公约数与公倍数问题

知识框架数学运算问题一共分为十四个模块，其中一块是计算问题。公约数与公倍数问题是计算问题中数的性质里面的一种。在公务员的考试中，公约数与公倍数问题考查点只有两种类型。无论生活场景如何改变，同学只要牢牢把握这两种类型，就能轻松搞定公约数与公倍数问题。核心点拨1.题型简介（1）约数与倍数             若数a能被b整除，则称数a为数b的倍数，数b为数a的约数。其中，一个数的最小约数是1，最大约数是它本身。（2）公约数与最大公约数几个自然数公有的约数，叫做这几个自然数的公约数。公约数中最大的一个，称为这几个自然数的最大公约数。（3）公倍数与最大公倍数几个自然数公有的倍数，叫做这几个自然数的公倍数。 公倍数中最小的一个，称为这几个自然数的最小公倍数。考试题型一般是已知两个数，求它们的最大公约数或最小公倍数。2.核心知识（1）两个数最大公约数和最小公倍数一般采用短除法，即用共同的质因数连续去除，直到所得的商互质为止。A、把共同的质因数连乘起来，就是这两个数的最大公约数。B、把共同的质因数和各自独有的质因数连乘起来，就是这两个数的最小公倍数。如：求24、36的最大公约数与最小公倍数。                  24、36的最大公约数为其共同质因数的乘积，即2×2×3=12；24、36的最小公倍数为其共同质因数及独有质因数的乘积，即(2×2×3)×(2×3)=72。（2）三个数最大公约数和最小公倍数A、求取三个数的最大公约数时，短除至三个数没有共同的因数（除1外），然后把所有共同的质因数连乘起来。B、求取三个数的最小公倍数时，短除到三个数两两互质，然后把共同的质因数和各自独有的质因数连乘起来。如：求24、36、90的最大公约数和最小公倍数。                   3.核心知识使用详解（1）两个数如果存在着倍数关系，那么较小的数就是其最大公约数，较大的数就是其最小公倍数。   （2）互质的两个数的最大公约数是1，最小公倍数是它们的乘积。（3）利用短除法求取三个数的最大公约数和最小公倍数时要注意二者的区别：求取三个数的最大公约数时，只需短除到三个数没有共同的因数（除l外）即可；而求取三个数的最小公倍数时，需要短除到三个数两两互质为止。（4）多于三个数的最大公约数与最小公倍数的求法与三个数的求法相似。夯实基础解法九成熟，题目精挑细选，考试中60%的基础题，基本搞定！ 1.两个数的最大公约数和最小公倍数例1：(2005．福建)48与108的最大公约数是：  A.6B.8C.24D.12【答案】D【解析】[题钥]“48与108的最大公约数”，两者没有倍数关系，可以选用短除法来求最大公约数。[解析]短除法：4和9除1以外没有共同的因数；最大公约数：把共同的质因数连乘起来，就是这两个数的最大公约数，故48和108的最大公约数为：2×2×3=12。因此，选D。2.三个数的最大公约数和最小公倍数例2：三根铁丝，长度分别是120厘米，180厘米，300厘米，现在要把它们截成相等的小段，每段都不能有剩余，那么最少可截成多少段？  A.8B.9C.10D.11【答案】C【解析】[题钥]这道例题中隐含了最大公约数的关系。“截成相等的小段”，即为求三数的公约数，“最少可截成多少段”，即为求最大公约数。[解析]短除法：                    2、3、5除以1以外没有共同的因数；最大公约数：把共同的质因数连乘起来，就是这三个数的最大公约数，故120、180和300的最大公约数为：2×2×3×5=60。所以每小段的长度最大是60厘米，一共可截成120÷60+180÷60+300÷60=10段。因此，选C。进阶训练解法九成熟，剩下35%的中等题也能搞定，考试成功更进一步！1.两个数的最大公约数和最小公倍数例3：（2007．江西）能被15和12整除的最小正整数是：  A.60B.120C.180D.30【答案】A【解析】[题钥]“能被15和12整除的最小正整数”即为15和12的最小公倍数，采用短除法来求最小公倍数[解析]短除法：5和4除1以外没有共同的因数；最小公倍数： 把共同的质因数和各自独有的质因数连乘起来，就是这两个数的最小公倍数，所以15和12的最小公倍数为：3×5×4=60。因此，选A。2.三个数的最大公约数和最小公倍数例4：6枚1分硬币叠在一起与5枚2分硬币一样高，6枚2分硬币叠在一起与5枚5分硬币一样高，如果用1分、2分、5分硬币分别叠成的三个圆柱体一样高，这些硬币的币值为4元4角2分，那么这三种硬币总共有多少枚？A.180B.181C.182D.183【答案】C【解析】[题钥]此题解题的关键点是要确定多少枚1分、2分或5分的硬币叠成的圆柱体高度相同。[解析] 根据“6枚1分硬币叠在一起与5枚2分硬币一样高，6枚2分硬币叠在一起与5枚5分硬币一样高”，其中6、5、5的最小公倍数为30，则：36枚1分硬币、30枚2分硬币、25枚5分硬币叠成的圆柱体一样高；此时这些硬币的币值之和为221分，恰好为2元2角1分，是4元4角2分的一半，故4元4角2分由72枚1分硬币、60枚2分硬币和50枚5分硬币组成，即共有硬币72+60+50=182枚。因此，选C。例5.(2008.国考)甲、乙、丙、丁四个人去图书馆借书，甲每隔5天去一次，乙每隔11天去一次，丙每隔17天去一次，丁每隔29天去一次。如果5月18日他们四个人在图书馆相遇，问下一次四个人在图书馆相遇是几月几号？A.10月18日B.10月14日C.11月18日D.11月14日【答案】D【解析】[题钥]每隔n天去一次即每（n+1）天去一次，该题转化为求6、12、18、30这四个数的最小公倍数问题。[解析]每隔n天去一次即每(n+1)天去一次，那么： 甲每5+1=6天去一次图书馆，乙每11+1=12天去一次图书馆，丙每17+1=18天去一次图书馆，丁每29+1=30天去一次图书馆；要求下次相遇，也就是求6、12、18、30这四个数的最小公倍数，根据短除法，求出该值为180，即再过180天，四个人才能够再次在图书馆相遇，此时为11月14日。因此，选D。