约数和倍数小结

第三单元小结一、约数和倍数的意义（1）两个整数相除，如果用字母表示，可以这样说：整数a除以整数b（b≠0），除得的商正好是整数而没有余数，我们就说a能被b整除（也可以说b能整除a）。如：1.5÷3＝0.5中1.5不能被3整除；15÷3＝5中，15能被3整除。（2）如果整数a能被整数b（b≠0）整除，a就叫做b的倍数，b就叫做a的约数。如：15能被3整除，我们就说15是3的倍数，3是15的约数。①倍数和约数是相互依存的，不能单独说某一个数是约数或倍数。②一个数的倍数的个数是无限的，其中最小的倍数是它本身；一个数的约数的个数是有限的，其中最小的约数是1，最大的约数是它本身；一个数既是它本身的约数，又是它本身的倍数。（3）求一个数的约数和倍数的方法。①找一个数的约数时，应从最小的约数找起，一直找到它本身（如24的约数有：1、2、3、4、6、8、12、24共8个）；也可以一对一的找，如24的约数有：（一对）（一对）1234681224（一对）（一对）②找一个数的倍数，可以用这个数分别去乘自然数1、2、3、4、……如2的倍数有：2×1＝2、2×2＝4、2×3＝6、2×4＝8、……二、能被2、5、3整除的数1．能被2整除的数（1）能被2整除的数的特征：个位上是0、2、4、6、8的数，都能被2整除。如：72、20、56、38、94等数都能被2整除。（2）奇数和偶数的意义：能被2整除的数叫做偶数，不能被2整除的数叫做奇数。如：2、4、6、8、10、……是偶数；1、3、5、7、9、……是奇数。注意：因为0也能被2整除，所以0也是偶数。2．能被5整除的数（1）能被5整除的数的特征：个位上是0或者5的数，都能被5整除。如：10、55、75、150等数，都能被5整除。（2）能同时被2和5整除的数的特征：个位上是0的数，能同时被2和5整除。如：10、70、90、250等数，都能同时被2和5整除3．能被3整除的数（1）能被3整除的数的特征：一个数的各位上的数的和能被3整除，这个数就能被3整除。如：81、405、15、69、39等数，都能被3整除。6 （1）能同时被2、5、3整除的数的特征：个位上是0，各位上的数的和能被3整除。如：30、120、990、4410等数，都能同时被2、5、3整除。一、质数和合数，分解质因数1．质数和合数（1）质数和合数的意义：①质数的意义：一个数，如果只有1和它本身两个约数，这样的数叫做质数（也叫做素数）。如：2、3、5、7、11都是质数。②合数的意义：一个数，如果除了1和它本身还有别的约数，这样的数的叫做合数。例如：4、6、8、9、10、12都是合数。（2）1不是质数，也不是合数。（3）判断一个数是否是质数的方法：①检查这个数的约数的个数，看是否只有1和它本身这两个约数；②查质数表的方法。如果这个数在质数表内，那么这个数就是质数。否则，这个数就不是质数。（4）按约数的个数分，我们把自然数分为1、质数和合数。2．分解质因数（1）质因数的意义：每个合数都可以写成几个质数相乘的形式。其中每个质数都是这个合数的因数，叫做这个合数的质因数。如：因为36＝2×2×3×3，所以2、2、3、3都是36的质因数。（2）分解质因数的意义：把一个合数用质因数相乘的形式表示出来，叫做分解质因数。如：32＝2×2×2×2×2、30＝2×3×5等都是分解质因数。（3）分解质因数的方法：为了简便，通常用短除法来分解质因数。23621839336＝2×2×3×3这说明，要把一个合数分解质因数，先用一个能整除这个合数的质数（通常从最小的开始）去除，得出的商如果是质数，就把除数和商写成相乘的形式；得出的商如果是合数，就照上面的方法继续除下去，直到得出的商是质数为止，然后把各个除数和最后的商写成连乘的形式。二、最大公约数1．公约数和最大公约数（1）公约数和最大公约数的意义：几个数公有的约数，叫做这几个数的公约数；其中最大的一个，叫做这几个数的最大公约数。例如：1、2、4是8和12的公约数；4是8和12的最大公约数。还可以用下图来表示。8的约数12的约数3、612、1、2、486 （2）互质数的意义：公约数只有1的两个数，叫做互质数。例如：5和7、7和9、8和9等都是互质数。2．求几个数的最大公约数（1）求几个数的最大公约数时，为了简便，通常采用短除法的形式。例如：求18和30的最大公约数21830……用公有的质因数2除；3915……用公有的质因数3除；35……除到两个商是互质数为止。把所有的除数乘起来，得到：18和30的最大公约数是2×3＝6。（2）求两个数的最大公约数，一般先用这两个数公有的质因数连续去除，一直除到所得的商是互质数为止，然后把所有的除数连乘起来。在除的过程中，有时也可以用两个数的公约数去除。例如，在求36和54的最大公约数时，也可以先用它们的公约数6或9去除，再看所得的商还有没有其它公有的质因数。（3）求两个数的最大公约数的特例。①如果较小数是较大数的约数，那么较小数就是这两个数的最大公约数。如：12是24的约数，那么，12和24的最大公约数是12。②如果两个数是互质数，它们的最大公约数就是1。如：12和13是互质数，那么12和13的最大公约数就是1。一、最小公倍数1．公倍数和最小公倍数公倍数和最小公倍数的意义：几个数公有的倍数，叫做这几个数的公倍数，其中最小的一个，叫做这几个数的最小公倍数。例如，12、24、36、……都是4和6的公倍数，12是4和6的最小公倍数。这也可以用下图来表示。4的倍数6的倍数12246、18、30．……4、8、16、204和6的公倍数2．求几个数的最小公倍数（1）求几个数的最小公倍数时，通常用分解质因数的方法，为了简便，通常写成短除法的形式。例如，求18和30的最小公倍数21830……用公有的质因数2除；3915……用公有的质因数3除；35……除到两个商是互质数为止。把所有的除数和商乘起来，得到：18和30的最小公倍数是2×3×3×5＝90。（1）求两个数的最小公倍数，先用这两个数公有的质因数连续去除（一般从最小的开始），一直除到所得的商是互质数为止，然后把所有的除数和最后的两个商连乘起来。6 （3）求两个数的最小公倍数的特例。①如果较大数是较小数的倍数，那么较大数就是这两个数的最小公倍数。如：15是5的倍数，那么15就是15和5的最小公倍数。②如果两个数是互质数，那么这两个数的积就是它们的最小公倍数。如：21和31是互质数，那么这两个数的乘积651就是21和31的最小公倍数。（4）求三个数的最小公倍数。求三个数的最小公倍数，通常这样做：281230……用三个数公有的质因数2除；4615……4和6还有公有的质因数2，再用2除这两个数，把15移下来；2315……3和15还有公有的质因数3，再用3除这两个数，把2移下来；215……2、1和5，每两个数都是互质数（即两两互质），除到这里为止。8、12和30的最小公倍数是2×2×3×2×5＝120。（5）最大公约数和最小公倍数的比较。①求两个数的最大公约数和最小公倍数的比较。两数关系最大公约数最小公倍数互质关系是1是两数的乘积倍数关系较小数就是这两个数的最大公约数较大数就是这两个数的最小公倍数。一般关系（也就是两个数还有除1以外的公约数）用短除法分解质因数。把所有除数连乘，积是这两个数的最大公约数。用短除法分解质因数，把所有的除数和最后的两个商连乘，积是这两个数的最小公倍数。②求三个数的最大公约数和最小公倍数的比较。求最大公约数求最小公倍数相同点用短除法分解质因数用短除法分解质因数不同点1．除数必须是所有数公有的约数，除到所有数只有公约数1为止。2．除数可以是合数。3．把所有数的约数连乘，积就是这几个数的最大公约数。1．除数可以是所有数的公有的约数，如果其中还有两个数有公有的约数，就要继续除，直到两两互质为止。2．除数必须是质数。3．把所有数的约数，两个数的约数及最后的商连乘，就是这几个数的最小公倍数。6 【素质知识扩展】1．整除和除尽有什么关系？答：整除和除尽既有联系又有区别，整除是除尽的一种特殊情况，除尽不一定是整除，它是相对于除不尽来说的。a÷b＝q，如果是除尽，那么a、b、q不一定是自然数；如果是整除，那么a、b、q应该是自然数。它们的关系可用下图表示：除不尽（如2÷3＝0.666……）a÷b如40÷5＝8整除除尽2÷5＝0.440÷5＝86÷0.2＝302．质数、质因数和互质数的区别三者的区别请看下表。质数约数只有1和本身的自然数叫质数，它是独立的。如5是质数。质因数既是质数，又是因数，它是不独立的。如20＝2×2×5，不能说5是质因数，必须说5是20的质因数。互质数表示两个数的最大公约数是1这样一种关系，如5和6。互质的两个数可能都是质数，但一定都是质数，一般有四种情况：（1）质数和质数（如7和13）；（2）质数和合数（如11和8）；（3）合数和合数（如9和10）；（4）1和任何自然数。3．求几个数的最大公约数和最小公倍数，通常用短除法。为什么说“通常”？答：因为求几个数的最大公约数和最小公倍数，不是只能用短除法，或一定要用短除法。两个数（或三个数）之间的关系有三种情况：（1）互质关系；（2）倍数关系；（3）一般关系。如果是互质关系，那么最大公约数是1，最小公倍数是它们的乘积；如果是倍数关系，那么最大公约数是较小数，最小公倍数是较大数；如果是一般关系，通常用短除法。求一般关系的几个数的最小公倍数，还可以用“大数加倍”的方法。例如，求12和8；15和25；8、9和12的最小公倍数。第一组，把较大数12扩大2倍得24，24能被8整除；24就是它们的最小公倍数；第二组，把25扩大2倍，得50，不能被15整除，扩大3倍，得75，能被15整除，75就是它们的最小公倍数；第三组，把12扩大2、3、4、5倍，得数都不能同时被8、9整除，扩大6倍，得72，能同时被8、9整除，72就是它们的最小公倍数。这种方法对数据较小的题目较适用。6 整除奇数分解质因数质因数合数质数短除法：除数连乘的积（可以用公约数去除）最大公约数公约数约数短除法：除数和商连乘起来（用公有的质因数去除）最小公倍数公倍数倍数能被3整除的数的特征能被5整除的数的特征能被2整除的数的特征偶数6