最大公约数和最小公倍数练习题

最大公约数和最小公倍数练习题一.填空题。1.都是自然数，如果，的最大公约数是（），最小公倍数是（）。2.甲，乙，甲和乙的最大公约数是（）×（）＝（），甲和乙的最小公倍数是（）×（）×（）×（）＝（）。3.所有自然数的公约数为（）。4.如果m和n是互质数，那么它们的最大公约数是（），最小公倍数是（）。5.在4、9、10和16这四个数中，（）和（）是互质数，（）和（）是互质数，（）和（）是互质数。6.用一个数去除15和30，正好都能整除，这个数最大是（）。*7.两个连续自然数的和是21，这两个数的最大公约数是（），最小公倍数是（）。*8.两个相邻奇数的和是16，它们的最大公约数是（），最小公倍数是（）。**9.某数除以3、5、7时都余1，这个数最小是（）。10.根据下面的要求写出互质的两个数。（1）两个质数（）和（）。（2）连续两个自然数（）和（）。（3）1和任何自然数（）和（）。（4）两个合数（）和（）。（5）奇数和奇数（）和（）。（6）奇数和偶数（）和（）。二.判断题。1.互质的两个数必定都是质数。（）2.两个不同的奇数一定是互质数。（）3.最小的质数是所有偶数的最大公约数。（）4.有公约数1的两个数，一定是互质数。（）5.a是质数，b也是质数，，一定是质数。（）三.直接说出每组数的最大公约数和最小公倍数。26和13（）13和6（）4和6（）5和9（）29和87（）30和15（）13、26和52（）2、3和7（）四.求下面每组数的最大公约数和最小公倍数。（三个数的只求最小公倍数）-13- 45和6036和6027和7276和8042、105和5624、36和48**五.动脑筋，想一想：学校买来40支圆珠笔和50本练习本，平均奖给四年级三好学生，结果圆珠笔多4支，练习本多2本，四年级有多少名三好学生，他们各得到什么奖品？-13- 试题答案一.填空题。1.都是自然数，如果，的最大公约数是（），最小公倍数是（）。2.甲，乙，甲和乙的最大公约数是（2）×（3）＝（6），甲和乙的最小公倍数是（2）×（3）×（5）×（7）＝（210）。3.所有自然数的公约数为（1）。4.如果m和n是互质数，那么它们的最大公约数是（1），最小公倍数是（mn）。5.在4、9、10和16这四个数中，（4）和（9）是互质数，（9）和（10）是互质数，（9）和（16）是互质数。6.用一个数去除15和30，正好都能整除，这个数最大是（15）。*7.两个连续自然数的和是21，这两个数的最大公约数是（1），最小公倍数是（110）。*8.两个相邻奇数的和是16，它们的最大公约数是（1），最小公倍数是（63）。**9.某数除以3、5、7时都余1，这个数最小是（106）。10.根据下面的要求写出互质的两个数。（1）两个质数（2）和（3）。（2）连续两个自然数（4）和（5）。（3）1和任何自然数（1）和（9）。（4）两个合数（9）和（16）。（5）奇数和奇数（15）和（7）。（6）奇数和偶数（7）和（4）。二.判断题。1.互质的两个数必定都是质数。（×）2.两个不同的奇数一定是互质数。（×）3.最小的质数是所有偶数的最大公约数。（√）4.有公约数1的两个数，一定是互质数。（×）5.a是质数，b也是质数，，一定是质数。（×）三.直接说出每组数的最大公约数和最小公倍数。26和13（13、26）13和6（1、78）4和6（2、12）5和9（1、45）29和87（29、87）30和15（15、30）13、26和52（13、52）2、3和7（1，42）四.求下面每组数的最大公约数和最小公倍数。（三个数的只求最小公倍数）45和60最大公约数15，最小公倍数180。-13- 36和60最大公约数是12，最小公倍数180。27和72最大公约数是9，最小公倍数216。76和80最大公约数是4，最小公倍数1520。42、105和56最小公倍数是840。24、36和48最小公倍数是144。**五.动脑筋，想一想：学校买来40支圆珠笔和50本练习本，平均奖给四年级三好学生，结果圆珠笔多4支，练习本多2本，四年级有多少名三好学生，他们各得到什么奖品？你是这样思考吗？（1）圆珠笔多4支，也就是圆珠笔用了（支）（2）练习本多2本，也就是练习本用了（本）（3）36和48的公约数是2，3，4，6，12。因为，2不满足条件，3不满足条件，4不满足条件，6满足条件，12满足条件所以，四年级的三好学生人数是6人或12人。（4）当三好学生人数为6人时，他们每人6支圆珠笔，8本练习本；当三好学生人数为12人时，他们每人3支圆珠笔，4本练习本。-13- 快速求最小公倍数的四种方法江苏省海门市通源小学五（4）班张羿王春雷邮编：226100我们在求最小公倍数时一般用短除法来求的，其实在很多情况下，求两个数的最小公倍数可以用口算直接求出。下面就给大家介绍四种。一、两数相乘法。如果两个数是互质数。那么它们的最小公倍数就是这两个数的乘积。例如：4和7的最小公倍数就是4×7=28。二、找大数法。如果两个数有倍数关系。那么较大的数就是这两个数的最小公倍数。例如：3和15的最小公倍数就是较大数15。三、扩大法如果两数不是互质，也没有倍数关系时，可以把较大数依次扩大2倍、3倍、……看扩大到哪个数时最先成为较小数的倍数时，这个数就是这两个数的最小公倍数。例如：18和30的最小公倍数，就是把30扩大2倍得60，60不是18的倍数；再把30扩大3倍得90，90是18的倍数，那么90就是18和30的最小公倍数。四、两数的乘积再除以两数的最大公约数法。这个方法虽然比较复杂，但是使用范围很广。因为两个数的乘积等于这两个数的最大公约数和最小公倍数的乘积。例如：4和6的最大公约数是2，最小公倍数是12，那么，4×6=2×12。为了便于口算，我们可以把两个数中的任意一个数先除以它们的最大公约数，然后再和另一个数相乘。例如：18和30的最大公约数是6，要求18和30的最小公倍数时，可以先用18除以6得3，再用3和30相乘得90；或者先用30除以6得5，再用5和18相乘得90。这90就是18和30的最小公倍数。（指导老师：施伟）第三讲最大公约数和最小公倍数一、基本概念和知识-13-   1.公约数和最大公约数  几个数公有的约数，叫做这几个数的公约数；其中最大的一个，叫做这几个数的最大公约数。  例如：12的约数有：1，2，3，4，6，12；  18的约数有：1，2，3，6，9，18。  12和18的公约数有：1，2，3，6.其中6是12和18的最大公约数，记作（12，18）=6。  2.公倍数和最小公倍数  几个数公有的倍数，叫做这几个数的公倍数；其中最小的一个，叫做这几个数的最小公倍数。  例如：12的倍数有：12，24，36，48，60，72，84，…  18的倍数有：18，36，54，72，90，…  12和18的公倍数有：36，72，….其中36是12和18的最小公倍数，记作[12，18]=36。  3.互质数  如果两个数的最大公约数是1，那么这两个数叫做互质数。二、例题例1用一个数去除30、60、75，都能整除，这个数最大是多少？分析∵要求的数去除30、60、75都能整除，  ∴要求的数是30、60、75的公约数。  又∵要求符合条件的最大的数，  ∴就是求30、60、75的最大公约数。-13-   解：∵  （30，60，75）=5×3=15  这个数最大是15。例2一个数用3、4、5除都能整除，这个数最小是多少？分析由题意可知，要求的数是3、4、5的公倍数，且是最小的公倍数。  解：∵［3，4，5］=3×4×5=60，  ∴用3、4、5除都能整除的最小的数是60。例3有三根铁丝，长度分别是120厘米、180厘米和300厘米.现在要把它们截成相等的小段，每根都不能有剩余，每小段最长多少厘米？一共可以截成多少段？分析∵要截成相等的小段，且无剩余，  ∴每段长度必是120、180和300的公约数。    又∵每段要尽可能长，  ∴要求的每段长度就是120、180和300的最大公约数.  （120，180，300）=30×2=60  ∴每小段最长60厘米。  120÷60+180÷60+300÷60  =2＋3＋5=10（段）-13-   答：每段最长60厘米，一共可以截成10段。例4加工某种机器零件，要经过三道工序.第一道工序每个工人每小时可完成3个零件，第二道工序每个工人每小时可完成10个，第三道工序每个工人每小时可完成5个，要使加工生产均衡，三道工序至少各分配几个工人？分析要使加工生产均衡，各道工序生产的零件总数应是3、10和5的公倍数.要求三道工序“至少”要多少工人，要先求3、10和5的最小公倍数。    ［3，10，5］=5×3×2=30  ∴各道工序均应加130个零件。  30÷3=10（人）  30÷10=3（人）  30÷5=6（人）  答：第一道工序至少要分配10人，第二道工序至少要分配3人，第三道工序至少要分配6人。例5一次会餐供有三种饮料.餐后统计，三种饮料共用了65瓶；平均每2个人饮用一瓶A饮料，每3人饮用一瓶B饮料，每4人饮用一瓶C饮料.问参加会餐的人数是多少人？分析由题意可知，参加会餐人数应是2、3、4的公倍数。  解：∵[2，3，4]=12  ∴参加会餐人数应是12的倍数。  又∵12÷2+12÷3+12÷4  =6+4+3=13（瓶），-13-   ∴可见12个人要用6瓶A饮料，4瓶B饮料，3瓶C饮料，共用13瓶饮料。  又∵65÷13=5，  ∴参加会餐的总人数应是12的5倍，  12×5=60（人）。  答：参加会餐的总人数是60人。例6一张长方形纸，长2703厘米，宽1113厘米.要把它截成若干个同样大小的正方形，纸张不能有剩余且正方形的边长要尽可能大.问：这样的正方形的边长是多少厘米？分析由题意可知，正方形的边长即是2703和1113的最大公约数.在学校，我们已经学过用短除法求两个数的最大公约数，但有时会遇到类似此题情况，两个数除了1以外的公约数一下不好找到.但又不能轻易断定它们是互质数.怎么办？在此，我们以例6为例介绍另一种求最大公约数的方法。  对于例6，可做如下图解：  从图中可知：在长2703厘米、宽1113厘米的长方形纸的一端，依次裁去以宽（1113厘米）为边长的正方形2个.在裁后剩下的长1113厘米，宽477厘米的长方形中，再裁去以宽（477厘米）为边长的正方形2个.然后又在裁剩下的长方形（长477厘米，宽159厘米）中，以159厘米为边长裁正方形，恰好裁成3个，且无剩余.因此可知，159厘米是477厘米、1113厘米和2703厘米的约数.所以裁成同样大的，且边长尽可能长的正方形的边长应是159厘米.所以，159厘米是2703和1113的最大公约数。  让我们把图解过程转化为计算过程，即：-13-   2703÷1113，商2余477；  1113÷477，商2余159；  477÷159，商3余0。  或者写为  2703=2×1113+477，  1113=2×477+159，  477=3×159。  当余数为0时，最后一个算式中的除数159就是原来两个数2703和1113的最大公约数.  可见，477=159×3，  1113=159×3×2+159=159×7，  2703=159×7×2+477  =159×7×2+159×3=159×17。  又∵7和17是互质数，  ∴159是2703和1113的最大公约数。  我们把这种求最大公约数的方法叫做辗转相除法.辗转相除法的优点在于它能在较短的时间内求出任意两个数的最大公约数。例7用辗转相除法求4811和1981的最大公约数。  解：∵4811=2×1981+849，  1981=2×849+283，  849=3×283，-13-   ∴（4811，1981）=283。  补充说明：如果要求三个或更多的数的最大公约数，可以先求其中任意两个数的最大公约数，再求这个公约数与另外一个数的最大公约数，这样求下去，直至求得最后结果.也可以直接观察，依次试公有的质因数。例8求1008、1260、882和1134四个数的最大公约数是多少？  解：∵（1260，1008）=252，  （882，1134）=126，  又（252，126）=126，  ∴（1008，1260，882，1134）=126。  求两个数的最小公倍数，除了用短除法外，是否也有其他方法呢？请看例9.例9两个数的最大公约数是4，最小公倍数是252，其中一个数是28，另一个数是多少？    ∴x=4×y28=4×7  ∴28x=4×y×4×7  又∵4是x和28的最大公约数，（y，7）=1，  ∴4×y×7是x和28的最小公倍数。  ∴x×28=4×252  ∴x=4×252÷28=36  ∴要求的数是36。-13-   通过例9的解答过程，不难发现：如果用a和b表示两个自然数，那么这两个自然数的最大公约数与最小公倍数关系是：  （a，b）×[a，b]=a×b。  这样，求两个数的最小公倍数的问题，即可转化成先求两个数的最大公约数，再用最大公约数除两个数的积，其结果就是这两个数的最小公倍数。例10求21672和11352的最小公倍数。  解：∵（21672，11352）=1032  （1032可以用辗转相除法求得）  ∴[21672，11352]=21672×11352÷1032  =238392。  答：21672和11352的最小公倍数是238392.习题三  1.甲数是乙数的三分之一，甲数和乙数的最小公倍数是54，甲数是多少？乙数是多少？  2.一块长方形地面，长120米，宽60米，要在它的四周和四角种树，每两棵之间的距离相等，最少要种树苗多少棵？每相邻两棵之间的距离是多少米？  3.已知两个自然数的积是5766，它们的最大公约数是31.求这两个自然数。  4.兄弟三人在外工作，大哥6天回家一次，二哥8天回家一次，小弟12天回家一次.兄弟三人同时在十月一日回家，下一次三人再见面是哪一天？  5.将长25分米，宽20分米，高15分米的长方体木块锯成完全一样的尽可能大的立方体，不能有剩余，每个立方体的体积是多少？一共可锯多少块？  6.一箱地雷，每个地雷的重量相同，且都是超过1的整千克数，去掉箱子后地雷净重201千克，拿出若干个地雷后，净重183千克.求一个地雷的重量？-13- -13-