初中数学《约数和倍数(一)》讲义及练习

第三讲约数和倍数（一）知识点拨一、约数的概念与最大公约数0被排除在约数与倍数之外1．求最大公约数的方法①分解质因数法：先分解质因数，然后把相同的因数连乘起来．例如：，，所以；②短除法：先找出所有共有的约数，然后相乘．例如：，所以；③辗转相除法：每一次都用除数和余数相除，能够整除的那个余数，就是所求的最大公约数．用辗转相除法求两个数的最大公约数的步骤如下：先用小的一个数除大的一个数，得第一个余数；再用第一个余数除小的一个数，得第二个余数；又用第二个余数除第一个余数，得第三个余数；这样逐次用后一个余数去除前一个余数，直到余数是0为止．那么，最后一个除数就是所求的最大公约数．(如果最后的除数是1，那么原来的两个数是互质的)．例如，求600和1515的最大公约数：；；；；；所以1515和600的最大公约数是15．2．最大公约数的性质①几个数都除以它们的最大公约数，所得的几个商是互质数；②几个数的公约数，都是这几个数的最大公约数的约数；③几个数都乘以一个自然数，所得的积的最大公约数等于这几个数的最大公约数乘以．3．求一组分数的最大公约数先把带分数化成假分数，其他分数不变；求出各个分数的分母的最小公倍数a；求出各个分数的分子的最大公约数b；即为所求．二、倍数的概念与最小公倍数1.求最小公倍数的方法①分解质因数的方法；例如：，，所以；②短除法求最小公倍数；例如：，所以；③．2.最小公倍数的性质①两个数的任意公倍数都是它们最小公倍数的倍数．②两个互质的数的最小公倍数是这两个数的乘积．③两个数具有倍数关系，则它们的最大公约数是其中较小的数，最小公倍数是较大的数． 3.求一组分数的最小公倍数方法步骤先将各个分数化为假分数；求出各个分数分子的最小公倍数；求出各个分数分母的最大公约数；即为所求．例如：注意：两个最简分数的最大公约数不能是整数，最小公倍数可以是整数.例如：三、最大公约数与最小公倍数的常用性质1．两个自然数分别除以它们的最大公约数，所得的商互质。如果为、的最大公约数，且，，那么互质，所以、的最小公倍数为，所以最大公约数与最小公倍数有如下一些基本关系：①，即两个数的最大公约数与最小公倍数之积等于这两个数的积；②最大公约数是、、、及最小公倍数的约数．2．两个数的最大公约和最小公倍的乘积等于这两个数的乘积。即，此性质比较简单，学生比较容易掌握。3．对于任意3个连续的自然数，如果三个连续数的奇偶性为a)奇偶奇，那么这三个数的乘积等于这三个数的最小公倍数例如：，210就是567的最小公倍数b)偶奇偶，那么这三个数的乘积等于这三个数最小公倍数的2倍例如：，而6,7,8的最小公倍数为性质（3）不是一个常见考点，但是也比较有助于学生理解最小公倍数与数字乘积之间的大小关系，即“几个数最小公倍数一定不会比他们的乘积大”。例题精讲最大公约数与最小公倍数【例1】144、324、600各有多少约数？他们共同的约数有哪些？其中最大的是哪一个？【解析】，有个约数，有个约数，有个约数公约数有其中最大的数是【例2】现有三个自然数，它们的和是1111，这样的三个自然数的公约数中，最大的可以是多少？【解析】只知道三个自然数的和，不知道三个自然数具体是几，似乎无法求最大公约数．只能从唯一的条件“它们的和是1111”入手分析．三个数的和是1111，它们的公约数一定是1111的约数．因为，它的约数只能是1，11，101和1111，由于三个自然数的和是1111，所以三个自然数都小于1111，1111不可能是三个自然数的公约数，而101是可能的，比如取三个数为101，101和909．所以所求数是101．【拓展】10个非零不同自然数的和是1001，则它们的最大公约数的最大值是多少？【解析】设M为这10个非零不同自然数的最大公约数，那么这10个不同的自然数分别可以表示为：，其中那么根据题意有： 因为10个不同非零自然数的和最小为55，所以M最大可以为13【例1】用这九个数码可以组成362880个没有重复数字的九位数，求这些数的最大公约数．【解析】，是9的倍数，因而9是这些数的公约数．又123456789和123456798这两个数只差9，这两个数的最大公约数是它们的差的约数，即是9的约数，所以9是这两个数的最大公约数．从而9是这362880个数的最大公约数．【例2】已知两数的最大公约数是21，最小公倍数是126，求这两个数的和是多少？【解析】假设这两个数是和，易得，所以，由和互质，那么就有两种情况．所以甲、乙是：，或，两种情况．它们的和是147或105．【例3】已知两个自然数的积为240，最小公倍数为60，求这两个数．【解析】由于两个自然数的积两数的最大公约数两数的最小公倍数，可以得到，最大公约数是，设这两个数分别为、，那么，且，所以和可以取1和15或3和5，所以这两个数是4和60或12和20．【例4】已知正整数a、b之差为120，它们的最小公倍数是其最大公约数的105倍，那么a、b中较大的数是多少？【解析】设，有，又设，，，，且，则，有，所以．因为，所以是120的约数．①若，，则，不符合；②若，，则，不符合；③若，，则，不符合；④若，，则，符合条件．由，得，从而a、b中较大的数．【例5】已知自然数A、B满足以下2个性质：（1）A、B不互质（2）A、B的最大公约数与最小公倍数之和为35。那么A+B的最小值是多少？【解析】设，那么，其中a,b分别表示A,B的独有因数。那么，即有，因为A,B不互质，所以，而根据上面的式子M是35的因数，所以M只可能为5或7.1）当M=5时，ab=6,此时有，或2）当M=7时，ab=4,此时有（舍）因为，或（舍）所以A+B的最小值是25。【巩固】两个整数A、B的最大公约数是C，最小公倍数是D，并且已知C不等于1，也不等于A或B，C+D=187，那么A+B等于多少？【解析】最大公约数C，当然是D最小公倍数的约数，因此C是187的约数，187=11×17，C不等于1，只能是C=11或者C=17．如果C=11，那么D=187-11=176．A和B都是176的约数，A和B不能是11，只能是22，44，88，176这四个数中的两个，但是这四个数中任何两个数的最大公约数都不是11，由此得出C不能是11．现在考虑C=17，那么D=187-17=170，A和B是170的约数，又要是17的倍数，有34，85，170三个数，其中只有34和85的最大公约数是17，因此，A和B分别是34和85，A+B=34+85=119． 【例1】有两个自然数，它们的和等于297，它们的最大公约数与最小公倍数之和等于693，这两个自然数的差是．【解析】两个自然数的最大公约数是它们的和的约数，也是它们的最小公倍数的约数，所以是它们的最大公约数与最小公倍数的和的约数，也就是297和693的公约数，也就是的约数．99的约数共有6个，此时可以逐一分情况进行讨论，但较繁琐．设这两个数分别为和，其中，，是它们的最大公约数．那么，，相比得，所以，即，可得．由于和都是40的约数且除以3余2，只能为或者，可得或．由于，所以是297的约数，不符合，所以只能为，此时，这两个数的差为．【例2】甲、乙两数的最小公倍数是90，乙、丙两数的最小公倍数是105，甲、丙两数的最小公倍数是126，那么甲数是多少?【解析】对90分解质因数:.因为126是甲的倍数，又126不是5的倍数，所以甲中不含因数5．如果乙也不含因数5，那么甲、乙的最小公倍数也不含因数5，但90是5的倍数，所以乙含有因数5．因为105不是2的倍数，所以乙也不是2的倍数，即乙中不含因数2，于是甲必含有因数2．因为105不是9的倍数，所以乙也不是9的倍数，即乙最多含有1个因数3．由于甲、乙两数的最小公倍数是90，90中含有2个因数3，所以甲必含有2个因数3，那么甲．总结：两个数的最小公倍数含有两数的所有质因子，并且这些质因数的个数为两数中此质因数的个数的最大值．如，，则、的最小公倍数含有质因子2，3，5，7，11，并且它们的个数为、中含有此质因子较多的那个数的个数.即依次含有3个，3个，2个，1个，1个，故．【巩固】a>b>c是3个整数.a,b,c的最大公约数是15；a,b的最大公约数是75；a,b的最小公倍数是450；b,c的最小公倍数是1050.那么c是多少?【解析】由(a,b)=75=3×,[a,b]=450=×2×=75×3×2,又a﹥b所以或[b,c]=1050=2×3××7.当时有，因为两个数的最大公约数与最小公倍数的乘积等于这两个数的乘积,所以(75,c)×[75,c]=75×c=15×1050,得c=210,但是c>b,不满足；当时，有,则c=105,c﹤b,满足,即为满足条件的唯一解．那么c是105.【例3】为自然数，且，、……、与690都有大于l的公约数．的最小值为多少？【解析】，连续9个数中，最多有5个是2的倍数，也有可能有4个是2的倍数．如果有5个连续奇数，这5个连续奇数中最多有2个3的倍数，1个5的倍数，1个23的倍数，所以必然有一个数不是2、3、5、23的倍数，即与690没有大于l的公约数．所以9个数中有5个偶数，则、、、、是偶数，剩下的4个奇数中，有2个3的倍数，1个5的倍数，1个23的倍数．可知4个奇数中、 是3的倍数，还有、一个是5的倍数，一个是23的倍数，那么这两个数最小只能为23和25，故，得．故的最小值为19．约数倍数的应用【例1】把一张长1米3分米5厘米、宽1米5厘米的纸裁成同样大小的正方形纸块，而没有剩余，问：能裁成最大的正方形纸块的边长是多少？共可裁成几块？【解析】要把一张长方形的纸裁成同样大小的正方形纸块，还不能有剩余，这个正方形纸块的边长应该是长方形的长和宽的公约数．由于题目要求的是最大的正方形纸块，所以正方形纸块的边长是长方形的长和宽的最大公约数．1米3分米5厘米＝135厘米，1米5厘米＝105厘米，，长方形纸块的面积为(平方厘米)，正方形纸块的面积为(平方厘米)，共可裁成正方形纸块(张)．【例2】有336个苹果，252个桔子，210个梨，用这些水果最多可以分成多少份同样的礼物？在每份礼物中，三样水果各多少？【解析】此题本质上也是要求出这三种水果的最大公约数，有,即可以分42份，每份中有苹果8个，桔子6个，梨5个．【例3】(西城区13中入学试题)一次考试，参加的学生中有得优，得良，得中，其余的得差，已知参加考试的学生不满50人，那么得差的学生有多少人？【解析】由题意“参加的学生中有得优，得良，得中”，可知参加考试的学生人数是7，3，2的倍数，因为7，2，3的最小公倍数为42，，所以参加的学生总数为42人．那么得差的学生有：人．【例4】马鹏和李虎计算甲、乙两个两位数的乘积，马鹏把甲数的个位数字看错了，得乘积473；李虎把甲数的十位数字看错了，得乘积407，那么甲、乙两数的乘积应是______.【解析】乙数是473与407的公约数.473与407的最大公约数是11，11是质数，它的两位数约数只有11，所以乙数是11，又，，所以甲数是47，甲、乙两数的乘积应为：.【例5】有一些小朋友排成一行，从左面第一人开始每隔2人发一个苹果；从右面第一人开始每隔4人发一个桔子，结果有10个小朋友苹果和桔子都拿到.那么这些小朋友最多有多少人？【解析】苹果每3人发1个，桔子每5人发1个.因为，所以苹果和桔子都拿到的10个小朋友之间包括这10个小朋友，共有(人).在他们的左边最多有4个小朋友拿到苹果，所以左边最多还有(人)；右边最多有2个小朋友拿到桔子，所以右边最多还有(人).所以最多有：(人).课后作业练习1100个非0自然数的和等于2006，那么它们的最大公约数最大可能值是（）。【解析】 2006=2×17×59，现在要求最大公约数最大，则让整个一百个数的和除以约数后的商尽可能的小，且还应该为2006的一个约数，100个非0自然数的和最小且符合是2006的一个约数的为2×59=118。所以，最大公约数的最大可能值为17。练习1已知两个自然数的最大公约数为4，最小公倍数为120，求这两个数．【解析】这两个数分别除以最大公约数所得的商的乘积等于最小公倍数除以最大公约数的商，，将30分解成两个互质的数之积：1和30，2和15，3和10，5和6，所以这两个数为4与120，或8与60，或12与40，或20与24．练习2两个自然数的和是125，它们的最大公约数是25，试求这两个数．【解析】，，两数可以为25、100或者50、75．练习3教师节那天，某校工会买了320个苹果、240个桔子、200个鸭梨，用来慰问退休的教职工，问用这些果品，最多可以分成多少份同样的礼物(同样的礼物指的是每份礼物中苹果、桔子、鸭梨的个数彼此相等)？在每份礼物中，苹果、桔子、鸭梨各多少个？【解析】因为，，，，所以最多可分40份，每份中有8个苹果6个桔子，5个鸭梨.练习4一次考试，参加的学生中有得优，得良，得中，其余的得差，已知参加考试的学生不满100人，那么得差的学生有多少人？【解析】由题意“参加的学生中有得优，得良，得中”，可知参加考试的学生人数是7，4，3的倍数，因为74，3的最小公倍数为84(小于100人)，所以参加的学生总数为84人．那么得差的学生有：人．