最大公约数和最小公倍数资料

最大公约数和最小公倍数知识对对碰1.基本知识(1)约数与最大公约数几个数公有的约数，叫做这几个数的公约数，所有的公约数中最大的一个叫做这几个数的最大公约数。自然数a，b的最大公约数记作(a，b)，例如(12，8)=4，(4，6，10)=2。如果(a，b)=l，则a与b互质。如果a是b的倍数，则（a，b）=b。自然数a能被自然数b整除，则称a是b的倍数，b是a的约数。(2)倍数与最小公倍数几个自然数公有的倍数，叫做这几个数的公倍数。公倍数中最小的一个叫做这几个数的最小公倍数。一般用符号[a，b]表示a，b的最小公倍数，例如：[4，10]=20。(3)求解方法①求最大公约数常用的方法：短除法，列举法，分解质因数法，辗转相除法。②求最小公倍数常用的方法：短除法，分解质因数法，列举法，最大公约数法。2.性质(1)两个数的最大公约数的约数，都是这两个数的公约数。如果（a，b）=d，c|d，那么c|a，c|b。(2)两个数分别除以它们的最大公约数，所得的商一定是互质的。如果(a，b)=d，那么（a÷d，b÷d）=1。(3)若一个数c能同时被两个自然数a，b整除，那么c一定能被这两个数的最小公倍数整除。或者说，一些数的公倍数一定是这些数的最小公倍数的倍数。(4)两个自然数的最大公约数与最小公倍数的乘积等于这两个数的乘积。例1(★)已知两个数分别是4和B，已知4=2×2×3×5．B=2×3×3×5，求A，B的最大公约数。 例2(★)一箱图书可以平均分给2，3，4，5，6名小朋友，这箱图书最少有多少本？例3(★)三个人绕环行跑道练习骑自行车，他们骑一圈的时间分别是半分钟，45秒钟和1分15秒钟，三人同时从起点出发，最少需要多长时间才能再次同时在起点相会？例4(★)在1500-8000之间能同时被12，18，24和42四个数整除的自然数共有多少个？例5(★)将一块长3.57米，宽1.05米，高0.84米的长方体木料，锯成同样大小的正方体小木块，问当正方体的边长是多少时，用料最省且小木块的体积最大？（不计锯时的损耗，锯完后木料不许有剩余）例6(★)加工某种机器零件，要经过三道工序。第一道工序每个工人每小时可完成6个零件，第二道工序每个工人每小时可完成10个零件，第三道工序每个工人每小时可完成15个零件，要使加工生产均衡，试设计三道工序工人人数的分配方案。例7(★★)有3根钢管，其中第一根的长度是第二根的1.6倍，是第三根的 一半，第三根比第二根长220厘米。现在把这三根钢管截成尽可能长而又相等的小段，问共可以截成多少段。例8(★★)四(1)班学生分组做游戏，如果每3人一组就多出1人，如果每4人一组就多出2人，如果每5人一组就多出3人。问：这个班至少有多少个学生？例9(★★)一支队伍不超过1000人，列队时分别按2人、3人、4人、5人、6人一排，最后一排都缺1人，改为7人一排时正好。问：这支队伍共有多少人？例10(★★)用自然数a去除374，410，464，得到相同的余数。a最大是多少？例11(★★★)两个自然数的差是27，它们的最大公约数与最小公倍数的和是1179。那么这两个数的和是_________。魔法训练营 1．A、B两个数都恰恰只含有质因数3和5，它们的最大公约数是75，已知A有12个约数，B有10个约数，那么A、B两数的和等于多少？2．有12分米长的铁丝12根，18分米长的铁丝9根，24分米长的铁丝10根。现在要把它们截成一样长的铁丝，不能浪费，截下的铁丝要最长，铁丝长是多少分米？可以截成多少根？3．有铅笔433支、橡皮260块，平均分配给若干小学生。学生人数在30～50之间，分到最后余铅笔13支、橡皮8块，问小学生究竟有多少人。4．把一张长147厘米、宽105厘米的长方形纸截成大小一样且长与宽之比是5:3的长方形纸，且没有剩余，问最少可截成几张。5．现有252个红球，396个蓝球，498个黄球。把它们分组装在n个袋子里，要求每个袋子里都有红、黄、蓝三种颜色的球，而且每个袋子里的红球数相同，黄球数相同，蓝球数也相同。求n最大是几。6．一箱鸡蛋，两个两个数、三个三个数、四个四个数、五个五个数、六个六个数均多出一个，如果七个七个数正好数尽，问这箱鸡蛋至少有多少个。 7．六年级学生参加植树活动，人数在30和50之间。如果分成3人一组、4人一组、6人一组或8人一组，都恰好分完。六年级参加植树活动的学生有多少人？8．用长9厘米、宽6厘米、高7厘米的长方体木块叠成一个正方体，至少需要这种长方体木块多少块？9．某班学生参加一次考试，成绩分为优、良、中、下四等。已知该班有的学生得优，有的学生得良，有的学生得中，其余学生得下。该班学生人数不超过60人，该班得下的学生有多少人？10.从甲地到乙地原来每隔45米安装一根电线杆，加上两端的共53根。现在改为每隔60米安装一根，除两端的两根不必移动外，中间还有多少根不必移动？11.甲校和乙校有同样多的同学参加数学竞赛，学校用汽车把学生送往考场。甲校用的汽车，每车坐15人；乙校用的汽车，每车坐13人，结果甲校比乙校少派一 辆汽车。后来每校各增加一个人参加竞赛，这样两校需要的汽车就一样多了。最后又决定每校再各增加一个人参加竞赛，乙校又要比甲校多派一辆汽车。问最后两校共有多少人参加竞赛。12.有一个电子钟，每走9分钟亮一次灯，每到整时响一次铃，中午12时整，电子钟既响铃又亮灯，问：下一次既响铃又亮灯是几时？13.大雪后的一天，小飞和爷爷共同步测一个圆形花圃的周长，他俩的起点和走的方向完全相同，小飞每步长48厘米，爷爷每步长72厘米，由于两人脚印有重合，所以各走完一圈后雪地上只留下40个脚印，求花圃的周长。14.有两个油桶，一个容积为27升，另一个容积为15升，只利用这两个油桶怎样从一个大油桶中倒出6升油来？