初中数学人教版七年级上册1.2.4绝对值 拓展延伸设计

绝对值拓展延伸 绝对值是初中代数中的一个基本概念，在求代数式的值、化简代数式、证明恒等式与不等式，以及求解方程与不等式时，经常会遇到含有绝对值符号的问题，同学们要学会根据绝对值的定义来解决这些问题． 下面我们先复习一下有关绝对值的基本知识，然后进行例题分析．一个正实数的绝对值是它本身；一个负实数的绝对值是它的相反数；零的绝对值是零．即  绝对值的几何意义可以借助于数轴来认识，它与距离的概念密切相关．在数轴上表示一个数的点离开原点的距离叫这个数的绝对值．  结合相反数的概念可知，除零外，绝对值相等的数有两个，它们恰好互为相反数．反之，相反数的绝对值相等也成立．由此还可得到一个常用的结论：任何一个实数的绝对值是非负数．  例1a，b为实数，下列各式对吗？若不对，应附加什么条件？  (1)｜a+b｜=｜a｜+｜b｜；  (2)｜ab｜=｜a｜｜b｜；(3)｜a-b｜=｜b-a｜；  (4)若｜a｜=b，则a=b；  (5)若｜a｜＜｜b｜，则a＜b；  (6)若a＞b，则｜a｜＞｜b｜．   例2设有理数a，b，c在数轴上的对应点如图1-1所示，化简｜b-a｜+｜a+c｜+｜c-b｜．5/5      例3已知x＜-3，化简：｜3+｜2-｜1+x｜｜｜．    说明本例的解法是采取把a，b，c中大于零与小于零的个数分情况加以解决的，这种解法叫作分类讨论法，它在解决绝对值问题时很常用．  例5若｜x｜=3，｜y｜=2，且｜x-y｜=y-x，求x+y的值．   例6若a，b，c为整数，且｜a-b｜19+｜c-a｜99=1，试计算｜c-a｜+｜a-b｜+｜b-c｜的值．    5/5   例8化简：｜3x+1｜+｜2x-1｜．  分析本题是两个绝对值和的问题．解题的关键是如何同时去掉两个绝对值符号．若分别去掉每个绝对值符号，则是很容易的事．例如，化简｜3x+1｜，只要考虑3x+1的正负，即可去掉绝对值符号．这里我们为三个部分(如图1－2所示)，即   这样我们就可以分类讨论化简了．     说明解这类题目，可先求出使各个绝对值等于零的变数字母的值，即先求出各个分界点，然后在数轴上标出这些分界点，这样就将数轴分成几个部分，根据变数字母的这些取值范围分类讨论化简，这种方法又称为“零点分段法”．  例9已知y=｜2x+6｜+｜x-1｜-4｜x+1｜，求y的最大值．  分析首先使用“零点分段法”将y化简，然后在各个取值范围内求出y的最大值，再加以比较，从中选出最大者．  5/5 例10设a＜b＜c＜d，求｜x-a｜+｜x-b｜+｜x-c｜+｜x-d｜的最小值．  分析本题也可用“零点分段法”讨论计算，但比较麻烦．若能利用｜x-a｜，｜x-b｜，｜x-c｜，｜x-d｜的几何意义来解题，将显得更加简捷便利．   例11若2x+｜4-5x｜+｜1-3x｜+4的值恒为常数，求x该满足的条件及此常数的值．分析：要使原式对任何数x恒为常数，则去掉绝对值符号，化简合并时，必须使含x的项相加为零，即x的系数之和为零．故本题只有2x-5x+3x=0一种情况．练习题：  1．x是什么实数时，下列等式成立：  (1)｜(x-2)+(x-4)｜=｜x-2｜+｜x-4｜；  (2)｜(7x+6)(3x-5)｜=(7x+6)(3x-5)．  2．化简下列各式：  (2)｜x+5｜+｜x-7｜+｜x+10｜．  5/5 3．若a＋b＜0，化简｜a+b-1｜-｜3-a-b｜．4．已知y=｜x+3｜+｜x-2｜-｜3x-9｜，求y的最大值．5．设T=｜x-p｜+｜x-15｜+｜x-p-15｜，其中0＜p＜15，对于满足p≤x≤15的x来说，T的最小值是多少？6．已知a＜b，求｜x-a｜+｜x-b｜的最小值．7．不相等的有理数a，b，c在数轴上的对应点分别为A，B，C，如果｜a-b｜+｜b-c｜=｜a-c｜，那么B点应为()．  (1)在A，C点的右边；  (2)在A，C点的左边；  (3)在A，C点之间；  (4)以上三种情况都有可能．5/5