89学社数学讲义绝对值的综合应用【学习目标】1．绝对值的代数意义和几何意义；2．绝对值产考易错题型精选；3．绝对值化简求值及“零点分段发”解决绝对值方程；4．通过应用绝对值解决实际问题，体会绝对值的意义和作用．【要点梳理】要点一、相反数1．定义：如果两个数只有符号不同，那么称其中一个数为另一个数的相反数．特别地，0的相反数是0．要点诠释：（1）“只”字是说仅仅是符号不同，其它部分完全相同．（2）“0的相反数是0”是相反数定义的一部分，不能漏掉．（3）相反数是成对出现的，单独一个数不能说是相反数．（4）求一个数的相反数，只要在它的前面添上“-”号即可．2．性质：（1）互为相反数的两数的点分别位于原点的两旁，且与原点的距离相等（这两个点关于原点对称）．（2）互为相反数的两数和为0．要点二、多重符号的化简多重符号的化简，由数字前面“-”号的个数来确定，若有偶数个时，化简结果为正，如-{-[-(-4)]}=4；若有奇数个时，化简结果为负，如-{+[-(-4)]}=-4．要点诠释： （1）在一个数的前面添上一个“＋”，仍然与原数相同，如＋5＝5，＋（－5）＝－5． （2）在一个数的前面添上一个“－”，就成为原数的相反数．如－（－3）就是－3的相反数，因此，－（－3）＝3．要点三、绝对值1．定义：在数轴上，一个数所对应的点与原点的距离叫做这个数的绝对值，例如+2的绝对值等于2，记作|+2|=2；-3的绝对值等于3，记作|-3|=3．要点诠释：（1）绝对值的几何意义：一个数的绝对值就是表示这个数的点到原点的距离，离原点的距离越远，绝对值越大；离原点的距离越近，绝对值越小．（2）绝对值的代数意义：一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0．即对于任何有理数a都有：（3）一个有理数是由符号和绝对值两个方面来确定的．第9页共9页
89学社数学讲义2．性质：（1）0除外，绝对值为一正数的数有两个，它们互为相反数．（2）互为相反数的两个数（0除外）的绝对值相等.（3）绝对值具有非负性，即任何一个数的绝对值总是正数或0．要点四、有理数的大小比较1．数轴法：在数轴上表示出这两个有理数，左边的数总比右边的数小．如：a与b在数轴上的位置如图所示，则a＜b．2．法则比较法：两个数比较大小，按数的性质符号分类，情况如下：两数同号同为正号：绝对值大的数大同为负号：绝对值大的反而小两数异号正数大于负数－数为0正数与0：正数大于0负数与0：负数小于0要点诠释：利用绝对值比较两个负数的大小的步骤：（1）分别计算两数的绝对值；（2）比较绝对值的大小：（3）判定两数的大小．3．作差法：设a、b为任意数，若a-b＞0，则a＞b；若a-b＝0，则a＝b；若a-b＜0，a＜b；反之成立．4．求商法：设a、b为任意正数，若，则；若，则；若，则；反之也成立．若a、b为任意负数，则与上述结论相反．5．倒数比较法：如果两个数都大于零，那么倒数大的反而小．要点五、绝对值的10个性质第9页共9页
89学社数学讲义【易错题型精选】题型一绝对值的概念题1.（2014•常德一模）若m与n互为相反数，则|m+n﹣2|= ．3.满足|x|＝-x的数有()．A．1个B．2个C．3个D．无数个4.下列说法中，正确的是A.若，则B.若，则C.若为有理数，则D.若为有理数，则5.如果，那么 ；如果，那么 ；绝对值大于且小于的整数有 ．6.已知与互为相反数，与互为相反数，又，则=．若，则的值为A.B.C.D.题型二数轴上的有理数1.已知在数轴上，为原点，、两点的坐标分别为、．利用下列，，三点在数轴上的位置关系，判断哪一个选项中的A.B.C.D.第9页共9页
89学社数学讲义2.有理数，，在数轴上对应的点如图所示，则下列式子中正确的是A.B.C.D.4.已知数轴上有，两点，，之间的距离为，点与原点的距离为，则所有满足条件的点与原点的距离的和为 ．5.在数轴上，和是两个定点，坐标分别是和，点到点、的距离的和等于，那么点的坐标是 ．6.有理数，，在数轴上的位置如图：（1）判断正负，用“”或“”填空： ， ， ．（2）化简：．题型三取未知数范围题1.如果，那么的取值范围是A.B.C.D.2.若，则的取值范围是A.B.C.D.3.若，，且，那么的值是A.或B.或C.或D.或4.如果，，那么的值等于 ．第9页共9页
89学社数学讲义5.如果对于某一特定范围内的任意允许值，的值恒为一常数，则此常数值为A.B.C.D.题型四1.若ab≠0，则的取值不可能为（）A．0B．1C．2D．－22.如果，试比较与xy的大小.3.若a、b、c为有理数且，求的值.4.已知a、b、c都不等于0，且的最大值为m，最小值为n，则＝___________.第9页共9页
89学社数学讲义题型五解绝对值方程1.若|5x+6|=6x-5，则x=。2.解关于x的方程：|x|=|2x-3|3.解方程：||2x-1|-1|=2题型六【绝对值化简求值及“零点分段发”解决绝对值方程】定义：当x=a时，|x-a|=0,此时a是|x-a|的零点值，一般情况，有几个绝对值就有几个零点值。零点分段发的一般步骤（1）求零点：分别令各绝对值符号内的代数式为零，求出零点值（2）分区间：在数轴上标出零点值，零点将数轴分为若干个区段（3）定符号：确定在每个区段内各个绝对值的内的正负（4）去绝对值：在各区段内分别进行去绝对值化简（5）将区段内的情况综合起来，得到问题的答案例1化简|x-1|+|x-2|练习化简|x+5|+|2x-3|第9页共9页
89学社数学讲义例2（1）解方程：|2x-1|-|x+3|=4练习解方程|3x-6|-|x+4|=5【随堂检测】1.若，，那么等于 ．第9页共9页
89学社数学讲义2.（2014秋•监利县期末）若|x﹣2|与（y+3）2互为相反数，则x+y= ．3.如果表示有理数，那么的值A.可能是负数B.不可能是负数C.必定是正数D.可能是负数也可能是正数4.实数，在数轴上对应的点的位置如图所示，计算的结果为A.B.C.D.5.如果，那么的值为A.B.C.D.不确定6.若a、b、c均为整数，且.求的值.7.解方程|x-1|-|x-3|=58.化简|4x-2|-|x+3|【课后作业】1.若m与n互为相反数，则|m+n﹣2|= ．第9页共9页
89学社数学讲义2.满足|x|＝-x的数有()．A．1个B．2个C．3个D．无数个3.有理数，，在数轴上对应的点如图所示，则下列式子中正确的是A.B.C.D.4.如果，那么的取值范围是A.B.C.D.5.若a、b、c为有理数且，求的值.6.化简|x+5|+|2x-3|7.解方程：||x+1|-1|=3x第9页共9页
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