约数倍数 教师版

上海市2014年龙文1对1小学五年级第二讲约数倍数内容概述约数和倍数的定义：如果一个自然数能被自然数整除，那么称为的倍数，为的约数．最大公约数的定义：如果一个自然数同时是若干个自然数的约数，那么称这个自然数是这若干个自然数的公约数．在所有公约数中最大的一个公约数，称为这若干个自然数的最大公约数．例如：，．最小公倍数的定义：如果一个自然数同时是若干个自然数的倍数，那么称这个自然数是这若干个自然数的公倍数．在所有公倍数中最小的一个公倍数，称为这若干个自然数的最小公倍数．例如：，．最小公倍数1.求最小公倍数的方法：①分解质因数的方法；②短除法求最小公倍数；③．2.最小公倍数的性质：①两个数的任意公倍数都是它们最小公倍数的倍数．②两个互质的数的最小公倍数是这两个数的乘积．③两个数具有倍数关系，则它们的最大公约数是其中较小的数，最小公倍数是较大的数．最大公约数1.求最大公约数的方法：①分解质因数法：先分解质因数，然后把相同的因数连乘起来．②短除法：先找出所有共有的约数，然后相乘．③辗转相除法：每一次都用除数和余数相除，能够整除的那个余数，就是所求的最大公约数．用辗转相除法求两个数的最大公约数的步骤如下：先用小的一个数除大的一个数，得第一个余数；再用第一个余数除小的一个数，得第二个余数；又用第二个余数除第一个余数，得第三个余数；这样逐次用后一个余数去除前一个余数，直到余数是0为止．那么，最后一个除数就是所求的最大公约数．(如果最后的除数是1，那么原来的两个数是互质的)．2.最大公约数的性质：①几个数都除以它们的最大公约数，所得的几个商是互质数；②几个数的公约数，都是这几个数的最大公约数的约数；③几个数都乘以一个自然数，所得的积的最大公约数等于这几个数的最大公约数乘以． 例题分析【例1】）、、、这四个数中，哪些数含有约数？）、、、这四个数中，哪些数含有约数？）、、、这四个数中，哪些数含有约数？【分析】），，，，含有约数的有：、、；）含有约数的有：、、；）含有约数的有：、。【例2】求和的最大公约数？（用三种不同的方法）【分析】分解质因数法：，，所以（，）。短除法：，所以（，）。辗转相除法：，，，，，所以（，）。【拓展】191与7的最大公约数是多少？【分析】191与7互质，最大公约数为1。【例3】（年月第七届“中环杯”小学生思维能力训练活动四年级复赛第二（）题）从一张长毫米，宽毫米的长方形纸片上，剪下一个边长最大的正方形。如果剩下的部分不是正方形，那么在剩下的纸片上再剪下一个边长尽可能大的正方形。按照上面的过程不断的重复，最后能剪得正方形多少个？最后剪得的正方形的边长是多少毫米？请画示意图表示。【分析】按要求逐步减去最大的正方形。第次减去边长为毫米的正方形，剩余部分为长、宽分别为毫米、毫米的长方形；第次减去边长为毫米的正方形，剩余部分为长、宽分别为毫米、毫米的长方形；第次减去边长为毫米的正方形，剩余部分为长、宽分别为毫米、毫米的长方形；第次减去边长为毫米的正方形，剩余部分为边长为（）毫米的正方形；所以最后剪得的正方形的边长是毫米。如图所示为示意图。 【例1】边长为自然数，面积为的形状不同的长方形共有种。【分析】（方法一），总共有（，），（，），（，），（，），（，）、（6、35）、（10、21）、（14、15）8种长方形。（方法二）约数的个数有个约数，可以组成8个长方形。【例2】把长厘米，宽厘米的铁板裁成尽可能大的相等的正方形，而且没有剩余，可以裁成多少块？【分析】，，所以它们的最大公约数是，可以裁成（个）【例3】现在有香蕉千克，苹果千克，桔子千克，平均分给幼儿园的几个班，每班分到的这三种水果的数量分别相等，那么最多分给了多少个班？每个班至少分到了三种水果各多少千克？【分析】，，，所以它们的最大公约数是，最多分给个班级，每班分到香蕉千克、苹果千克、桔子千克。【例4】求与的最小公倍数（用两种不同的方法）。【分析】分解因式法：，，所以[，]短除法：，所以[，]【拓展】求和的最小公倍数【分析】，，所以[，]【例5】（2005小学生数学报全国邀请赛）今年祖父的年龄是小韩年龄的6倍，若干年后是他的5倍，再过若干年后是他的4倍，，那么今年祖父多少岁，小韩多少岁？【分析】祖父与小韩的年龄差是5、4、3的公倍数。 根据年龄差的实际情况可以确定，祖父与小韩的年龄差为60岁，小韩今年岁，祖父岁【拓展】动物园的饲养员给三群猴子分花生，如只分给第一群，则每只猴子可得粒；如只分给第二群，则每只猴子可得粒；如只分给第三群，则每只猴子可得粒。那么平均给三群猴子，每只可得_____粒。【分析】花生总粒数第一群猴子只数第二群猴子只数第三群猴子只数由此可知，花生总粒数是、、的公倍数，其最小公倍数是。花生总粒数是，，，，那么第一群猴子只数是，，，第二群猴子只数是，，，第三群猴子只数是，，，所以，三群猴子的总只数是，，，。因此，平均分给三群猴子，每只猴子所得花生粒数总是粒。【例1】有一个自然数，被除余，被除余，被除余，这个自然数最小是几？【分析】这个自然数减去，那么差就同时是、、的倍数，、、的最小公倍数为，所以这个自然数最小是。【拓展】有一个两位数，被除余，被除余，被除余，求这个两位数。【分析】根据题目条件仔细观察之后可发现，余数比除数少，如果将原数加之后，将能被、、同时整除．就是说原数加后是、、的公倍数．[，，]，所以这个两位数是。附加题【补充】从小明家到学校原来每隔米安装一根电线杆，加上两端的两根一共是根电线杆，现在改成每隔米安装一根电线杆，除两端的两根不用移动外，中途还有多少根不必移动？【分析】从小明家到学校的距离为（米），改动后变为一共有根电线杆。和的最小公倍数为，途中还有（根）不必移动。【补充】（2002全国小学数学奥林匹克）甲乙丙三人去图书馆借书，甲每6天去一次，乙每8天去一次，丙每9天去一次，如果3月5日他们在图书馆相遇，那么下一次都到图书馆是几月几日？【分析】，5月16日相遇。 【补充】（第二届华罗庚金杯邀请赛）在一根长木棍上，有三种刻度线：第一种刻度线将木棍分成十等分；第二种将木棍分成十二等分；第三种将木棍分成十五等分。如果沿每条刻度线将木棍锯断，木棍总共被锯成多少段？【分析】[，，]，我们将木棍长度看成个单位：木棍等分，每份长个单位；等分，每份长个单位；等分，每份长个单位。再排除重复的情况，即可求出木棍总共被锯成多少段。[，]，[，]，[，]，[，，]，，，所以可以锯成（段）。【补充】（年第七届“小机灵杯”数学竞赛四年级决赛）有一个长方形棋盘，每小小方格的边长都是，长有格、宽有格（如图），纵横线交叉的点称为格点。连接、两点的线段共经过个格点。（包括、两点）。【分析】因为、的最大公约数为，，所以从左到右，每隔出现一个格点，总共有格点（个）。【补充】（年第二届两岸四地“华罗庚金杯”少年数学精英邀请赛笔试二）马拉松赛跑的路线上，等距离设置了若干个饮水站和等距离设置了个医疗站，起点和终点都设有饮水站和医疗站，且起点和终点不同。若每个站安排一个值班员，两站重合的也只安排一个值班员，那么一共要安排个值班员，且在途中确有医疗站与饮水站重合，也有医疗站不与饮水站重合，那么最多有多少个饮水站？【分析】将这条马拉松路线长度看为，那么设置医疗站的地点除了起点和终点还有、、、、这处。假设这条赛跑的路线上等距离设置了（）个饮水站，那么设置饮水站的地点除了起点和终点还有、、、、，这（）处，因为饮水站与医疗站有重合，所以与有大于的公约数。当这个公约数为时，重合地点除了起点与终点，还有和处，一共要安排个值班员，所以， ，满足题意；当这个公约数为时，重合地点除了起点与终点还有、、、处，所以，，满足题意；当这个公约数为的时候，所有的医疗站点都设有饮水站，不满足题意。综上所述，最多设有个饮水站。【补充】两个自然数的最大公约数是，最小公倍数是。这样的自然数一共有组；【分析】设这两个数是、，且（，）。那么，可得。，或，或，或，，共四组。练习【练习1】请用辗转相除法求与的最大公约数。【分析】，，，，所以与的最大公约数是。【练习2】请用短除法求与的最小公倍数。【分析】短除法：，所以[，]。【练习3】有一盘水果，个个地数余个，个个数余个，个个数余个，问这个盘子里最少有多少个水果？【分析】如果多一个水果，那么这盘水果就同时是、、的倍数，、、的最小公倍数为所以这个盘子里最少有水果：（个）【练习4】一块长方形的纸，长厘米，宽厘米，要把这张纸裁成面积相等的小正方形，而纸无剩余，且使边长最长，问可裁成几张？【分析】要使这些面积相等的小正方形纸的边长最长，就是要求与的最大公约数。（，），即可裁成张。【练习5】有三根铁丝，一根长米，一根长米，一根长米，要把它们截成同样长的小段，不许剩余，每段最长是多少米？【分析】，，，所以它们的最大公约数是，即每段最长是（米）。【练习6】一个公共汽车站，发出五路车，这五路车分别为每隔、、、、分钟发一次，第一次同时发车以后，_____分钟后又同时发第二次车。【分析】、、、、的最小公倍数是，所以分钟后又同时发第二次车。