奥数 公约数与公倍数教案

奥数公约数和公倍数知识要点：1、几个数公有的约数，叫做这几个数的公约数。其中最大的一个叫做这几个数的最大公约数。2、几个数公有的倍数，叫做这几个数的公倍数。其中最小的一个叫做这几个数的最小公倍数。3、求最大公约数和最小公倍数的方法：（1）枚举法；（2）分解质因数法（3）短除法。4、最大公约数和最小公倍数的关系：两个数的最大公约数和最小公倍数的乘积等于这两个数的乘积。典例巧解例1、有三根木棒，长度分别是1.5米、2.4米、1.8米，王师傅想把它们截成长度相等的小段。为了最大限度地利用材料，每小段最长是多少分米？一共可以截成多少段？例2、把一块长357厘米、宽105厘米、高84厘米的长方体木料，锯成同样大小的正方体木料，锯后不许有剩余。正方体的棱长是多少时，用料最省且小木块的体积总和最大？例3、有一批作业本，无论是平均分给10人、12人还是15人，都剩余4本，这批作业本至少有多少本？例4、甲、乙、丙三人环绕操场步行一周，甲要3分钟，乙要4分钟，丙要6分钟。三人同时同地同向出发环绕操场走，当他们三人第一次相遇时，他们三人分别走了多少圈？ 例5、狐狸和兔子进行跳跃比赛，狐狸每次跳4米，兔子每次跳2米，它们每秒钟都跳一次，从起点开始，每隔12米设有一个陷阱。当它们其中一个掉进陷阱时，另一个跳了多少米？例6、小胡和小涂计算甲、乙两个两位数的乘积，小胡看错了甲数的个位数字，计算结果为1274；小涂看错了甲数的十位数字，计算结果为819.甲数是多少？例7、A、B两个数都含有质因数3和5，它们的最大公约数是75。已知A有12个约数，B有10个约数，那么A、B两数的和是多少？例8、两个数的最大公约数是6，最小公倍数是144。有几组这样的数？这两个数各是多少？例9、有一个三位数，如果这个数加上4，就能被4整除；如果这个数减去5，就能被5整除；如果这个数乘以6，就能被6整除；如果这个数除以7，就能被7整除。这个数最小是多少？例10、两个不同自然数的和是60，它们的最大公约数与最小公倍数的和也是60，这样的自然数共有多少组？ 竞赛能级训练A级1、若a＝b－1(a,b都是自然数，且a≠0)，则a和b的最大公约数是（），最小公倍数是（）。2、用96朵红花和72朵白花扎成花束，如果每个花束里红花的朵数相同，白花的朵数也相同，那么每个花束至少有（）朵花。3、把一张长120cm，宽80cm的长方形纸片剪成正方形，不允许有剩余，至少能栽（）张。4、一次数学竞赛的结果：学生中获优，获得良，获得中，其余获得下。已知参赛的学生不满50人，则获得下的有（）人。5、一个三位数，减去7，则能被7整除；减去8，则能被8整除；减去9，则能被9整除。这个三位数是（）。6、学生在操场上列队，只知道人数在90~110之间，排列成3列正好，排列成5列不足2人，排列成7列不足4人，那么共有学生（）人。7、筐里有若干个苹果，每次取3个余1个，每次取5个余3个，每次取7个余5个。筐里最少有（）个苹果。8、插一排彩旗共26面，原来每两面之间的距离是6米，现在改为10米。如果起点的一面不移动，还有（）面不移动。9、学生上体育课，排成3行少1人，排成4行多3人，排成5行少1人，排成6行多5人，那么至少有（）学生。10、从运动场一端到另一端全长96米，从一端起到另一端每隔4米插一面小红旗。现在改为每隔6米插一面，有（）面可以不必拔出。11、有一堆梨，2个2个分，多1个；3个3个分，多2个；5个5个分，多4个。那么这堆梨至少有（）个。12、三个不同的质数的最小公倍数是483，这三个数分别是（）、（）和（）。 13、有36支笔和40本练习本平均奖给几个学生，结果多出1支笔，缺了2本练习本。那么共有（）个学生。14、仓库里成箱装着的洗衣粉共2010袋，每箱洗衣粉的袋数相同，拿出几箱后还剩1830袋，则每箱最多有（）袋洗衣粉。15、有一堆巧克力，两块一数多一块，三块一数多两块，五块一数多四块，七块一数多六块。这堆糖至少有（）块。16、有一个数，加上8之后才能被3,6,9整除，那么这个数最小是（）。17、两个数的最大公约数是21，这两个数的和是105这两个数分别是（）。18、小红在操场周围种树，开始时每隔3米种一棵，种到9棵后，发现树苗不够，于是决定重种，改为4米种一棵。重种树时，不必拔掉的树有（）棵。19、有一个三位数，如果这个数加上4，就能被4整除；如果这个数减去5，就能被5整除；如果这个数乘以6，就能被6整除；如果这个数除以7，就能被7整除。这个数最小是（）。20、六年级某班进行队列表演，若3人一行最后余1人，7人一行最后余3人，11人一行最后余5人。这个班最少有（）人。21、有一篮鸡蛋，如果每次取出3个，最后剩1个；如果每次取出5个或7个，最后剩下4个。篮子里的鸡蛋至少有（）个。22、俱乐部有五个活动小组，文学小组每隔1天活动一次，计算机小组每隔2天活动一次，外语小组每隔3天活动一次，财会小组每隔4天活动一次，文艺小组每隔5天活动一次。4月1号晚上五个小组同时在俱乐部活动，以后则按照上述规则进行，从不间断。问第二季度除4月1号外，还有（）天晚上五个小组同时活动。第二季度中有（）个晚上没有一个小组有活动。23、有一筐鸡蛋，当2个2个取、3个3个取、4个4个取、5个5个取出时，筐内还剩1个鸡蛋；当7个7个取出时，一个也没剩。已知筐内的鸡蛋不足400个，那么筐内有（）个鸡蛋。24、有一堆铅笔，3支3支地数余1支，4支4支地数余1支，5支5支地数少4支，6支6支地数少5支。这堆铅笔最少有（）支。25、五年级的两个班去野炊，吃饭时，他们2人一个饭碗，3人一个汤碗，4人一个菜碗，他们共用了91个碗。这两个班参加野炊的共有（）人。 26、两个自然数相差3，它们的最大公约数和最小公倍数的乘积是180，那么这两个自然数的和是（）。27、在1000~2000之间能同时被6,8,10这三个数整除的自然数共（）个。B级1、父子两人在雪地上散步，父亲在前，每步80cm,儿子在后，每步60cm，其中有些脚印与父亲的脚印重合。在120m内一共留下（）个脚印。2、有这样的自然数：它加上1是2的倍数，加上2是3的倍数，加上,3是4的倍数，加上4是5的倍数，加上5是6的倍数，加上6是7的倍数。除1以外，这样的自然数最小的是（）。3、甲、乙、丙三名滑冰运动员在一起训练，已知甲滑1圈时，乙可以滑圈，丙可以滑圈。若甲、乙、丙同时由同一地点出发，甲滑（）圈后三人再次相遇。4、某班买来单价为0.5元的练习本若干，如果将这些练习本只给女生，平均每个人可得15本；如果将这些练习本只给男生，平均每人可得10本。那么将这些练习本平均分给全班同学，每人应付（）元。5、教师节那天，某校工会买了320个苹果、240个橘子、200个鸭梨，用来安慰退休的教职工。问这些果品最多可以分成（）份同样的礼物（每份礼物中苹果、橘子、鸭梨的个数彼此都相同）。在每份礼物中苹果、橘子、鸭梨各（）个。6、一组五个连续自然数的和能被2,3,4,5,6,整除，求满足此条件的最小一组数是（）。7、四个连续奇数的最小公倍数是19305，这四个数中最大的一个是（）。8、两个数的积是5766，它们的最大公约数是31，这两个数是（）。9、7个不同的三位数的最大公约数中，最大的是（）。10、甲、乙两数的最小公倍数除以它们的最大公约数，商是12。如果甲、乙两数相差18，那么这两个数是（）。 11、有四个自然数的和是1111，如果要求这四个自然数的公约数尽量大，那么这四个数的公约数最大可能是（）。12、已知﹙a,b)＝12,[a,c]＝300,[b,c]＝300,满足要求的a,b,c数组共有（）组。（12,300,300和300,300,12算两组）13、在一根长木棍上，有三种刻度线，第一种刻度线把木棍分成10等份，第二种刻度线把木棍分成12等份，第三种刻度线把木棍分成15等份.如果沿着每条刻度线把木棍锯断，木棍总共被锯成（）段。14、把1~1999这1999个数分成n个小组，使每个数都至少在一个小组中，且第一小组中没有2的倍数，第二小组中没有3的倍数，第三小组中没有4的倍数，……第n小组中没有n+1的倍数，那么n至少是（）。能力测试一、填空题1、用84朵红花和49朵白花扎成花束，如果每个花束里红花的朵数相同，白花的朵数也相同，那么每个花束至少有（）朵花。2、被10除余2，被11除余3，被12除余4，被13除余5的最小自然数是（）。3、某年级的学生人数在200~300之间，若3人一组余1人，若5人一组余2人，若7人一组余3人，该年级有（）。4、从0~9这10个数字中选出5个不同的数字组成一个五位数，使它能被3,5,7,13整除，这个数最大是（）。5、一个数被2除余1，被3除余2，被4除余3……被10除余9.这个数最小是（）。6、在一次聚会中，每2个人用一个饭碗，每3个人用一个菜碗，每4个人用一个汤碗。这次聚会共用了65个碗，参加聚会的有（）人。7、有一包奶糖，无论平均分给6个小朋友、8个小朋友，还是10个小朋友，都余1块。这包奶糖至少有（）块。8、甲、乙两个数的最大公约数是8，最小公倍数是560，其中一个数是80，另一个数是（）。 9、某班参加植树活动，学生人数在40至50之间，如果6人一组，那么有一组多4人；如果8人一组，那么有一组少两人。参加植树活动的学生共有（）人。10、现有252个红球、396个蓝球、468个黄球，把它们分组装在n个袋子里，要求每个袋子里都有红、黄、蓝三种颜色的球，而且每个袋子里的红球数、黄球数、蓝球数都相等，n的最大值是（）。二、选择题1、将38本笔记本、41支钢笔平均分给优秀生，结果笔记本多出2本，钢笔少1支。那么优秀生最多有（）人。A、3B、4C、6D、82、有一个数，减去4后，才同时能被9，10,15整除，这个数最小是（）。A、90B、94C、86D、883、有320个苹果、240个橘子、200个鸭梨，把这些果品最大限度的分成同样的礼物（每份礼物中苹果、橘子、鸭梨的个数彼此都相同）。在每份礼物中橘子有（）个。A、9B、8C、7D、64、有一排电线杆，每相邻两根的距离都是45米，现在改为60米。如果起点的一根不动，再过（）米也有一根不动。A、60B、120C、180D、210三、解答题1、两个数的最大公约数是6，最小公倍数是108，其中一个数是能被3整除的最小两位数，求另一个数。2、小华从家到邮局的路上每隔50米有一根电线杆，加上两端的两根一共有55根电线杆。现在进行路线改造，改成每隔60米安装一根，那么包括两端一共有多少根不用移动？3、有一堆铅笔，3支3支地数余1支，4支4支地数余1支，5支5支地数少4支，6支6支地数少5支。这堆铅笔最少有多少支？ 4、学生在操场上做操，人数在90~110之间。如果排成3列，不多也不少；如果排成5列则少2人，如果排成7列则少4人。则有多少学生在操长上？