约数和倍数的整理和复习设计

约数和倍数的整理和复习设计同学们，第三单元“约数和倍数”的内容已经结束了，今天我们一起回忆一下本单元所学过的知识，找到它们之间的区别和联系，为今后能够更好地灵活应用打下坚实的基础。 一.阅读思考，学会方法。本单元概念比较多，而且各个概念之间有着紧密的联系，但易混的概念也比较多，只有找到各个知识间的联系，正确区分易混概念，才能灵活地应用。1. 区别联系整除被除数、除数和商都是整数，而没有余数（其中除数不为0）如图除尽能除开（商可以是整数、小数）整除一定能除尽，而除尽不一定能整除2. 区别联系质数1.相对于一个自然数而言2.只有1和它本身两个约数叫质数两个不同的的质数一定互质互质数1.相对于两个自然数而言2.最大公约数是1的两个数叫互质数 下面我们就来综合应用本单元知识解题。例1.一串数排成一行，它们的规律是这样的：头两个数都是1，从第三个数开始，每一个数都是前两个数的和，也就是：1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，……问：这串数的前100个数中（包括第100个数）有多少个偶数？分析与解答：观察已经写出的数就会发现，每隔两个奇数，就出现一个偶数。再多算几次，这一规律仍然成立。从最左边开始，将三个数分成一段，这一段的三个数中，最后一个必是偶数。一百个数，可以写成33段，还余下一个（这个数必为奇数），因此偶数的个数是33个。 本题中所给出的这一串数，称为“菲波那契数列”，它有许多许多有趣的性质。要深入地研究它，需要用到高等数学。 例2.一个两位数（小于50），被3除余2，被5除余3，这个两位数是多少？分析与解答：两位数被3除余2，这个两位数被3除也一定余5，（如果少商1，余数会多一个3），这个两位数被3除一定也余8，说明这个两位数是3的倍数多8。同理，两位数被5除余3，那么它被5除一定也余8（少商1），说明这个两位数是5的倍数多8。这个两位数比3的倍数多8，比5的倍数也多8，那么这个两位数就比3和5的公倍数多8，50以内3和5的公倍数有15、30和45，45＋8＝53大于50，不合题意。因此这个两位数可能是15＋8＝23，也可能是30＋8＝38。 例3.两个自然数的和是50，它们的最大公约数是5，则这两个数的差是多少？分析与解答：最大公约数是5，说明这两个自然数都有质因数5，即都是5的倍数。假设两个自然数分别为A和B，把它们分解质因数：，，其中a是A独有的质因数，b是B独有的质因数，a和b互质且，所以或，由此可以求出两个自然数可能分别是5和45，也可能是15和35，所以这两个数的差是40或20。 二.尝试体验，合作交流。1.四个连续自然数的积是1680，则这四个数分别是多少？2.是3的倍数又是5的倍数的最大两位数是多少？3.用5、7、4、2可以组成多少个不同的偶数？4.自然数a与1950的最大公约数是390，最小公倍数为3900，求a是多少？ 三.灵活应用，创造发展。1.将1999表示为两个质数之和，1999＝□＋□，在□中填入质数，共有多少种表示方法？2.某班同学在班主任老师带领下去种树，学生恰好平均分成三组，如果老师与学生种树一样多，共种了1073棵，那么平均每人种了多少棵树？3.三个数371、429、516分别除以x后所得的余数相同，则x＝？录音指导见有声讲座或音频/视频讲座E5SXA029   二.尝试体验，合作交流。1.四个连续自然数的积是1680，则这四个数分别是多少？1680是四个连续自然数的积，因此其中包含四个连续自然数的所有质因数。1680＝2×2×2×2×3×5×7所以这四个连续自然数分别是5、6、7、8。2.是3的倍数又是5的倍数的最大两位数是多少？是3的倍数又是5的倍数，那一定是3和5的公倍数。已知［3，5］＝15，给15翻倍，所以满足条件的最大两位数是90。3.用5、7、4、2可以组成多少个不同的偶数？我们可以分情况考虑：一位偶数有：4、2，共2个两位的偶数有：54、74、52、72、24、42，共6个三位的偶数有：574、754、524、254、724、274、572、752、542、452、742、472，共12个四位的偶数有：5742、5724、5472、5274、7542、7524、7452、7254、2574、2754、4572、4752，共12个2＋6＋12＋12＝32所以，用5、7、4、2可以组成32个不同的偶数。此题除上述方法外，还可以用“乘法原理”解答，不妨试一试。4.自然数a与1950的最大公约数是390，最小公倍数为3900，求a是多少？两个数的最大公约数与最小公倍数的积等于这两个数的积。根据这一特性：a×1950＝390×3900可以求出a＝780 三.灵活应用，创造发展。1.将1999表示为两个质数之和，1999＝□＋□，在□中填入质数，共有多少种表示方法？因为1999为奇数，所以右边两个质数必为一奇一偶，其中一偶一定是2，因为既是质数又是偶数的只有2，所以共有两种不同的表示方法。即：1999＝2＋1997或1999＝1997＋22.某班同学在班主任老师带领下去种树，学生恰好平均分成三组，如果老师与学生种树一样多，共种了1073棵，那么平均每人种了多少棵树？由于1073＝29×37，于是每人平均种树的棵树只能是1或29或37。从而，师生总数相应的只可能是1073或37或29。又知学生的人数恰好是3的倍数，故师生总数应是被3除余1的数。在1073、37及29中，仅有37是被3除余1的数。所以，平均每人种树为29棵。3.三个数371、429、516分别除以x后所得的余数相同，则x＝？因为三个数除以x后余数相同，所以任意两个数的差都是x的倍数，即x是任意两个数的差的约数。429－371＝58516－429＝87 516－371＝145x是58的约数，也是87的约数，还是145的约数，那么，x就是58、87、145的公约数，所以，x＝29。