约数与倍数例题

约数与倍数例题1题一个数有8个约数．这个数最小是 ．正确答案:24详解：24有8个约数：1，2，3，4，6，8，12，24．比24小的数都没有8个约数(12，18，20各有6个约数，其余的数约数个数少于6)．例题2题边长1米的正方体2100个，堆成一个实心的长方体．它的高是10米，长、宽都大于高．则长方体长与宽的和是 米．正确答案:29提示：由于长方体是用2100个边长为1米的正方体堆成的，就是说，这个长方体的体积应是2100立方米，但长方体的体积＝长×宽×高，现在知道高＝10米，故长×宽＝210米，又，长、宽都大于高，所以本题就是找出210的两个都大于10的约数，使它们的积为210．详解：2100÷10＝210，210＝2×3×5×7＝(2×7)×(3×5)＝14×15．由于14与15都是210的大于10的约数，且其积＝210，又只有这一组数据满足题目的要求．∴长方体的长与宽分别为15与14，其和为29．例题3题数360的约数有 个．这些约数的和是 ．正确答案:24；1170详解：360分解质因数：；360的约数可以且只能是，(其中a，b，c均是整数，且a为0～3，b为0～2，c为0～1)．因为a、b、c的取值是相互独立的，由计数问题的乘法原理知，约数的个数为(3＋1)×(2＋1)×(1＋1)＝24．我们先只改动关于质因数3的约数，可以是1，3，，它们的和为，所以所有360约数的和为；我们再来确定关于质因数2的约数，可以是它们的和为，所以所有360约数的和为；最后确定关于质因数5的约数，可以是1，5，它们的和为(1＋5)，所以所有360的约数的和为8 ．于是，我们计算出值：13×15×6＝1170．所以，360所有约数的和为1170．评注：我们在本题中分析了约数个数、约数和的求法．下面我们给出一般结论：Ⅰ．一个合数的约数的个数是在严格分解质因数之后，将每个质因数的指数(次数)加1后所得的乘积．如：1400严格分解质因数后为，所以它的约数有(3＋1)×(2＋1)×(1＋1)＝4×3×2＝24个．(包括1和它自身)Ⅱ．约数的和是在严格分解质因数后，将M的每个质因数最高次幂的所有约数的和相乘所得到的积．如：，所以21000所有约数的和为．例题4题从360到630的自然数中有奇数个约数的数有 个．正确答案:7详解：一个合数的约数的个数是在严格分解质因数之后，将每个质因数的指数(次数)加1后所得的乘积．如：1400严格分解质因数后为，所以它的约数有(3＋1)×(2＋1)×(1＋1)＝4×3×2＝24个．(包括1和它自身)如果某个自然数有奇数个约数，那么这个数的所有质因子的个数均为偶数个，这样它们加1后均是奇数，所得的乘积才能是奇数．而所有质因数的个数均是偶数个的数为完全平方数．即完全平方数(除0外)有奇数个约数，反过来，有奇数个约数的数一定是完全平方数．由以上分析知，我们所求的为360～630之间有多少个完全平方数．18×18＝324，19×19＝361，25×25＝625，26×26＝676，所以在360～630之间的完全平方数为即360到630的自然数中有奇数个约数的数为361，400，441，484，529，576，625，共7个.例题5题1112111的约数共有 个．正确答案:24详解：一般的，一个自然数N可能惟一地表示成一些质因数的乘积：其中是不相同的质数，，那么N的约数的个数公式：∴8 1112111的约数的个数是：(1＋1)×(2＋1)×(1＋1)×(1＋1)＝24∴1112111有24个约数例题6题在正好有60个约数的自然数中，1万以内最大的数是 ．正确答案:9360详解：因为，所以所求数分解质因数后，任何质因数的幂小于14．将60分解为约数小于14的乘积，60＝5×12＝6×10＝2×3×10＝2×5×6＝3×4×5＝2×2×3×5．根据自然数的约数个数的公式，恰有60个约数的小于10000的合数应具有下列形式之一：其中a、b、c、d均为质数．因为都大于10000，所以所求数只能是的形式，所求数是9360．例题7题有甲、乙、丙3人,甲每分钟行走120米,乙每分钟行走100米,丙每分钟行走70米.如果3个人同时同向,从同地出发,沿周长是300米的圆形跑道行走,那么 分钟之后,3人又可以相聚。正确答案:30详解：设在x分钟后3人再次相聚,甲走了120x米,乙走了lOOx米,丙走了70x米,他们3人之间的路程差均是跑道长度的整数倍．即120x-100x,120x-70x,lOOx-70x均是300的倍数,那么300就是20x,50x,30x的公约数．有(20x,50x,30x):300,而(20x,50x,30x)=x(20,50,30)=lOx,所以x=30．即在30分钟后,3人又可以相聚．例题8题要使六位数能被36整除，而所得的商最小，那么A= ，B= ，C= ．正确答案:0；1；58 提示：能被36整除的数一定能被4和9整除，反之，如果一个数既能被4整除，又能被9整除，那么这个数一定能被4×9＝36整除，所以，本题应考虑以下三个条件：(1)这个数有约数4；(2)这个数有约数9；(3)这个数被36除所得商最小，也就是这个数应最小．详解：∵有约数4，∴其末两位数是4的倍数，即，于是C可取值1，3，5，7，9．∵有约数9．∴1+5+A+B+C+6＝12+A+B+C是9的倍数，但A、B、C都是0到9的数字，故12≤12+A+B+C≤39，于是A+B+C可能取6，15，24三个值．若A+B+C＝6，且C＝1，则A+B＝5，为使最小，应取A＝0，B＝5，C＝1，得数为150516．若A+B+C＝6，且C＝3，则A+B＝3，为使最小，应取A＝0，B＝3，C＝3，得数为150336．若A+B+C＝6，且C＝5，则A+B＝1，为使最小，应取A＝0，B＝1，C＝5，得数为150156．若A+B+C＝6，则C＝7，9不可能．若A+B+C＝15，C＝1，则A+B＝14，为使最小，A＝5，B＝9得数155916比150156大，同样C＝3，5，7，9，不能得A＝0，而A+B+C＝24，也不可能得A＝0，即可知，使最小的值为A＝0，B＝1，C＝5．说明：要使最小，应使A取最小值，而不一定使C取最小值，如果一开始认为C＝1就错了．该数既有约数4，又有约数9，该数就一定有约数36．这个结论不能随便推广为：若某数既有约数a，又有约数b，则该数一定有约数a×b，例如24既有约数8，又有约数6，但24没有约数48(＝8×6)，这里一定要保证a，b互质．若某数有约数a与b(a，b是自然数)，且(a，b)=1，则该数有约数a×b(这里a、b互质是必不可少的条件)．例题9题有一类数，它们的15倍减1能被1999整除，这类数中最小的一个是 ．正确答案:1466提示：这些数的15倍减1后是1999的倍数，可设这个数为x，它的15倍减1就是15x-1，它是1999的y倍，即可设法求出x．详解：解法一8 设所求数为x，而15x-1是1999的y倍得15x＝1999y+1由于1999y+1＝133×15y+4y+1是15的倍数，故4y+1是15的倍数．设4y+1＝15z，故4y＝15z-1＝16y-(z+1)于是z+1是4的倍数，设z＝4k-1这时4y＝15(4k-1)-1＝60k-16，得y＝15k-415x＝133×15y+4y+1＝133×15(15k-4)+4(15k-4)+1＝133×15×15k-133×15×4+4×15k-16+1x＝133(15k-4)+4k-1．取k＝1，得x＝133×11+3＝1466故所求最小数为1466．说明：本题反复利用整除性把字母的系数减小到1，就把k求出来了．解法二由于1999y+1能被15整除，故1999y+1既是3的倍数，又是5的倍数，要使1999y+1有约数3，可取y＝2、5、8、11、14、17、…；要使1999y+1有约数5，可取y＝1，6，11，16，21，…由此可知y＝11是使1999y+1是15的倍数的最小值．于是得x＝(1999×11+1)÷15＝1466例题10题修改31743的某一个数字，可以得到823的倍数，则修改后的这个数是 ．正确答案:33743提示：本题当然可以依次算出823的2倍，3倍，4倍……一直算到该数的41倍，可得823×41＝33743，比较可知，只要把千位上的“1”修改为“3”即是结果．但如果这样慢慢算过去，要花费很多时间，所以，不妨从计算31743÷823的竖式入手进行分析．详解：用竖式计算31743÷823，可得469。由于最后的余数为469，而在计算商的十位数“3”时，有823×3＝2469，这说明，如果余数469能增加2000，就恰是823的整数倍了，所以，只要把原数加上2000，得到33743就是823的38+3＝41倍．此时恰只修改了一个数字．例题11题三个连续自然数在100到200之间，其中最小的能被3整除，中间的能被5整除，最大的能被7整除，那么，所有这样的三个自然数是 （数字之间用小于号按从小到大的顺序写出来）．正确答案:159