如何处理绝对值问题

如何处理绝对值问题知识要点：1定义2非负性3结合数轴40点分区间法5今后可以用的完全平方法绝对值的意义与性质：①②非负性③非负数的性质：i）非负数的和仍为非负数。ii）几个非负数的和为0，则他们都为0。任何难题最后还是需要回到定义的，对概念的深入理解和灵活应用是很重要的。在这里首先谈谈0点分区间法什么叫0点？如何进行0点分区间法0点未必是原点。0点是使得绝对值为0的未知数的值。有些题可能出现多个0点或出现多个绝对值出现的时候0点个数会增加。优点：思路直截了当。缺点：情况繁琐类似小学奥赛的枚举法。例题化简：｜3x+1｜+｜2x-1｜．  分析本题是两个绝对值和的问题．解题的关键是如何同时去掉两个绝对值符号．若分别去掉每个绝对值符号，则是很容易的事．例如，化简｜3x+1｜，只要考虑3x+1的正负，即可去掉绝对值符号．这里我们为三个部分(如图1－2所示)，即   这样我们就可以分类讨论化简了．             原式=-(3x+1)-(2x-1)=5x；         原式=(3x+1)-(2x-1)=x+2；        原式=(3x+1)+(2x-1)=5x．  即          说明解这类题目，可先求出使各个绝对值等于零的变数字母的值，即先求出各个分界点，然后在数轴上标出这些分界点，这样就将数轴分成几个部分，根据变数字母的这些取值范围分类讨论化简，这种方法又称为“零点分段法”．基本步骤：1找出0点2在数轴上标出0点3分类讨论注意：包含所有数。两种情况的临界点一个带等号一个不带 0点分区间法在很多题可以谈的上通法思路干脆但比较麻烦已知y=｜2x+6｜+｜x-1｜-4｜x+1｜，求y的最大值．  分析首先使用“零点分段法”将y化简，然后在各个取值范围内求出y的最大值，再加以比较，从中选出最大者．  解有三个分界点：-3，1，-1．  (1)当x≤-3时，y=-(2x+6)-(x-1)+4(x+1)=x-1，由于x≤-3，所以y=x-1≤-4，y的最大值是-4．  (2)当-3≤x≤-1时，y=(2x+6)-(x-1)+4(x+1)=5x+11，由于-3≤x≤-1，所以-4≤5x+11≤6，y的最大值是6．  (3)当-1≤x≤1时，y=(2x+6)-(x-1)-4(x+1)=-3x+3，由于-1≤x≤1，所以0≤-3x+3≤6，y的最大值是6．  (4)当x≥1时，y=(2x+6)+(x-1)-4(x+1)=-x+1，由于x≥1，所以1-x≤0，y的最大值是0．  综上可知，当x=-1时，y取得最大值为6．反思是否有更好的方法。我们发现很多时候端点是取得最值的地方只要把-1，1，3代入得到的y分别为-4，0，6 请你先思考求y=的最大值和最小值此题用零点法特别快的能做出y的最大值为2最小值为-2但要分三种情况能否有更好的方法呢？被减数的几何意义是代表x与3的距离，减数代表x与1的距离。Y的意义代表距离差。X在1的左边的时候通过数轴答案明显2，在3的右边答案是-2，x在1-3之间的时候到3的距离越来越小到1的距离越来越大差最大的时候2不断减小到-2由此题的经验我们是否可以不讨论化归到思考题模型解题呢？答案是肯定的。我们再次应用配对的思路得到y=三组中得到每个括号结果分别不大于4，2，0y不超过6借助上题的分析方法。以及配对的观点第一组x不小于-1取得等号，第二组是不大于-1取得等号，第三个是x=-1取得等号。有些时候出现麻烦就是不能同时取得等号但此题可以x=-1y取得最大值6练习求的最小值是分析初看要零点区间2种情况但注意到x不能超过0.5，所以左边的绝对值只能是相反数1-x=-2x+1X=0发散训练｜｜1+x｜-1｜=3x（提示利用非负性立刻判断x非负其实每个绝对值的正负唯一确定了）例分析0点法3个零点4种情况注意2x-1-(x-2)=x+1其实说明ab积不大于0再处理就容易的多很快就能得到练习（注意到结合数轴左边最小为4取等号的条件介于1-5之间）例已知为非负整数，且满足，求的所有可能值。分析：注意两人非负整数和为1只能一个为1一个为0=1,ab=0时候这是第一个大情况a=0的时候b=1,同理b=0的时候a=1当=0，ab=1的时候显然a=b=1所以三种情况a=1,b=0;a=1,b=1;a=0,b=1练习若为整数，且，计算的值．y=的最小值（提示应用配对原则解决，结合数轴采用中间靠近原则注意分奇数和偶数讨论）可以类比小学学的中位数答案