小学数学五年级讲义：最大公约数和最小公倍数

校区：五道口科小数学年级：小五总第5次课学生:杨脩编号:教师：孙剑阳口期：131211数论基础第一讲：最大公约数和最小公倍数【课标导航】课程目标层次要求约数和倍数的概念★★求最人公约数和最小公倍数的方法★★★【知识梳理】0被排除在约数与倍数之外1.求最大公约数的方法①分解质因数法：先分解质因数，然后把相同的因数连乘起来・例如:231=3x7x11,252=22x32x7,所以(231,252)=3x7=21；2|1812②短除法：先找出所有共有的约数，然后相乘•例如：3|96,所以(12,18)=2x3=6；32③辗转相除法：每一次都用除数和余数相除，能够整除的那个余数，就是所求的最大公约数•用辗转相除法求两个数的最大公约数的步骤如下：先用小的一个数除大的一个数，得第一个余数；再用第一个余数除小的一个数，得第二个余数；又用第二个余数除第一个余数，得第三个余数；这样逐次用后一个余数去除前一个余数，直到余数是0为止•那么，最后一个除数就是所求的最大公约数・(如果最后的除数是1,那么原来的两个数是互质的)・例如，求600和1515的最大公约数:1515-600=2---315；600-315=1-285；315-285=1---30；285*30=9・・・15；30+15=2・0；所以1515和600的最大公约数是15・2.最大公约数的性质①几个数都除以它们的最大公约数，所得的几个商是互质数；②几个数的公约数，都是这几个数的最大公约数的约数；③几个数都乘以一个自然数〃，所得的积的最大公约数等于这几个数的最大公约数乘以n・3.求一组分数的最大公约数先把带分数化成假分数，其他分数不变；求出各个分数的分母的最小公倍数a;求出各个分数的分子的最大公约数b;夕即为所求・二、倍数的概念与最小公倍数1.求最小公倍数的方法 巨人学校旗下品牌①分解质因数的方法;例如:231=3x7x11,252=22x32x7r所以[231,252]=22x32x7x11=2772；②短除法求最小公倍数；2|1812例如:3|96,所以[18,12)=2x3x3x2=36；32③[a,b]=axb1.最小公倍数的性质①两个数的任意公倍数都是它们最小公倍数的倍数.②两个互质的数的最小公倍数是这两个数的乘积・③两个数具有倍数关系，则它们的最大公约数是其中较小的数，最小公倍数是较大的数・3.求一组分数的最小公倍:［方法步骤先将各个分数化为假分数；求出各个分数分子的最小公倍数。；求出各个分数分母的最大公约数b;纟即为所a,35[3,5]_15注意：两个最简分数的最大公约数不能是整数,最小公倍数可以是整数•例如[U]=4(2,3)三、最大公约数与最小公倍数的常用性质1・两个自然数分别除以它们的最大公约数,所得的商互质。如果加为A、B的最大公约数，且A=ma,B=mb,那么°、b互质，所以A、B的最小公倍数为加ab,所以最大公约数与最小公倍数有如下一些基本关系：①AxB=maxmb=mxmab,即两个数的最大公约数与最小公倍数之积等于这两个数的积；②最大公约数是A、B、A+B、A-B及最小公倍数的约数.2・两个数的最大公约和最小公倍的乘积等于这两个数的乘积。即（a,b）x［a,b］=axb，此性质比较简单，学生比较容易掌握。3・对于任意3个连续的自然数，如果三个连续数的奇偶性为a）奇偶奇,那么这三个数的乘积等于这三个数的最小公倍数例如:5x6x7=210,210就是567的最小公倍数b）偶奇偶,那么这三个数的乘积等于这三个数最小公倍数的2倍例如:6x7x8=336，而6,7,8的最小公倍数为336-2=168性质（3）不是一个常见考点，但是也比较有助于学生理解最小公倍数与数字乘积之间的大小关系，即“几个数最小公倍数一定不会比他们的乘积大"。 【经典例题】【例1]把一张长1米3分米5厘米、宽1米5厘米的纸裁成同样大小的正方形纸块，而没有剩余，问：能裁成最大的正方形纸块的边长是多少？共可裁成几块？【变式1-1】一个房间长450厘米，宽330厘米.现计划用方砖铺地，问需要用边长最大为多少厘米的方砖多少块（整块），才能正好把房间地面铺满？【例2】有336个苹果，252个桔子，210个梨，用这些水果最多可以分成多少份同样的礼物？在每份礼物中，三样水果各多少？【变式2-1】把20个梨和25个苹果平均分给小朋友，分完后梨剩下2个，而苹果还缺2个，一共最多有多少个小朋友？ 巨人学校旗下品牌【变式2-2】教师节那天，某校工会买了320个苹果、240个桔子、200个鸭梨，用来慰问退休的教职工，问用这些果品，最多可以分成多少份同样的礼物（同样的礼物指的是每份礼物中苹果、桔子、鸭梨的个数彼此相等）？在每份礼物中，苹果、桔子、鸭梨各多少个？【例3】现有三个自然数，它们的和是1111,这样的三个自然数的公约数中，最大的可以是多少?【变式3-1】用1D9这九个数码可以组成362880个没有重复数字的九位数，求这些数的最大公约数.【变式3-2】用2、3、4、5、6、7这六个数码组成两个三位数力和3,那么A、B、540这三个数的最大公约数最大可能是・ 【例4】两个自然数的和是50,它们的最大公约数是5,试求这两个数的差.【变式4-1】一个两位数有6个约数，且这个数最小的3个约数之和为10,那么此数为几?【例5】（西城区13中入学试题）-次考试，参加的学生中磅得优，£得良，+得中，其余的得差，已知参加考试的学生不满50人，那么得差的学生有多少人？【变式5-1】甲、乙两数的最小公倍数是90,乙、丙两数的最小公倍数是105,甲、丙两数的最小公倍数是126,那么甲数是多少? 【变式5-2】一次考试，参加的学生中有占得优，+得良，£得中，其余的得差，已知参加考试的学生不满100人，那么得差的学生有多少人？【强化训练】&【课后作业】【A卷】1.动物园的饲养员给三群猴子分花生，如只分给第一群，则每只猴子可得12粒；如只分给第二群，则每只猴子可得15粒；如只分给第三群，则每只猴子可得20粒.那么平均给三群猴子，每只可得多少粒？加工某种机器零件，要经过三道工序，第一道工序每名工人每小时可完成6个零件，第二道工序每名工人每小时可完成10个零件，第三道工序每名工人每小时可完成15个零件。要使加工生产均衡，三道工序最少共需要多少名工人？（假设这三道工序可以同时进行）大雪后的一天，小明和爸爸同时步测一个圆形花圃的周长，他俩的起点和步行方向完全相同，小明每步长54厘米，爸爸每步长72厘米.由于两人脚印有重合的，所以各走完一圈后，雪地上留下60个脚印.求圆形花圃的周长. 4.甲、乙两人同时从A点背向出发，沿400米的环形跑道行走，甲每分钟走80米，乙每分钟走50米，两人至少经过多长时间才能在A点相遇？3条圆形跑道，圆心都在操场中的旗杆处，甲、乙、丙3人分别在里圈、中圈、外圈沿同样的方向跑步•开始时，3人都在旗杆的正东方向，里圈跑道长+千米，中圈跑道长扌千米，外圈跑道长|千米甲每小时跑耳千米，乙每小时跑4千米，丙每小时跑5千米问他们同时出发，几小时后，3人第一次同时回到出发点？6.有甲、乙、丙三个人在操场跑道上步行，甲每分钟走80米，乙每分钟走120米，丙每分钟走70米.已知操场跑道周长为400米，如果三个人同时同向从同一地点出发，问几分钟后,三个人可以首次相聚？7.已知两个自然数的积为240,最小公倍数为60,求这两个数.8.已知两数的最大公约数是21,最小公倍数是126,求这两个数的和是多少? ［B卷】1.数360的约数有多少个?这些约数的和是多少?已知杯n两个数都是只含质因数3和5,它们的最大公约数是75,已知加有12个约数，料有10个约数，求加与n的和.甲、乙两个自然数的最大公约数是7,并且甲数除以乙数所得的商是丄•乙数是,84.甲数是36,甲、乙两数最大公约数是4,最小公倍数是288,那么乙数是多少?马鹏和李虎计算甲、乙两个两位数的乘积，马鹏把甲数的个位数字看错了，得乘积473；李 虎把甲数的十位数字看错了，得乘积407,那么甲、乙两数的乘积应是6.如图，嚴鼠和老鼠分别从长157米的小路两端A、B开始向另一端挖洞。老鼠对鏤鼠说：“你挖完后，我再挖。〃这样一来，由于老鼠原来要挖的一些洞恰好也是舉鼠要挖的洞，所以老鼠可以少挖多少个洞？7.有一些小朋友排成一行，从左面第一人开始每隔2人发一个苹果；从右面第一人开始每隔4人发一个桔子，结果有10个小朋友苹果和桔子都拿到•那么这些小朋友最多有多少人？（★★）6.在一根长木棍上，有三种刻度线，第一种刻度线将木棍分成10等份，第二种刻度线把木棍分成12等份，第三种刻度线把木棍分成15等份，如果沿每条刻度线把木棍锯断，木棍总共被锯成多少段？ 【课堂小结】【教师课堂点评】【作业完成情况】