人教版数学七年级上册1.2.4《绝对值》 问题的求解方法

绝对值问题的求解方法  一、定义法  例1 若方程只有负数解，则实数a的取值范围是：_________。  分析与解 因为方程只有负数解，故，原方程可化为：  ，  ∴，  即  说明 绝对值的意义有两点。其一，一个正数的绝对值是它本身，一个负数的绝对值是它的相反数，零的绝对值是零；其二，在数轴上表示一个点到原点的距离。利用绝对值的定义常可达到去掉绝对值符号的目的。  二、利用非负性  例2 方程的图象是（  ）  （A）三条直线：  （B）两条直线：  （C）一点和一条直线：（0，0），  （D）两个点：（0，1），（－1，0）   分析与解 由已知，根据非负数的性质，得  即或  解之得：或  故原方程的图象为两个点（0，1），（－1，0）。  说明 利用非负数的性质，可以将绝对值符号去掉，从而将问题转化为其它的问题来解决。  三、公式法  例3 已知，求的值。  分析与解 ，  ∴原式         说明 本题根据公式，将原式化为含有的式子，再根据绝对值的定义求值。  四、分类讨论法  例4 实数a满足且，那么   分析与解 由可得  且。  当时，  ；  当时，    说明 有的题目中，含绝对值的代数式不能直接确定其符号，这就要求分情况对字母涉及的可能取值进行讨论。  五、平方法  例5 设实数a、b满足不等式，则  （A）且  （B）且  （C）且  （D）且  分析与解 由于a、b满足题设的不等式，则有  ，   整理得  ，  由此可知，从而    上式仅当时成立，  ∴，即且，  选B。  说明 运用此法是先对不等式进行平方去掉绝对值，然后求解。  六、图示法  例6 在式子中，由不同的x值代入，得到对应的值。在这些对应值中，最小的值是（  ）  （A）1 （B）2 （C）3 （D）4  分析与解 问题可变化为：在数轴上有四点A、B、C、D，其对应的值分别是－1、－2，－3、－4，求一点P，使最小（如图）。    由于是当P点在线段AD上取得最小值3，是当P在线段BC上取得最小值1，故的最小值是4。选D。  说明 由于借助图形，巧妙地把问题在图形中表示出来，形象直观，便于思考，从而达到快捷解题之目的。   七、验证法  例7 是一个含有4重绝对值符号的方程，则（  ）  （A）0、2、4全是根（B）0、2、4全不是根  （C）0、2、4不全是根  （D）0、2、4之外没有根  分析与解 从答案中给出的0、2、4容易验证都是方程的根，并且通过观察得知－2也是一根，因此可排除B、C、D，故选A。  说明 运用此法是从题干出发，取符合题意的某些特殊值或特殊图形，与选择支对照检验，从而判定各个选择支的正误。  八、代数式零点法  例8 的最小值是_________。  分析与解 由可确定零点为－1、2、3。  当时，  原式；  当时，  原式；  当时，  原式；  当时，   原式  综上知所求最小值为4。  说明 运用此法解决含字母代数式绝对值化简方法是：（1）先求代数式零点，把数轴分为若干区间；（2）判定各区间内代数式的正负号；（3）依据绝对值的定义，去掉绝对值符号。  九、数形结合法  例9 已知二次函数的图象如图所示，并设，则（  ）  （A） （B） （C） （D）不能确定M为正、负或为0    分析与解 令中，由图象得：；  令得  ∵顶点在第四象限，  ∴顶点的横坐标  又，  而，   ∴，即  故        选C。  说明 运用此法是将抽象思维和形象思维结合起来，达到以形助数，以数助形，可以使许多复杂问题获得简便的解决。  十、组合计数法  例10 方程，共有几组不同整数解  （A）16 （B）14 （C）12 （D）10  分析与解 由已知条件可得      当时，；  当时，；  当时，；  当时，。  共有12组不同整数解，故选C。   说明 此法具有较强的技巧性，必须认真分析条件，进行分类、归纳，从中找出解决问题的方法。  十一、枚举法  例11 已知a为整数，是质数，试确定a的所有可能值的和。  分析与解 设是质数p，则仅有因子±1及。    当时，  ，此时，；  当时，  ，此时，；  当时，  ，此时，；  当时，  ，此时，