到，即形如的含绝对值符号函数对于函数，当自变量x取值互为相反数时，所得到的函数值相等，即，因此函数图像就是函数（x≥0）的图像与的图像的全部，并且函数的图像关于y轴对称。【例1】作函数的图像【解析】因为，所以是类型的函数（1）作出当x≥0时，的图像，这是一个开口向上的抛物线在y轴右边的部分。由可以得知，抛物线与x轴的交点为（，0）和（6，0），与y轴的交点为（0，－3）.抛物线的顶点坐标为（2，－4），如图26.7.2所示，曲线ABC就是当x≥0时，的图像；（2）以y轴为对称轴，作曲线ABC的对称图形；（3）图中的曲线即为的图像由此，我们可以发现：画函数的图像的一般步骤：①先作出的图像；②将的图像沿y轴翻折到y轴左侧，就得到了函数的图像
【例1】已知方程，有一个负根且无一正根，求a的取值范围【解析】原方程即，如图，在同一坐标系作函数与的图像是尖点（0，－1）的“V”字形折线，而是过原点斜率为a的直线，如图虚线OA是的一个极根位置，y轴是它的另一根限位置，易见当（即直线OA的向上的方向与x轴正方向的夹角不小于）时，OA与的图像交点位于第三象限，即方程有一个负根且没有正根。所以a的范围应该是不小于1的实数此题的一般解法是设，则原方程可化为当时，，解得，即当时原方程有负根。令，则原方程可化为当时，，解得，即当时原方程有正根。因为方程有负根而无正根，故综上得出【点评】在用第二种方法解题时常常会得到答案是，那是因为忽略了要扣除有正根的情况。这里应注意的逻辑关系是：有负根，不一定没有正根，而原题要求的是“只有一个负根，而无正根”，因此应考虑排除掉有负根且同时有正根的情况。抽象的分析、讨论，不如图解法直观。图中清楚表明，当时，直线OA除了程“V”字的左半支有交点外，还和右半支有交点，因而不仅有负根，还有一个正根。
【变1】讨论方程（m为实数）的解的个数与m的关系。【解析】画出图像，如图，于是得当或时，原方程有两个实数解；当m=2时，原方程有三个实数解；当m时，原方程无实数解；当时，原方程有四个实数解题型一形如的含绝对值符号函数对于函数图像是函数的图像与的图像全部【例1】作函数的图像【解析】（1）作函数的图像，该图像是一条顶点为（3，－4），与x轴交点分别为（1，0）和（5，0）且开口向上的抛物线，如图抛物线；（2）以x轴为对称轴，作曲线的对称图形BCD；（3）图中曲线ABCDE即为图像【点评】画函数的图像的一般步骤：①先作出的图像；②若图像不位于x轴下方，则函数的图像就是函数的图像；③若函数的图像位于x轴下方的，则可把x轴下方的图像沿x轴翻转至x轴上就得方，到了函数的图像
【变1】用函数图像的方法解不等式【解析】作出和的图像如图，设图像交于P、Q解方程，得或5，即，由图像得原不等式的解集是【变2】已知，试确定关于x的方程的解的个数【解析】如图，先画出函数，即的图像，再画出直线，该直线经过顶点（－1，0），且在y轴上截距满足，由图像可知，直线与函数图像的公共点有3个因此原方程有3个解。题型一含多绝对值符号的函数图像【例1】作出函数的图像【解析】根据绝对值的定义，和将已知函数的定义域划分为三个部分，在这三个部分，已知函数分别表示为
，在三个区间上分别作已知函数的图像，如图中的折线ABCD即为已知函数的图像【变1】求由方程确定的曲线所围成的图形的面积【解析】由原方程，得，，解得0≤x≤2,0≤y≤2当时，有；当时，有；当时，有；当，有如图，这四条线段围成一个边长为的正方形，其面积为2【变2】求使方程恰好有两个解的所有实数c【分析】本题要求对方程解个数做判断，可以通过求出其根加以判断，但比较麻烦。如引入函数及直线,则这两函数图像易画出，而方程的解个数与此函数图像交点个数相同。故本例可通过函数图像方法解决。【解析】先作出的图像
由，可得图像如图所示从图中可知，当且仅当或时，y=c的图像与有两个不同的交点，所以所求c为或。通过函数的图像，把方程的问题转化为函数图像的问题，可以“直观”地解决问题
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