初中数学人教版七年级上册1.2.4绝对值 (拓展提高内容)

1.3绝对值拓展内容绝对值与非负数一、知识讲解我们称不是负数的有理数为非负有理数，简称非负数。当我们说x是一个非负数时，用数学符号表示就是x≥0.值得注意的是，有的同学们往往用x＞0表示任意一个非负数，而忘掉等号！这是因为他们错将非负数理解为负数的相反数了！尽管只是丢掉一个零，在数轴上只差一个点，但就全体有理数而言，却是丢掉了三类有理数中的一类。也就是说，|x|表示数轴上坐标为x的点与原点的距离。我们看到，任何有理数的绝对值都是一个非负数，而任何一个非负数都可表示为某数的绝对值。即对任意有理数x有|x|≥0，这一点至关重要。只有牢牢掌握绝对值总是非负数并且清楚地认识到什么是非负数，才会正确地处理各种问题。例1.若a为任意实数，则下列式子中一定成立的是()．A．|a|＞0B．|a|＞aC.D.对这个问题的分析首先要注意到绝对值都是非负数，而非负数包括零。如此就很容易淘汰掉A、B，而C需从a的取值范围来讨论，如，则C不对，至于D有非负数的性质：“一个非负数加上一个正数，得正数”，即可知其正确。例2.已知a＜0＜c，ab＞0，|b|＞|c|＞|a|，化简|a+c|+|b+c|-|a-b|．解：分析这个题目的关键是确定a+c、b+c、a-b的符号，根据已知可在数轴上标出a、b、c的大致位置，如图所示：很容易确定a+c＞0，b+c＜0，a-b＞0，由绝对值的概念，原式＝(a+c)-(b+c)-(a-b)＝a+c-b-c-a+b＝0用数轴上的点来表示有理数，用这样的点与原点的距离来表示有理数的绝对值，这里运用了数形结合的思想。二、实战模拟1.已知m＜0，则化简m+|m-|m||＝______．5 2.已知实数a、b在数轴上的对应位置如图所示，化简|a|-|b|+|a-b|-|b-a|＝______．3.已知|m|＝1，|n|＝2．求m+n．4.x为何值时，-4|1-x|-5有最大值，最大值是多少？5.已知a＜-2＜0＜b＜2，去掉下列三式的绝对值符号：6.试去掉|x2-x-2|的绝对值符号．7.化简|3x+1|-|x|+|1-x|．8.化简|x+3|+|x-2|+|x-5|．9.五个有理数a、b、c、d、e满足|abcde|＝-abcde，试求的5 最大值。答案：1.解原式＝m+|m-(-m)|＝m+|2m|＝m-2m＝-m．2.解由图可知a＞0，b＜0，故a-b＞0，b-a＜0∴原式＝a-(-b)+(a-b)-[-(b-a)]＝a+b+a-b+b-a＝a+b说明：本题是根据图形定正负去符号，这种方法可归纳为：“看图形，定性质，去符号”。3.解∵m＝±1，n＝±2，∴当m＝1，n＝2时，m+n＝3；当m＝1，n＝-2时，m+n＝-1；当m＝-1，n＝2时，m+n＝1；当m＝-1，n＝-2时，m+n＝-34.解∵当x＝1时，|1-x|取最小值0，∴-4|1-x|-5有最大值-55.解：（1）（2）（3）6.解：因为x2-x-2是变量，可以是非负数也可以是负数，所以应当分两种情形去掉绝对值符号：5 由x2-x-2≥0，得x≥2或x≤-1，由x2-x-2＜0，得-1＜x＜2∴当x≥2或x≤-1时，|x2-x-2|=x2-x-2，当-1＜x＜2时，|x2-x-2|=-(x2-x-2)=-x2+x+27.解：式中含有三个变量，即3x+1，x，1-x．它们分别为非负数、负数时的x的取值范围是彼此不一样的，可以采用找零点、分区间的办法去绝对值符号：由即这三个点把数轴分成四个区间：原式＝3x+1-(-x)+1-x＝3x+2③当0≤x＜1时，3x+1＞0，x≥0，1-x＞0，故原式＝3x+1-x+1-x＝x+2④当x≥1时，3x+1＞0，x＞0，1-x≤0，故原式＝3x+1-x+[-(1-x)]=3x．8.分析与略解：本题由于x的取值范围不定，所以我们必须分类讨论x的取值范围情况，分别由x+3＝0，x-2＝0，x-5＝0，得x＝-3，x＝2，x＝5．由下面的图可以发现，当x分别取-3、2、5三数左右两边的数时，三个代数式x+3，x-2，x-5的值的符号都不同，因此，有必要从下面的四个x取值所在的区间去讨论化简结果；当x＜-3时，原式＝-x-3-x+2-x+5＝-3x+4；当-3≤x＜2时，原式＝x+3-x+2-x+5＝-x+10；当2≤x＜5时，原式＝x+3+x-2-x+5＝x+6；当x≥5时，原式＝x+3+x-2+x-5＝3x-49.解由题设条件知，abcde＜0，而a、b、c、d、e满足abcde＜0仅有三种情况：①二正三负；②四正一负；③五负．又因为对于任意非零有理数a，有5 故S最大值是在四正一负时取得，即S最大值。5