小学数学知识点例题精讲《约数与倍数（一）》教师版

5-4-1.约数与倍数（一）教学目标1.本讲主要对课本中的：约数、公约数、最大公约数;倍数、公倍数、最小公倍数性质的应用.2.本讲核心目标：让孩子对数字的本质结构有一个深入的认识,例如：（1）约数、公约数、最大公约数;倍数、公倍数、最小公倍数的内在关系;（2）整数唯一分解定理：让学生自己初步领悟“任何一个数字都可以表示为的结构,而且表达形式唯一”知识点拨一、约数、公约数与最大公约数概念(1)约数:在正整数范围内约数又叫因数,整数a能被整数b整除,a叫做b的倍数,b就叫做a的约数;(2)公约数:如果一个整数同时是几个整数的约数,称这个整数为它们的“公约数”;(3)最大公约数：公约数中最大的一个就是最大公约数;(4)0被排除在约数与倍数之外1．求最大公约数的方法①分解质因数法：先分解质因数,然后把相同的因数连乘起来．例如：,,所以;②短除法：先找出所有共有的约数,然后相乘．例如：,所以;③辗转相除法：每一次都用除数和余数相除,能够整除的那个余数,就是所求的最大公约数．用辗转相除法求两个数的最大公约数的步骤如下：先用小的一个数除大的一个数,得第一个余数;再用第一个余数除小的一个数,得第二个余数;又用第二个余数除第一个余数,得第三个余数;这样逐次用后一个余数去除前一个余数,直到余数是0为止．那么,最后一个除数就是所求的最大公约数．(如果最后的除数是1,那么原来的两个数是互质的)．例如,求600和1515的最大公约数：;;;;;所以1515和600的最大公约数是15．2．最大公约数的性质①几个数都除以它们的最大公约数,所得的几个商是互质数;②几个数的公约数,都是这几个数的最大公约数的约数;③几个数都乘以一个自然数,所得的积的最大公约数等于这几个数的最大公约数乘以．3．求一组分数的最大公约数先把带分数化成假分数,其他分数不变;求出各个分数的分母的最小公倍数a;求出各个分数的分子的最大公约数b;即为所求．8 4．约数、公约数最大公约数的关系（1）约数是对一个数说的;（2）公约数是最大公约数的约数,最大公约数是公约数的倍数二、倍数的概念与最小公倍数(1)倍数:一个整数能够被另一整数整除,这个整数就是另一整数的倍数(2)公倍数:在两个或两个以上的自然数中,如果它们有相同的倍数,那么这些倍数就叫做它们的公倍数(3)最小公倍数：公倍数中最小的那个称为这些正整数的最小公倍数.1.求最小公倍数的方法①分解质因数的方法;例如：,,所以;②短除法求最小公倍数;例如：,所以;③．2.最小公倍数的性质①两个数的任意公倍数都是它们最小公倍数的倍数．②两个互质的数的最小公倍数是这两个数的乘积．③两个数具有倍数关系,则它们的最大公约数是其中较小的数,最小公倍数是较大的数．3.求一组分数的最小公倍数方法步骤先将各个分数化为假分数;求出各个分数分子的最小公倍数;求出各个分数分母的最大公约数;即为所求．例如：注意：两个最简分数的最大公约数不能是整数,最小公倍数可以是整数.例如：4．倍数、公倍数、最小公倍数的关系（1）倍数是对一个数说的;（2）最小公倍数是公倍数的约数,公倍数是最小公倍数的倍数三、最大公约数与最小公倍数的常用性质1．两个自然数分别除以它们的最大公约数,所得的商互质.如果为、的最大公约数,且,,那么互质,所以、的最小公倍数为,所以最大公约数与最小公倍数有如下一些基本关系：①,即两个数的最大公约数与最小公倍数之积等于这两个数的积;②最大公约数是、、、及最小公倍数的约数．2．两个数的最大公约和最小公倍的乘积等于这两个数的乘积.即,此性质比较简单,学生比较容易掌握.3．对于任意3个连续的自然数,如果三个连续数的奇偶性为8 a)奇偶奇,那么这三个数的乘积等于这三个数的最小公倍数例如：,210就是567的最小公倍数b)偶奇偶,那么这三个数的乘积等于这三个数最小公倍数的2倍例如：,而6,7,8的最小公倍数为性质（3）不是一个常见考点,但是也比较有助于学生理解最小公倍数与数字乘积之间的大小关系,即“几个数最小公倍数一定不会比他们的乘积大”.四、求约数个数与所有约数的和1．求任一整数约数的个数一个整数的约数的个数是在对其严格分解质因数后,将每个质因数的指数(次数)加1后所得的乘积.如:1400严格分解质因数之后为,所以它的约数有(3+1)×(2+1)×(1+1)=4×3×2=24个.(包括1和1400本身)约数个数的计算公式是本讲的一个重点和难点,授课时应重点讲解,公式的推导过程是建立在开篇讲过的数字“唯一分解定理”形式基础之上,结合乘法原理推导出来的,不是很复杂,建议给学生推导并要求其掌握.难点在于公式的逆推,有相当一部分常考的偏难题型考察的就是对这个公式的逆用,即先告诉一个数有多少个约数,然后再结合其他几个条件将原数“还原构造”出来,或者是“构造出可能的最值”.2．求任一整数的所有约数的和一个整数的所有约数的和是在对其严格分解质因数后,将它的每个质因数依次从1加至这个质因数的最高次幂求和,然后再将这些得到的和相乘,乘积便是这个合数的所有约数的和.如：,所以21000所有约数的和为此公式没有第一个公式常用,推导过程相对复杂,需要许多步提取公因式,建议帮助学生找规律性的记忆即可.例题精讲模块一、求最大公约数【例1】把一张长1米3分米5厘米、宽1米5厘米的纸裁成同样大小的正方形纸块,而没有剩余,问：能裁成最大的正方形纸块的边长是多少?共可裁成几块?【考点】求最大公约数【难度】2星【题型】解答【解析】要把一张长方形的纸裁成同样大小的正方形纸块,还不能有剩余,这个正方形纸块的边长应该是长方形的长和宽的公约数．由于题目要求的是最大的正方形纸块,所以正方形纸块的边长是长方形的长和宽的最大公约数．1米3分米5厘米＝135厘米,1米5厘米＝105厘米,,长方形纸块的面积为(平方厘米),正方形纸块的面积为(平方厘米),共可裁成正方形纸块(张)．【答案】边长15,裁成63块【巩固】一个房间长450厘米,宽330厘米．现计划用方砖铺地,问需要用边长最大为多少厘米的方砖多少块(整块),才能正好把房间地面铺满?【考点】求最大公约数【难度】2星【题型】解答【解析】要使方砖正好铺满地面,房间的长和宽都应是方砖边长的倍数,也就是方砖边长厘米数必须是房间长、宽厘米数的公约数．由于题中要求方砖边长尽可能大,所以方砖边长应为房间长与宽的最大公约数．450和330的最大公约数是30．,,共需(块).【答案】边长30,需要165块【例2】将一个长和宽分别是是1833厘米和423厘米的长方形分割成若干修正在方形,则正方形最少是（）个.（A）78（B）7（C）5（D）68 【考点】求最大公约数【难度】2星【题型】选择【关键词】华杯赛,初赛,第3题【解析】本题不是求与的最大公约数,因为题目没有强调是相同正方形,所以应该用辗转相处法,求商,因为,所以先切成的共有4个剩下长方形的,所以应该还可以切成3个,所以一共有个,选择B【答案】【例1】如图,某公园有两段路,AB＝175米,BC＝125米,在这两段路上安装路灯,要求A、B、C三点各设一个路灯,相邻两个路灯间的距离都相等,则在这两段路上至少要安装路灯___个.【考点】求最大公约数【难度】2星【题型】填空【关键词】华杯赛,六年级,初赛,第7题【解析】175与125的最大公约数为25,所以取25米为两灯间距,175＝25×7,125＝25×5,AB段应按7＋1＝8盏灯,BC段应按5＋1＝6盏灯,但在B点不需重复按灯,故共需安装8＋6－1＝13（盏）【答案】盏【例2】把20个梨和25个苹果平均分给小朋友,分完后梨剩下2个,而苹果还缺2个,一共最多有多少个小朋友?【考点】求最大公约数【难度】3星【题型】解答【解析】此题相当于梨的总数是人数的整数倍还多2个,苹果数是人数的整数倍还缺2个,所以减掉2个梨,补充2个苹果后,18个梨和27个苹果就都是人数的整数倍了,即人数是18和27的公约数,要求最多的人数,即是18和27的最大公约数9了．【答案】9人【例3】有336个苹果,252个桔子,210个梨,用这些水果最多可以分成多少份同样的礼物?在每份礼物中,三样水果各多少?【考点】求最大公约数【难度】3星【题型】解答【解析】此题本质上也是要求出这三种水果的最大公约数,有,即可以分42份,每份中有苹果8个,桔子6个,梨5个．【答案】42份,每份中有苹果8个、桔子6个、梨5个【巩固】教师节那天,某校工会买了320个苹果、240个桔子、200个鸭梨,用来慰问退休的教职工,问用这些果品,最多可以分成多少份同样的礼物(同样的礼物指的是每份礼物中苹果、桔子、鸭梨的个数彼此相等)?在每份礼物中,苹果、桔子、鸭梨各多少个?【考点】求最大公约数【难度】3星【题型】解答【解析】因为,,,,所以最多可分40份,每份中有8个苹果6个桔子,5个鸭梨.【答案】可分40份,每份中有8个苹果6个桔子,5个鸭梨.模块二、约数【例4】2004的约数中,比100大且比200小的约数是       .【考点】约数【难度】1星【题型】填空【关键词】希望杯,五年级,初赛,第4题,5分【解析】2004=3×4×167,所以结果为167【答案】【例5】过冬了,小白兔只储存了180只胡萝卜,小灰兔只储存了120棵大白菜,为了冬天里有胡萝卜吃,8 小灰兔用十几棵大白菜换了小白兔的一些胡萝卜,这时他们储存的粮食数量相等,则一棵大白菜可以换__________只胡萝卜.【考点】约数【难度】2星【题型】填空【关键词】希望杯,六年级,一试,第13题【解析】方法一：若使他们存储粮食的数量相等,需要将小白兔的胡萝卜给小灰兔（只）,但是本题需要去换,即若干次换完后要多30个胡萝卜即可,若想用十几颗大白菜换,而里面只有这个约数是十几,所以需要换15次,,每次换后要多（只）,所以1棵白菜换了只胡萝卜方法二：设1棵白菜换只胡萝卜,灰兔用棵白菜换胡萝卜,则,,∴,,∴,即1棵白菜换了3只胡萝卜【答案】只【例1】一个自然数,它的最大的约数和次大的约数的和是111,这个自然数是________.【考点】约数【难度】3星【题型】填空【关键词】华杯赛,六年级,决赛,第7题【解析】因为111是奇数,而奇数＝奇数＋偶数,所以所求数的最大约数与次大约数必为一奇一偶.而一个数的最大约数是其自身,而一个数如有偶约数此数必为偶数,而一个偶数的次大约数应为这个偶数的,设这个次大约数为a,则最大约数为2a,a＋2a＝111,求得a＝37,2a＝74,即所求数为74.【答案】【例2】一个两位数有6个约数,且这个数最小的3个约数之和为10,那么此数为几?【考点】约数【难度】3星【题型】解答【解析】最小的三个约数中必然包括约数1,除去1以外另外两个约数之和为9,由于9是奇数,所以这两个约数的奇偶性一定是相反的,其中一定有一个是偶数,如果一个数包含偶约数,那么它一定是2的倍数,即2是它的约数.于是2是这个数第二小的约数,而第三小的约数是7,所以这个两位数是14的倍数,由于这个两位数的约数中不含3、4、5、6,所以这个数只能是14或98,其中有6个约数的是98．【答案】98【例3】如果你写出12的所有约数,1和12除外,你会发现最大的约数是最小约数的3倍．现有一个整数n,除掉它的约数1和n外,剩下的约数中,最大约数是最小约数的15倍,那么满足条件的整数n有哪些?【考点】约数【难度】3星【题型】解答【解析】设整数n除掉约数1和n外,最小约数为a,可得最大约数为,那么．则3、5、a都为n的约数．因为a是n的除掉约数1外的最小约数,那么．当时,;当时,．所以满足条件的整数n有60和135．【答案】n有60和135模块三、公约数与最大公约数综合【例4】马鹏和李虎计算甲、乙两个两位数的乘积,马鹏把甲数的个位数字看错了,得乘积473;李虎把甲数的十位数字看错了,得乘积407,那么甲、乙两数的乘积应是______.【考点】公约数与最大公约数综合【难度】3星【题型】填空【解析】乙数是473与407的公约数.473与407的最大公约数是11,11是质数,它的两位数约数只有11,所以乙数是11,又,,所以甲数是47,甲、乙两数的乘积应为：.【答案】甲、乙两数的乘积应为：【例5】用2、3、4、5、6、7这六个数码组成两个三位数A和B,那么A、B、540这三个数的最大公约数最大可能是___________．8 【考点】公约数与最大公约数综合【难度】3星【题型】填空【解析】,A、B、540这三个数的最大公约数是540的约数,而540的约数从大到小排列依次为：540、270、180、135、108、90……由于A和B都不能被10整除,所以540、270、180都不是A和B的约数．由于A和B不能同时被5整除,所以135也不是A和B的公约数．540的约数除去这些数后最大的为108,考虑108的三位数倍数,有108、216、324、432、540、648、756、864、972,其中由2、3、4、5、6、7这六个数码组成的有324、432和756,易知当A和B一个为756、另一个为324或432时,A、B、540这三个数的最大公约数为108,所以A、B、540这三个数的最大公约数最大可能是108．【答案】108【例1】现有三个自然数,它们的和是1111,这样的三个自然数的公约数中,最大的可以是多少?【考点】公约数与最大公约数综合【难度】3星【题型】解答【解析】只知道三个自然数的和,不知道三个自然数具体是几,似乎无法求最大公约数．只能从唯一的条件“它们的和是1111”入手分析．三个数的和是1111,它们的公约数一定是1111的约数．因为,它的约数只能是1,11,101和1111,由于三个自然数的和是1111,所以三个自然数都小于1111,1111不可能是三个自然数的公约数,而101是可能的,比如取三个数为101,101和909．所以所求数是101．【答案】101【例2】10个非零不同自然数的和是1001,则它们的最大公约数的最大值是多少?【考点】公约数与最大公约数综合【难度】3星【题型】解答【解析】设M为这10个非零不同自然数的最大公约数,那么这10个不同的自然数分别可以表示为：,其中那么根据题意有：因为10个不同非零自然数的和最小为55,所以M最大可以为13【答案】13【巩固】100个非0自然数的和等于2006,那么它们的最大公约数最大可能值是（）.【考点】公约数与最大公约数综合【难度】3星【题型】填空【关键词】华杯赛,决赛,第8题,10分【解析】2006=2×17×59,现在要求最大公约数最大,则让整个一百个数的和除以约数后的商尽可能的小,且还应该为2006的一个约数,100个非0自然数的和最小且符合是2006的一个约数的为2×59=118.所以,最大公约数的最大可能值为17.【答案】【例3】三个两两不同的正整数,和为126,则它们两两最大公约数之和的最大值为．【考点】公约数与最大公约数综合【难度】5星【题型】填空【关键词】迎春杯,高年级,决赛,11题【解析】假设这三个数分别为,,,且,则,要求的是的最大值．由于是和的最大公约数,根据辗转相除法求最大公约数的过程,可以知道也是和的最大公约数,而一个数的约数不可能比这个数大,所以,．同理可得,,;,．由,得到;由,得到;由,得到;三式相加可得,故．8 也就是说的最大值为72．要使等号成立,必须使五个不等式,,,,中的等号都成立,即,,,,,得到,,即时等号成立．在本题中就是,,分别为18,36,72时它们两两最大公约数之和取得最大值72．小结：本题的结论较容易猜到,但证明起来较困难．另外可能会有人猜到时取到最大值,这是错误的．【答案】【例1】用这九个数码可以组成362880个没有重复数字的九位数,求这些数的最大公约数．【考点】公约数与最大公约数综合【难度】4星【题型】解答【解析】,是9的倍数,因而9是这些数的公约数．又123456789和123456798这两个数只差9,这两个数的最大公约数是它们的差的约数,即是9的约数,所以9是这两个数的最大公约数．从而9是这362880个数的最大公约数．【答案】9【例2】少年宫手工组的小朋友们做工艺品“猪娃娃”.每个人先各做一个纸“猪娃娃”;接着每2个人合做一个泥“猪娃娃”;然后每3个人合做一个布“猪娃娃”;最后每4个人合做一个电动“猪娃娃”.这样下来,一共做了100个“猪娃娃”,由此可知手工组共有个小朋友.【考点】公约数与最大公约数综合【难度】3星【题型】填空【关键词】希望杯,4年级,1试【解析】设有如果有个人,12个人做12个纸娃,6个泥娃,4个布娃,3个电动娃,共25个,做100要4个12人,即48人.【答案】人【例3】一根长为L的木棍,用红色刻度线将它分成m等份,用黑色刻度将它分成n等份（m>n）.(1)设x是红色与黑色刻度线重合的条数,请说明：x+1是m和n的公约数;(2)如果按刻度线将该木棍锯成小段,一共可以得到170根长短不等的小棍,其中最长的小棍恰有100根.试确定m和n的值.【考点】公约数与最大公约数综合【难度】5星【题型】解答【关键词】华杯赛,决赛,14题,10分【解析】① 同样,②由题设,,,,所以,,,即13＋n是13×13的因数,13×13只有3个因数：1,13,.所以,甲追上乙的位置(3分)：③会判断丙在甲追上乙的时刻所爬行的距离(3分). 即13+n是13×13的因数,13×13只有3个因数：1,13,13.所以,13+n=,n=－13=156,m=12.8 求出正整m,n的另一方法：使,.设m＝Ka,n＝Kb,(a,b)=1,代入上式,.(b一a)和a,b都互质,一定整除K.记d＝是正整数,b＞a则有：.由上式和b>a,b=13,a=1,d=1.所以,K=12,m和n有唯一解,m=13,n=156.符：m=13,n=156.【答案】（1） ,同样,（2）m=13,n=1568