一．选择题（共31小题）1．在1，2，3，…，99，100这100个自然数中，不是2的倍数，不是3的倍数，且不是5的倍数的数共有k个，则k＝（ ）A．25B．26C．27D．282．若非零自然数a，b的最大公约数与最小公倍数之和恰等于a，b的乘积，则（）10＝（ ）A．1B．1024C．2104D．20163．从1，2，3，…，1000中找n个数，使其中任两个数的和是36的倍数，则n的最大值为（ ）A．25B．26C．27D．284．将2，6，10，14，…中3或5的倍数删去后，剩下的数列（串）中，第90个是（ ）A．354B．674C．866D．9345．13个不同的正整数的和为1615，则它们的公约数的最大值是（ ）A．25B．21C．17D．136．2012的所有正约数的和是（ ）A．3528B．2607C．2521D．20127．1998的不同约数的个数是（ ）A．20B．16C．14D．128．已知自然数a，b，c的最小公倍数为48，而a和b的最大公约数为4，b和的c最大公约数为3，则a+b+c的最小值是（ ）A．55B．35C．31D．309．已知自然数a、b、c满足：①a和b的最小公倍数为24；②a和b的最大公约数为6；③c和a的最小公倍数为36，则满足上述条件的（a，b，c）共有（ ）组．A．4B．3C．2D．110．在正整数围，方程组（x，y）＝60，（y，z）＝90，[z，x]＝360，y≤1000有多少组解？其中（ ）、[]分别表示最大公约数和最小公倍数．A．3B．6C．12D．2411．把1，2，3，…，19分成几个组，每组至少1个数，使得有2个数以上的各组中任意2个数的最小公倍数不在同一组，则至少要分多少组（ ）A．9B．7C．6D．512．已知两个自然数a＜b，a+b＝78，a、b的最小公倍数是[a、b]＝252，则b﹣a＝（ ）
A．50B．22C．14D．613．已知x和y都是自然数，x和y的最大公约数是2，最小公倍数是100，则x2+y2＝（ ）A．2516B．10004C．2516或10004D．无法计算14．两个失准的时钟上，一昼夜第一个钟快8分钟，第二个钟慢4分钟，当两个时钟都指向标准时间中午12点时，经过T个昼夜之后，它们又同时指向中午12点钟，则T的最小值为（ ）个昼夜．A．120B．180C．240D．36015．某班学生不足50人，在一次数学测验中，有的学生得优，的学生得良，的学生得及格，则不及格的学生有（ ）A．0人B．1人C．3人D．8人16．古人用天干和地支记序，其中天干有10个；甲乙丙丁戊己庚辛壬癸，地支有12个；子丑寅卯辰巳午未申酉戌亥，将天干的10个汉字和地支的12个汉字对应排列成如下两行；甲乙丙丁戊己庚辛壬癸甲乙丙丁戊己庚辛壬癸甲乙丙丁…子丑寅卯辰巳午未申酉戌亥子丑寅卯辰巳午未申酉戌亥…从左向右数，第1列是甲子，第2列是乙丑，第3列是丙寅…，我国的农历纪年就是按这个顺序得来的，如公历2007年是农历丁亥年，那么从今年往后，农历纪年为甲亥年的那一年在公历中（ ）A．是2019年B．是2031年C．是2043年D．没有对应的年号17．用（a，b）表示a，b两数的最大公约数，[a，b]表示a，b两数的最小公倍数，例如（4，6）＝2，（4，4）＝4．[4，6]＝12，[4，4]＝4，设a，b，c，d是不相等的自然数，（a，b）＝P，（c，d）＝Q，[P，Q]＝X；[2，6]＝M，[c，d]＝N，（M，N）＝Y．则（ ）A．X是Y的倍数，但X不是Y的约数B．X是Y的倍数或约数都有可能，但X≠YC．X是Y的倍数、约数或X＝Y三者必居其一D．以上结论都不对18．2003和3002的最大公约数是（ ）A．1B．7C．11D．13
19．360×473和172×361这两个积的最大公约数是（ ）A．43B．86C．172D．420．在正整数1，2，3，…，100中，能被2整除但不能被3整除的数的个数是（ ）A．33B．34C．35D．3721．用长为45cm，宽为30cm的一批砖，铺成一块正方形，至少需要（ ）块．A．6B．8C．12D．1622．2001的正约数的个数是（ ）A．3B．4C．6D．823．所有形如的六位数（a，b，c分别是0～9这十个数之一，可以相同，但a≠0）的最大公约数是（ ）A．1001B．101C．13D．1124．设a与b是正整数，且a+b＝33，最小公倍数[a，b]＝90，则最大公约数（a，b）＝（ ）A．1B．3C．11D．925．三角形三边长a，b，c都是整数，且[a，b，c]＝60，（a，b）＝4，（b，c）＝3（注：[a，b，c]表示a，b，c的最小公倍数，（a，b）表示a，b的最大公约数），则a+b+c的最小值（ ）A．30B．31C．32D．3326．若三个连续自然数的最小公倍数为660，则这三个数分别是（ ）A．9，10，11B．10，11，12C．11，12，13D．12，13，1427．105的负约数的和等于（ ）A．﹣105B．﹣87C．﹣86D．﹣19228．设a、b为正整数（a＞b），p是a、b的最大公约数，q是a、b的最小公倍数，则p，q，a，b的大小关系是（ ）A．p≥q≥a＞bB．q≥a＞b≥pC．q≥p≥a＞bD．p≥a＞b≥q29．两个正数的和是60，它们的最小公倍数是273，则它们的乘积是（ ）A．273B．819C．1199D．191130．下面的四句话中正确的是（ ）A．正整数a和b的最大公约数大于等于aB．正整数a和b的最小公倍数大于等于abC．正整数a和b的最大公约数小于等于a
D．正整数a和b的公倍数大于等于ab31．祖两人的年龄都是合数，明年他们的岁数相乘是1610，那么祖两人今年的年龄分别是（ ）A．70岁、23岁B．69岁、22岁C．115岁、14岁D．114岁、13岁二．填空题（共10小题）32．记20162的所有正约数为d1，d2，…，dm，则++…+＝ ．33．清溪汽车站开设三条线路的公共汽车，①路车每4分钟开出一趟，③路车每6分钟开出一趟，⑦路车每9分钟开出一趟，如果他们是上午7点在汽车站同时开出，则他们下次同时开出的时间是 ．34．锐角三角形ABC的三边长BC＝a，CA＝b，AB＝c．a、b、c均为整数，且满足如下条件：a、b的最大公约数为2，a+b+c＝，则△ABC的周长为 ．35．记者向五羊初级中学校长询问学生人数，校长回答说不足5000人，其中初一、初二、初三分别占，，，余下的是特别设立的“奥林匹克班”的学生，学校在学生中成立了数学爱好者协会，会员包含了初一学生的，初二学生的，初三学生的，而会员的是“奥林匹克班”的学生，则数学爱好者协会总人数为 ．36．以（ ）、[]分别表示最大公约数和最小公倍数，则（[[（24，60，84），1，20]，7，5，3]，19）＝ ．37．（19941994+19941995，1994×1995）＝ ．38．设m和n为大于0的整数，且3m+2n＝225，如果m和n的最大公约数为15，m+n＝ ．39．用若干条长为1的线段围成一个长方形，长方形的长和宽的最大公约数是7，最小公倍数是7×20．则围成这个长方形最少需要 条长为1的线段，它的面积是 ．40．已知a、b和9的最大公约数为1，最小公倍数为72，则a+b的最大值是 41．已知m，n，l都是两位正整数，且它们不全相等，它们的最小公倍数是385，则m+n+l的最大值是 ，最小值是 ．
参考答案与试题解析一．选择题（共31小题）1．在1，2，3，…，99，100这100个自然数中，不是2的倍数，不是3的倍数，且不是5的倍数的数共有k个，则k＝（ ）A．25B．26C．27D．28【分析】首先求出在1～100的自然数中，2、3、5的倍数分别有多少个，然后求出2和3的公倍数、2和5的公倍数、3和5的公倍数、2、3和5的公倍数分别有多少个，再求出1～100中既不是2的倍数又不是3的倍数也不是5的倍数共有多少个即可．【解答】解：在1～100的自然数中，2的倍数有：100÷2＝50（个），3的倍数有：100÷3＝33（个）…1，5的倍数有：100÷5＝20（个），2和3的公倍数有：100÷6＝16（个）…4，2和5的公倍数有：100÷10＝10（个），3和5的公倍数有：100÷15＝6（个）…10，2、3和5的公倍数有：100÷30＝3（个）…10，所以1～100中既不是2的倍数又不是3的倍数也不是5的倍数共有：100﹣（50+33+20）+（16+10+6）﹣3＝100﹣103+32﹣3＝26（个），即k＝26．故选：B．【点评】此题主要考查了约数与倍数，数的整除的特征问题的应用，解答此题的关键是熟练掌握是2、3、5的倍数的特征．2．若非零自然数a，b的最大公约数与最小公倍数之和恰等于a，b的乘积，则（）10＝（ ）A．1B．1024C．2104D．2016【分析】此题设这两个非零自然数a，b为mx，nx（其中m，n，x都是正整数，且m，n互质），然后根据题意可得mx•nx＝mnx+x，再变形为x＝1+，再根据x
是正整数进行分析论证得出答案．【解答】解：设这两个非零自然数a，b为mx，nx（其中m，n，x都是正整数，且m，n互质），所以mx•nx＝mnx+x，所以x＝1+，∵m，n，x都是正整数，且m，n互质，∴m＝n＝1，∴x＝1+1＝2，∴a＝b＝2，∴（）10＝（）10＝210＝1024．故选：B．【点评】此题主要考查了学生对最大公约数与最小公倍数之和的理解和掌握．要求学生能正确运用其解答问题．此题较难，是好题．3．从1，2，3，…，1000中找n个数，使其中任两个数的和是36的倍数，则n的最大值为（ ）A．25B．26C．27D．28【分析】不妨设找出的任意三个数为a、b、c，根据条件可推出a、b、c都是18的倍数，进而可得到找出的n个数都是18的倍数．由于找出的任意两个数的和是36的倍数，因此找出的n个数都是18的奇数倍或都是18的偶数倍．然后分别讨论就可解决问题．【解答】解：不妨设找出的任意三个数为a、b、c，由题可得：a+b＝36n1①，a+c＝36n2②，b+c＝36n3③，其中n1、n2、n3是正整数．由①+②﹣③得：2a＝36（n1+n2﹣n3），即a＝18（n1+n2﹣n3）．则a是18的倍数．同理可得：b、c都是18的倍数．由于a、b、c表示任意的三个数，因此找出的n个数都是18的倍数．由于找出的任意两个数的和是36的倍数，因此找出的n个数都是18的奇数倍或都是18的偶数倍．①若找出的n个数都是18的奇数倍，则找出的最大的数可表示为18（2n﹣1）．解18（2n﹣1）≤1000得：n≤．所以n取到最大值，为28．
②若找出的n个数都是18的偶数倍，则找出的最大的数可表示为18×2n即36n．解36n≤1000得：n≤．所以n取到最大值，为27．综上所述：n的最大值为28．故选：D．【点评】本题注重对推理能力的考查，而证到找出的n个数都是18的倍数是解决本题的关键．4．将2，6，10，14，…中3或5的倍数删去后，剩下的数列（串）中，第90个是（ ）A．354B．674C．866D．934【分析】在数列2，6，10，14，…中3的倍数是3个一循环，5的倍数是5个一循环，3和5的倍数是15个一循环，依此可知15个一循环中3或5的倍数删去后，剩下8个，由于90÷8＝11…2，可知是第11个循环的第4个，依此即可求解．【解答】解：观察数列2，6，10，14，…中3的倍数是3个一循环，5的倍数是5个一循环，3和5的倍数是15个一循环，依此可知15个一循环中3或5的倍数删去后，剩下8个，由于90÷8＝11…2，是第11个循环的第4个，15×11+4＝165+4＝169，则第90个是169×4﹣2＝676﹣2＝674．故选：B．【点评】考查了约数与倍数，本题关键是熟悉3或5的倍数的特点，难点是得到第90个是第11个循环的第4个．5．13个不同的正整数的和为1615，则它们的公约数的最大值是（ ）A．25B．21C．17D．13【分析】应先把1615分解，找到约数可能的数．再设出最大公约数，找出13个数最小值，进而求得最大公约数．【解答】解：设13个不同的正整数的最大公约数为d，则，13个不同的正整数为：da1、da2、…、da13为互不相同正整数，1615＝da1+da2+…+da13＝d（a1+a2+…+a13）
a1+a2+…+a13最小为1+2+…+13＝（13+1）×13÷2＝91，1615＝5×17×19，1615的约数中，大于91的最小约数是5×19＝95，即：a1+a2+…+a23最小为95，故最大公约数d可能达到的最大值＝1615÷95＝17．故选：C．【点评】解决本题的关键是先得到1615可能的约数，再求得13个数除去约数外最小的和．6．2012的所有正约数的和是（ ）A．3528B．2607C．2521D．2012【分析】将2012表示成几个数相乘的形式，然后得出2012的所有约数，继而求和即可得出答案．【解答】解：2012＝1×2012＝2×1006＝4×503，因为503是质数，∴2012的约数有：1、2012、2、1006、4、503，∴2012的所有正约数的和是1+2+4+503+1006+2012＝3528．故选：A．【点评】此题考查了最大公约数和最小公倍数的知识，解答本题的关键是将2012表示成几个因数相乘的形式，得出2012的约数，难度一般．7．1998的不同约数的个数是（ ）A．20B．16C．14D．12【分析】由于1998＝2×33×37，于是可以分别求出单个质因数组成的约数、有两个质因数的约数、有三个质因数组成的约数个数，然后求和即可．【解答】解：1998＝2×33×37，单个质因数组成的约数有：2、3、9、27、37，有两个质因数的约数有：6、18、54、74、111、333、999，有三个质因数组成的约数有：222、666、1998，再加上约数1，共有16个约数，故选：B．【点评】
本题主要考查最大公约数与最小公倍数的知识点，解答本题的关键是熟练掌握质因数的知识，此题难度不大．8．已知自然数a，b，c的最小公倍数为48，而a和b的最大公约数为4，b和的c最大公约数为3，则a+b+c的最小值是（ ）A．55B．35C．31D．30【分析】根据a，b，c的最小公倍数为48确定a，b，c的取值围，然后根据3和4分别是b的约数得出b的最小值，继而可分别得出c及a的最小值，代入计算即可得出答案．【解答】解：a，b，c最小公倍数是48，所以它们都是48的约数，则a，b，c只能在1，2，3，4，6，8，12，16，24，48中取值，又∵a，b最大公约数是4；b，c最大公约数是3；∴b的最小值是12，c最小值为3，a的最小值是16，则a+b+c的最小值＝12+3+16＝31．故选：C．【点评】本题考查了最大公约数及最小公倍数的知识，关键是先求出a，b，c的取值围，根据3和4分别是b的约数得出b的最小值，难度一般．9．已知自然数a、b、c满足：①a和b的最小公倍数为24；②a和b的最大公约数为6；③c和a的最小公倍数为36，则满足上述条件的（a，b，c）共有（ ）组．A．4B．3C．2D．1【分析】根据a和b的最小公倍数为24，a和b的最大公约数为6可得出a、b只能在6，12，24中取值，再由c和a的最小公倍数为36，可确定符合题意的a，b，c的组合，进而得出答案．【解答】解：∵a和b的最小公倍数为24，∴a、b可取1，2，3，4，6，8，12，24，又∵a和b的最大公约数为6，∴a、b只在6，12，24中取值，若要满足c和a的最小公倍数为36，则只有a＝6，c＝36，b＝24时成立．故（a，b，c）＝（6，24，36），共一组．故选：D．【点评】本题考查了最大公约数及最小公倍数的知识，难度一般，解答本题的关键是根据①②的条件得出a、b的取值围．
10．在正整数围，方程组（x，y）＝60，（y，z）＝90，[z，x]＝360，y≤1000有多少组解？其中（ ）、[]分别表示最大公约数和最小公倍数．A．3B．6C．12D．24【分析】根据60、90分别是y的约数可得出y＝180k（k取正整数），结合y≤1000讨论k的值，然后每一个y值可得出符合题意的x、z的组合，继而可得出答案．【解答】解：由题意得，60、90都是y的约数，∴y＝180k（k取正整数），又∵y≤1000，则k≤5；①当k＝1时，y＝180，∵（x，y）＝60，（y，z）＝90，[z，x]＝360，∴可得x＝120，z＝90，则（x，z）＝（120，90），此时有1组解．②当k＝2时，y＝360，∵（x，y）＝60，（y，z）＝90，[z，x]＝360，没有符合题意的x和z，此时没有解．③当k＝3时，y＝540，∵（x，y）＝60，（y，z）＝90，[z，x]＝360，则（x，z）＝（120，90），此时有1组解．④当k＝4时，y＝720，∵（x，y）＝60，（y，z）＝90，∴可得x＝60，z＝90，又∵[z，x]＝360，∴没有符合题意的x和z，此时没有解．⑤当k＝5时，y＝900，∵（x，y）＝60，（y，z）＝90，∴可得x＝60或120或360，z＝90或360，又∵[z，x]＝360，则（x，z）＝（120，90），此时有1组解．综上可得共有3组解．
故选：A．【点评】本题考查了最大公约数及最小公倍数，根据题意得出y＝180k是解答本题的关键，难点在于分类讨论k的值时，判断符合题意的x、z的组合，难度较大，要求细心解答．11．把1，2，3，…，19分成几个组，每组至少1个数，使得有2个数以上的各组中任意2个数的最小公倍数不在同一组，则至少要分多少组（ ）A．9B．7C．6D．5【分析】首先1不能和任何一个数一组，然后根据2、4、8、16不能在一组，故以这四个数自立一组，先尽量往2所在的组填数，依次填写4、8、16，如果有不兼容的就再另行分组，由此可得出答案．【解答】解：①1不能和任何一个数一组，故1自立一组；②第二组可为：2，3，5，7，11，13，17，19；③第三组为：4，6，9，10，14，15，④第四组为：8，12，18，19；⑤第五组为：16；以上分组中的数在符合题意的基础上可以不固定，但是1、2、4、8、16需要各自一组，即至少分5组．故选：D．【点评】本题考查了最大公约数及最小公倍数的知识，解答本题的关键是得出2、4、8、16不能在一组，难点在于往这四个数所在的组瑱数．12．已知两个自然数a＜b，a+b＝78，a、b的最小公倍数是[a、b]＝252，则b﹣a＝（ ）A．50B．22C．14D．6【分析】此题为选择题，可利用排除法进行求解．【解答】解：A、若b﹣a＝50，b＝64，a＝14，a，b的最小公倍数是[a、b]＝448，故本选项错误；B、若b﹣a＝22，b＝50，a＝28，a，b的最小公倍数是[a、b]＝700，故本选项错误；C、若b﹣a＝14，b＝46，a＝32，a，b的最小公倍数是[a、b]＝736，故本选项错误；D、若b﹣a＝6，b＝42，a＝36，a，b的最小公倍数是[a、b]＝252，故本选项正确．故选：D．【点评】
本题考查最小公倍数的知识，注意对这一概念的熟练掌握，同时要注意排除法在选择题中的灵活运用．13．已知x和y都是自然数，x和y的最大公约数是2，最小公倍数是100，则x2+y2＝（ ）A．2516B．10004C．2516或10004D．无法计算【分析】根据题意可得x和y的乘积是200，又因为x和y的最大公约数是2，可知200＝2×100＝4×50，所以分情况讨论即可．【解答】解：∵最小公倍数是100，∴x和y的乘积是200，∵200＝2×100＝4×50（因有最大公约数2，两者均为偶数），∴①x＝4，y＝50，或②x＝2，y＝100，∴①x2+y2＝2516；②x2+y2＝10004．故选：C．【点评】此题主要考查了最大公约数和最小公倍数的知识，解题的关键是认真审题，弄清题意．14．两个失准的时钟上，一昼夜第一个钟快8分钟，第二个钟慢4分钟，当两个时钟都指向标准时间中午12点时，经过T个昼夜之后，它们又同时指向中午12点钟，则T的最小值为（ ）个昼夜．A．120B．180C．240D．360【分析】分别得到快钟和慢钟在标准时间里回到12点的时间，求出其最小公倍数即可．【解答】解：24×60÷8＝180（个）；﹣﹣﹣﹣快钟每隔180个昼夜在标准时间里回到12点；24×60÷4＝360（个）；﹣﹣﹣﹣慢钟每隔360个昼夜在标准时间里回到12点；180和360的最小公倍数为360．故选：D．【点评】本题通过实际问题考查了最小公倍数，得到两个失准的时钟再次回到标准时间的时间是解题的关键．15．某班学生不足50人，在一次数学测验中，有的学生得优，的学生得良，的学生得及格，则不及格的学生有（ ）A．0人B．1人C．3人D．8人
【分析】在一次数学测验中有的学生得优，的学生得良，的学生得及格，则总人数一定能被2、3、7整除，求出2、3、7的最小公倍数，再找出小于50的即可解答．【解答】解：2、3、7的最小公倍数为42，42的倍数中小于50的只有42，故全班有42人，42×（1﹣）＝1人．故选：B．【点评】本题主要考查3个数的最小公倍数的求法，熟练掌握求最小公倍数的方法是解题的关键．16．古人用天干和地支记序，其中天干有10个；甲乙丙丁戊己庚辛壬癸，地支有12个；子丑寅卯辰巳午未申酉戌亥，将天干的10个汉字和地支的12个汉字对应排列成如下两行；甲乙丙丁戊己庚辛壬癸甲乙丙丁戊己庚辛壬癸甲乙丙丁…子丑寅卯辰巳午未申酉戌亥子丑寅卯辰巳午未申酉戌亥…从左向右数，第1列是甲子，第2列是乙丑，第3列是丙寅…，我国的农历纪年就是按这个顺序得来的，如公历2007年是农历丁亥年，那么从今年往后，农历纪年为甲亥年的那一年在公历中（ ）A．是2019年B．是2031年C．是2043年D．没有对应的年号【分析】首先求得10与12的最小公倍数60．因而从丁亥年开始算，即可判定是否有甲亥年，具体是哪年．【解答】解：∵10与12的最小公倍数为60，∴按照天干与地支组合循环60次后又开始循环．故只要检测这60年即可．可知没有甲亥年．
故选：D．【点评】本题考查最小公倍数．解决本题的关键是理解题意，天干地支循环是60年（天干10年与地支的最小公倍数），再重新循环．17．用（a，b）表示a，b两数的最大公约数，[a，b]表示a，b两数的最小公倍数，例如（4，6）＝2，（4，4）＝4．[4，6]＝12，[4，4]＝4，设a，b，c，d是不相等的自然数，（a，b）＝P，（c，d）＝Q，[P，Q]＝X；[2，6]＝M，[c，d]＝N，（M，N）＝Y．则（ ）A．X是Y的倍数，但X不是Y的约数B．X是Y的倍数或约数都有可能，但X≠YC．X是Y的倍数、约数或X＝Y三者必居其一D．以上结论都不对【分析】根据题意和最大公约数和最小公倍数的相关知识依次判断即可．【解答】解：A、取a，b，c，d为4，3，2，1，则X＝1，y＝2，X是y的约数，取a，b，c，d为4，2，3，1，则X＝2，y＝1，X是y的倍数，故本选项错误；B、再取a，b，c，d为5，3，2，1，则X＝y＝1，故本选项错误；C、再取a，b，c，d为6，3，2，1，则X＝3，y＝2，X既不是y的倍数也不是y的约数，故本选项错误；故选：D．【点评】本题考查了最大公约数和最小公倍数，牢记概念是关键．18．2003和3002的最大公约数是（ ）A．1B．7C．11D．13【分析】先把两数的公约数找出来，再找出最大公约数即可．【解答】解：∵2003和3002的公约数是1，∴2003和3002的最大公约数是1．故选：A．【点评】本题考查了最大公约数的概念以及两个数最大公约数的求法，牢记概念是解题的关键．19．360×473和172×361这两个积的最大公约数是（ ）A．43B．86C．172D．4【分析】
解决此类问题一般需要将这两个式子分解质因数，但由于361是一个质数，我们只要将172分解，再看一看前面的式子中有没有这几个质因数就不难得出答案．【解答】解：∵361是质数且不能被473整除，172＝2×2×43，473＝43×11，360＝4×90，∴360×473和172×361这两个积的最大公约数是4×43＝172．故选：C．【点评】此题主要考查最大公约数的求法，熟练掌握特殊的最大公约数的求法是解题的关键．20．在正整数1，2，3，…，100中，能被2整除但不能被3整除的数的个数是（ ）A．33B．34C．35D．37【分析】在1﹣n之间，能被2整除的数有个，能被3整除的数有个，同时能被2和3整除的数有个．【解答】解：在正整数1，2，3，…，100中，能被2整除的数有100÷2＝50（个）；能被2整除又能被3整除，即能被6整除的数有100÷6≈16（个），所以，能被2整除但不能被3整除的数的个数是50﹣16＝34（个）．故选：B．【点评】本题主要考查了有关于最大公约数与最小倍数的一道题．最小公倍数：①6及6的倍数能同时被2和3整除；②10及10的倍数能同时被2和5整除；③15及15的倍数能同时被3和5整除；④30及30的倍数能同时被2、3和5整除．21．用长为45cm，宽为30cm的一批砖，铺成一块正方形，至少需要（ ）块．A．6B．8C．12D．16【分析】45与30的最小公倍数90就是所求正方形的边长，然后用该正方形的面积除以每一块砖的面积即为所求．【解答】解：∵[45，30]＝90（cm），∴所求正方形的面积是：90×90＝8100（cm）2，∴铺成该正方形所需的砖的块数为：8100÷（45×30）＝6（块）；故选：A．【点评】本题主要考查了最小公倍数在实际生活中的应用．22．2001的正约数的个数是（ ）A．3B．4C．6D．8【分析】先分解质因数2001＝3×23×29，然后根据约数个数定理来解答．
【解答】解：∵2001＝3×23×29，∴2001的约数应为8个：1，3，23，29，3×23，3×29，23×29，2001．故选：D．【点评】本题考查了最大公约数与最小公倍数的知识点，在解答此题时，用到了约数个数定理：对于一个数a可以分解质因数：a＝a1•a22a33…则a的约数的个数就是（r1+1）（r2+1）（r3+1）…需要指出来的是，a1，a2，a3…都是a的质因数．r1，r2，r3…是a1，a2，a3…的指数．比如，360＝23×32×5，所以360约数的个数是（3+1）×（2+1）×（1+1）＝24个．23．所有形如的六位数（a，b，c分别是0～9这十个数之一，可以相同，但a≠0）的最大公约数是（ ）A．1001B．101C．13D．11【分析】首先表示出这个六位数，100000a+10000b+1000c+100a+10b+c，再进行分解因数，得出它们的最大公约数．【解答】解：∵100000a+10000b+1000c+100a+10b+c＝100100a+10010b+1001c＝1001（100a+10b+c）1001是四位数，比100a+10b+c大，∴最大公约数一定是1001．故选：A．【点评】此题主要考查了最大公约数，以及正确表示一个六位数，将这个六位数正确分解成两个因数是解决问题的关键．24．设a与b是正整数，且a+b＝33，最小公倍数[a，b]＝90，则最大公约数（a，b）＝（ ）A．1B．3C．11D．9【分析】假设出（a，b）＝x，得出x是a，b，a+b及[a，b]的公约数，得出x的值是x＝1或x＝3，进一步利用数的整除性知识进行分析，得出符合要求的答案．【解答】解：令（a，b）＝x，则x是a，b，a+b及[a，b]的公约数，故x是33和90的公约数，知x＝1或x＝3．当x＝1时，a与b互质，而a+b＝33，当a不能被3整除，则b不能被3整除，而[a，b]＝90，说明a、b至少有一个能被3整除．当a能被3整除，由a+b＝33，则b也能被3整除，
故（a，b）≠1，即x≠1．当x＝3时，即有（a，b）＝3，∴ab＝x[a，b]，ab＝3×90＝32×5×6，而a+b＝33，∴a＝15，b＝18，（a，b）＝3．故选：B．【点评】此题主要考查了数的整除性以及最大公约数和互质等知识，利用整除性得出a，b的关系是解决问题的关键．25．三角形三边长a，b，c都是整数，且[a，b，c]＝60，（a，b）＝4，（b，c）＝3（注：[a，b，c]表示a，b，c的最小公倍数，（a，b）表示a，b的最大公约数），则a+b+c的最小值（ ）A．30B．31C．32D．33【分析】首先分解60＝3×4×5，得出a，b，c中含的因数有4，3，5，由（a，b）＝4，（b，c）＝3得出a的最小值是4，b的最小值是3×4，进而得出c的最小值是3×5，从得出a+b+c的最小值．【解答】解：∵60＝2×2×3×5，∵（a，b）＝4，（b，c）＝3，∴a与b是4的倍数，b，c是3的倍数，∵[a，b，c]＝60，即a，b，c的最小公倍数是60，∴a，b，c中含的因数有4，3，5，∴当a＝4，b＝4×3＝12，c＝3×5＝15时，a+b+c的最小值是：4+4×3+3×5＝31．故选：B．【点评】此题主要考查了最大公约数与最小公倍数，得出a，b，c的最小值，是解决问题的关键．26．若三个连续自然数的最小公倍数为660，则这三个数分别是（ ）A．9，10，11B．10，11，12C．11，12，13D．12，13，14【分析】设这三个数为x，x+1，x+2，根据三个连续自然数的最小公倍数为660，可得x|660，（x+1）|660，（x+2）|660，又由660＝2×2×3×5×11，即可得出答案．【解答】解：设这三个数为x，x+1，x+2，
∵三个连续自然数的最小公倍数为660，∴x|660，（x+1）|660，（x+2）|660，又∵660＝2×2×3×5×11，∴这三个数分别10，11，12，故选：B．【点评】本题考查了最小公倍数，难度一般，关键是把660分解成几个质数的乘积，然后根据题意求解．27．105的负约数的和等于（ ）A．﹣105B．﹣87C．﹣86D．﹣192【分析】只要考虑105的负约数肯定有﹣1和﹣105，两个加起来就﹣106，所以A、B、C肯定不符合答案．【解答】解：∵105＝（﹣1）×（﹣105），＝（﹣3）×（﹣35），＝（﹣5）×（﹣21），＝（﹣7）×（﹣15），∴105的负约数有﹣1、﹣105、﹣3、﹣35、﹣5、﹣21、﹣7、﹣15，∴﹣1﹣105﹣3﹣35﹣5﹣21﹣7﹣15＝﹣192．故选：D．【点评】本题考查了一个数的公约数，即将这个数写成几个数的积的形式，这几个数为它的因数．28．设a、b为正整数（a＞b），p是a、b的最大公约数，q是a、b的最小公倍数，则p，q，a，b的大小关系是（ ）A．p≥q≥a＞bB．q≥a＞b≥pC．q≥p≥a＞bD．p≥a＞b≥q【分析】根据两个数的最大公约数与最小公倍数的关系判定即可．【解答】解：∵（a，b）＝p且[a，b]＝q，∴p|a且p|b，即a|q且b|q．∴q≥a＞b≥p．故选B．【点评】本题主要考查最大公约数与最小公倍数，两个数的最大公约数最小是一，最大是其中较小的数，两个数的最小公倍数最大是他们的积，最小是其中较大的数．29．两个正数的和是60，它们的最小公倍数是273，则它们的乘积是（ ）
A．273B．819C．1199D．1911【分析】先对273分解质因数273＝3×7×13，所以，两个数为3，7，13中的任意两数的乘积．【解答】解：∵273＝3×7×13，∴这两个数为3，7，13中的任意两个数的乘积，∴有3，7，13，21，39，91，273这七个数，又∵两数和为60，∴这两个数为21，39，所以乘积为21×39＝819．故选：B．【点评】本题主要考查了有关于最大公约数与最小公倍数的题目，解答此题时，先用273分解质因数，然后利用“凑项法”解答．30．下面的四句话中正确的是（ ）A．正整数a和b的最大公约数大于等于aB．正整数a和b的最小公倍数大于等于abC．正整数a和b的最大公约数小于等于aD．正整数a和b的公倍数大于等于ab【分析】运用特殊值法进行排除，例如3是6和9的公约数，小于6，所以正整数a和b的最大公约数大于等于a，同理可得出符合要求的答案．【解答】解：A、3是6和9的公约数，小于6，所以排除A；B、6和9的最小公倍数是18，小于54，所以排除B；C、正整数a与b的最大公约数小于等于a是成立的；故C正确；D、6和9的最小公倍数是18，小于54，所以排除D；故选：C．【点评】此题主要考查了最大公约数与最小公倍数，利用特殊值法进行排除，是解决问题的最简捷办法．31．祖两人的年龄都是合数，明年他们的岁数相乘是1610，那么祖两人今年的年龄分别是（ ）A．70岁、23岁B．69岁、22岁C．115岁、14岁D．114岁、13岁【分析】首先先了解下合数质数的概念
质数：除了1和它本身外，没有别的因数的数是质数．合数：除了1和它本身外，还有别的因数的数是合数．再据题意把1610写成几个质数的及的形式，然后确定其答案．【解答】解：1610/2＝805，805/5＝161，161/7＝23，所以由明年他们的岁数相乘是1610，可得1610＝2×5×7×23．这里可以确定子的年龄和爷爷的年龄不能分别是（1）2和805，（2）5和322，（3）7和230，（4）35和46．假设子明年的年龄是2×7＝14，那么今年子明年的年龄是14﹣1＝13（质数）与已知矛盾，不成立．如果由1610＝2×5×7×23，设子明年的年龄是23，那么爷爷明年的年龄是2×5×7＝70．又23﹣1＝22，70﹣1＝69，22、69都是合数符合题意．故选：B．【点评】此题主要考查了学生对质数、合数意义的理解和掌握．此题关键是把1610写成几个质数的积的形式．二．填空题（共10小题）32．记20162的所有正约数为d1，d2，…，dm，则++…+＝ ．【分析】先针对于22的3个正约数，对于32的3个正约数，对于42的5个正约数，对于52的3个正约数，对于62的9个正约数分别计算，找出n2的正约数的个数的规律（如果n2分解质因数为ae×bf×ch，那么正约数的个数为（e+1）（f+1）（h+1），和所求结论的规律则+++…+＝，规律，即可得出结论．【解答】解：对于22的（2+1）＝3个正约数1，2，22，有++＝；对于32的（2+1）＝3个正约数1，3，32，有++＝＝；对于42＝24的（4+1）﹣5个正约数1，2，22，23，24，有++++＝．对于52的（2+1）＝3个正约数1，5，52，有++＝，对于62＝22×32的（2+1）（2+1）＝9个正约数1，2，22，3，32，2×3，22×3，2×32，22×32，有++++++++＝，…
…即：若n2的所有正约数为d1，d2，d3，d4，…，dm，则+++…+＝∵20162＝210×34×72∴m＝（10+1）（4+1）（2+1）＝m＝165，∴当n＝2016时，++…+＝＝，故答案为．【点评】此题是约数与倍数，主要考查了一个正整数的平方的正约数的确定，以及正约数的个数的确定，找出规律是解本题的关键，也是难点．是一道比较难度比较大的规律题．33．清溪汽车站开设三条线路的公共汽车，①路车每4分钟开出一趟，③路车每6分钟开出一趟，⑦路车每9分钟开出一趟，如果他们是上午7点在汽车站同时开出，则他们下次同时开出的时间是 7点36分 ．【分析】要解答本题只要求出4、6、9的最小公倍数就可以了，也就是说4、6、9的最小公倍数就是同时开出的循环时间，而4、6、9的最小公倍数是36，则下次同时开出的时间是36分钟时，这样就可以得出结论．【解答】解：∵①路车每4分钟开出一趟，③路车每6分钟开出一趟，⑦路车每9分钟开出一趟，而4、6、9的最小公倍数是36，∴同时开出的时间是7点36分．故答案为：7点36分．【点评】本题考查了最大公约数和最小公倍数的知识，重点是解答中确定最小公倍数的方法“短除法”的运用．34．锐角三角形ABC的三边长BC＝a，CA＝b，AB＝c．a、b、c均为整数，且满足如下条件：a、b的最大公约数为2，a+b+c＝，则△ABC的周长为 6或35 ．【分析】由题目可知，c＝﹣（a+b）＝，由于三角形中，有a+b＞c，则﹣（a+b）＝＜a+b，整理得：3ab＜（a+b）2＜6ab，由于ab≤（）2，所以（a+b）2≥4ab，假设（a+b）2＝4ab，则a＝b，由于a，b的最大公约数为2，所以a＝b＝2，代入a+b+c＝，得c＝2，符合题意．当△ABC为非等边三角形，三边为10，14，11，从而求出△ABC的周长．【解答】解：三角形中，有a+b＞c，则﹣（a+b）＝＜a+b，
整理得：3ab＜（a+b）2＜6ab，由于ab≤（）2，所以（a+b）2≥4ab，假设（a+b）2＝4ab，则a＝b，由于a，b的最大公约数为2，所以a＝b＝2，代入a+b+c＝，得c＝2，符合题意．则△ABC的周长＝2+2+2＝6．当△ABC为非等边三角形，三边为10，14，11，满足a+b+c＝，则△ABC的周长＝10+14+11＝35．故答案为：6或35．【点评】考查了最大公约数与三角形三边关系，本题得到a＝b，根据a，b的最大公约数为2，得到a＝b＝2是解题的关键，题目较难．35．记者向五羊初级中学校长询问学生人数，校长回答说不足5000人，其中初一、初二、初三分别占，，，余下的是特别设立的“奥林匹克班”的学生，学校在学生中成立了数学爱好者协会，会员包含了初一学生的，初二学生的，初三学生的，而会员的是“奥林匹克班”的学生，则数学爱好者协会总人数为 183 ．【分析】设五羊初级中学中有x名学生，则数学爱好者协会中初一学生为×x＝x，初二学生为×x＝x，初三学生为×x＝x，找到120，56，45的最小公倍数，根据学生人数不足5000人，求解即可．【解答】解：设五羊初级中学中有x名学生，则数学爱好者协会中初一学生为×x＝x，初二学生为×x＝x，初三学生为×x＝x，∵120，56，45的最小公倍数是2520，∴五羊初级中学中有2520名学生，∴数学爱好者协会总人数为（x+x+x）÷（1﹣）＝183名．故数学爱好者协会总人数为183．故答案为：183．【点评】考查了最大公约数与最小公倍数的应用，此题贴近学生生活，关键是找到120，56，45的最小公倍数．36．以
（ ）、[]分别表示最大公约数和最小公倍数，则（[[（24，60，84），1，20]，7，5，3]，19）＝ 1 ．【分析】本题涉及的数字不大，可先求出24，60，84的最大公约数为12，计算出12，1，20的最小公倍数为60，然后求解60，7，5，3的最小公倍数，最后求解这个数和19的最大公约数即可．【解答】解：∵24，60，84的最大公约数为12，∴（24，60，84）＝12，而12，1，20的最小公倍数为60，∴[（24，60，84），1，20]＝60，则（[[（24，60，84），1，20]，7，5，3]，19）＝（420，19）＝1．故答案为：1．【点评】本题考查了最大公约数及最小公倍数的知识，解答时要注意各括号所对应的数，不用混淆，难点在于几个数的最大公约数及最小公倍数的求解办法．37．（19941994+19941995，1994×1995）＝ 1994×1995 ．【分析】此题数值较大，看上去很难，但仔细观察可发现，两个式子都含有因数1994，前一个式子提取公因式19941994后可变为19941994×1995，与后一个式子有公约数1995，据此即可解答．【解答】解：∵19941994+19941995＝19941994+19941994×1994＝19941994×（1+1994）＝19941994×1995，∴（19941994+19941995，1994×1995）＝1994×1995．故答案为1994×1995．【点评】本题主要考查最大公约数的求法，熟练提取公因式是解答本题的关键．38．设m和n为大于0的整数，且3m+2n＝225，如果m和n的最大公约数为15，m+n＝ 105 ．【分析】此题根据m和n的最大公约数为15，可设m＝15m1，n＝15n1，代入3m+2n＝225，化简可得3m1+2n1＝15，尝试即可解答．【解答】解：设m＝15m1，n＝15n1，其中m1，n1都是正整数，则3m1+2n1＝15，尝试可知m1＝1，n1＝6时，正好符合题意，即m＝15，n＝90，此时m+n＝15+90＝105．故答案为：105．【点评】此题主要考查最大公约数的求法，熟练掌握最大公约数的求法是解题的关键．
39．用若干条长为1的线段围成一个长方形，长方形的长和宽的最大公约数是7，最小公倍数是7×20．则围成这个长方形最少需要 126 条长为1的线段，它的面积是 980 ．【分析】此题可设长为7a，宽为7b，由题意可知，a、b相乘得20，求出相加最小的值即可．【解答】解：设长为7a，宽为7b，由题意可知，a、b相乘得20，20＝1×20＝2×10＝4×5，4+5＝9最小，所以a＝7×4＝28，b＝7×5＝35，周长为（28+35）×2＝126，面积为28×35＝980．故答案为126，980【点评】此题主要考查最大公约数与最小公倍数的求法，熟练掌握周长与面积的计算公式是解题的关键．40．已知a、b和9的最大公约数为1，最小公倍数为72，则a+b的最大值是 80 【分析】解得此题的关键是设a＝2k13s1，b＝2k23s2，由a、b和9的最大公约数为1，可知ab不能同时含有3，而可以含有2，从而确定出最大值．【解答】解：∵72＝23×32，可设a＝2k13s1，b＝2k23s2，k1k2均为不大于3的非负整数，且至少有1个为3，s1s2均为不大于2的非负整数，且至少有一个为0，于是当k1＝k2＝3，s1＝2，s2＝0时或当k1＝k2＝3，s1＝0，s2＝2时即当a＝72，b＝8时或当a＝8，b＝72时，a+b取最大值故答案为：80【点评】此题主要考查最大公约数与最小公倍数的求法，熟练掌握三个数的最小公倍数求法是解题的关键．41．已知m，n，l都是两位正整数，且它们不全相等，它们的最小公倍数是385，则m+n+l的最大值是 209 ，最小值是 57 ．【分析】此题只要找出385的所有两位因数，由于他们不全相同，故最多有二个相同，由此找出最大最小即可．【解答】解：385的二位因数有11，35，55，77，
他们不全相同，故最大为77，77，55，和为209，最小为11，11，35，和为57．故答案为209，57．【点评】此题主要考查最小公倍数的求法，熟练掌握一个数的因数的求法是解题的关键．声明：试题解析著作权属菁优网所有，未经书面同意，不得复制发布日期：2019/11/1218:35:45；用户：毅平；：azxx108xyh.；学号：24274746
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