最大公约数与最小公倍数

最大公约数与最小公倍数 一、引例   甲、乙、丙三个学生定期向某老师求教，甲每4天去一次，乙每6天去一次，丙每9天去一次。如果这一次他们三人是3月23日都在这个老师家见面，那么下一次三人都在这个老师家见面的时间是几月几日？ 二、基础知识   如果数a能被数b整除，a就叫做b的倍数，b就叫做a的约数。约数和倍数都表示一个数与另一个数的关系，不能单独存在。如只能说16是某数的倍数，2是某数的约数，而不能孤立地说16是倍数，2是约数。   "倍"与"倍数"是不同的两个概念，"倍"是指两个数相除的商，它可以是整数、小数或者分数。"倍数"只是在数的整除的范围内，相对于"约数"而言的一个数字的概念，表示的是能被某一个自然数整除的数，它必须是一个自然数。   几个自然数，公有的约数，叫做这几个数的公约数；其中最大的一个，叫做这几个数的最大公约数。例如：12、16的公约数有1、2、4，其中最大的一个是4，4是12与16的最大公约数，一般记为（12、16）=4。12、15、18的最大公约数是3，记为（12、15、18）=3。   几个自然数公有的倍数，叫做这几个数的公倍数，其中最小的一个，叫做这几个数的最小的一个，叫做这几个数的最小公倍数。例如：4的倍数有4、8、12、16，……，6的倍数有6、12、18、24，……，4和6的公倍数有12、24，……，其中最小的是12，一般记为[4、6]=12。12、15、18的最小公倍数是180。记为[12、15、18]=180。1、分解质因数法   把每个数分别分解质因数，再把各数中的全部公有质因数提取出来连乘，所得的积就是这几个数的最大公约数。例如：求24和60的最大公约数，先分解质因数，得24=2×2×3，60=2×2×3×5，24与60的全部公有的质因数是2、2、3，它们的积是2×2×3=12，所以，（24、60）=12。  把几个数先分别分解质因数，再把各数中的全部公有的质因数和独有的质因数提取出来连乘，所得的积就是这几个数的最小公倍数。例如：求6和15的最小公倍数。先分解质因数，得6=2×3，15=3×5，6和15的全部公有的质因数是3，6独有质因数是2，15独有的质因数是5，2×3×5=30，30里面包含6的全部质因数2和3，还包含了15的全部质因数3和5，且30是6和15的公倍数中最小的一个，所以[6，15]=30。 2、短除法   短除法求最大约数，先用这几个数的公约数连续去除，一直除到所有的商互质为止，然后把所有的除数连乘起来，所得的积就是这几个数的最大公约数。例如，求24、48、60的最大公约数。（24、48、60）=2×3×2=12   短除法求最小公倍数，先用这几个数的公约数去除每一个数，再用部分数的公约数去除，并把不能整除的数移下来，一直除到所有的商中每两个数都是互质的为止，然后把所有的除数和商连乘起来，所得的积就是这几个数的最小公倍数，例如，求12、15、18的最小公倍数。（12、15、18）=3×2×2×5×3=180   无论是短除法，还是分解质因数法，在质因数较大时，都会觉得困难。这时就需要用新的方法。3、辗转相除法   先看一个例子：从一张长2002毫米，宽847毫米的长方形纸片上，剪下一个边长尽可能大的正方形，如果剩下的部分不是正方形，那么在剩下的纸片上再剪下一个边长尽可能大的正方形，按照上面的过程不断地重复，最后剪得的正方形的边长是___________毫米。解：剪的过程如图所示第一，二次剪下848×847平方毫米的正方形。第二， 三次剪下边长308毫米的正方形第五次剪下边长231毫米的正方形。第六、七、八次剪下边长77毫米的正方形。以上的解题过程，实际上给出了求最大公约数的另一个办法--辗转相除法。以上过程可用算式表示如下：2002=847×2+308847=308×2+231308=231×2+77231=77×3   由以上算式可以看出，这种方法就是用大数除以小数再用上次运算中的除数除以余数，如此反复除，直到余数为零。最后一个除数就是两数的最大公约数。这是因为：两个数的最大公约数，同时是两个数的约数，也就是余数的约数。拿此题来讲，2002和847的公约数，也就是847和308的公约数。由于231是77的倍数，所以它们的最大公约数就是77，即2002与847的最大公约数。辗转相除法的竖式格式如下：   在解有关最大公约数、最小公倍数的问题时，常用到以下结论：（1）如果两个数是互质数，那么它们的最大公约数是1，最小公倍数是这两个数的乘积。例如8和9，它们是互质数，所以（8，9）=1，[8，9]=72。（2）如果两个数中，较大数是较小数的倍数，那么较小数就是这两个数的最大公约数，较大数就是这两个数的最小公倍数。例如18与3，18÷3=6，所以（18，3）=3，[18，3]=18。（3）两上数分别除以它们的最大公约数，所得的商是互质数。例如8和14分别除以它们的最大公约数2，所得的商分别为4和7，那么4和7是互质数。（4）两个数的最大公约数与它们的最小公倍数的乘积等于这两个数的乘积。例如12和16，（12，16）=4，[12，16]=48，有4×48=12×16，即（12，16）×[12，16]=12×16。三、例题分析例1：引例。    分析：甲第4天，第8天，第12天，……去看望老师。乙第6天，第12天，第18天，……去看望老师。丙第9天，第18天，第27天，……去看望老师。下一次三人都在老师家见面的时间是第[4，6，9]=36天。   解：∵[4，6，9]=36从3月23日起，再过36天应是4月28日∴下一次三人在老师家见面的时间是4月28日。例2：将长200厘米，宽120厘米，厚40厘米的长方体木料锯成同样大小的正方体木块，而没有剩余，共有多少种不同的锯法？当正方体的边长是多少时，锯成的小木块的体积最大，共有多少块？   分析：由题意知，锯成的小正方体的边长应能整除200，120和40，也就是说，小正方体的边长是这三个数的公约数，得出的不同的公约数的个数就代表有多少种不同的锯法。另外要求锯成的小木块的体积最大时的正方体的边长，只要使小正方体的边长为最大就行了，即求200、120和40的最大公约数。最后可求得锯的块数。（200，120，40）=40，40=2×2×2×5=23×540的约数个数为（3+1）×（1×1）=8锯的块数为（200÷40）×（120÷40）×（40÷40）=5×3×1=15答：共有8种锯法，当正方体的边长是40厘米时，锯成的小木块的体积最大，共有15块。例3：求1300到1400玻璃球数，使之分别按三个三个数，四个四个数，五个五个数，六个六个数，最后都差一个，改为七个七个数时，正好数完。   分析：这个数必然是3、4、5、6的公倍数差1，而又是7的倍数。3，4，5，6的最小公倍数是60，因此这个数可表示为60k-1（K是自然数）。当K=1时，60×1-1=59，被7除余3；当K=2时，60×2-1=119，被7整除。符合，三个三个数，四个四个数，五个五个数，六个六个数，最后都差一个，见七个七个数，正好数完。但所求数要求在1300至1400之间，只要在119基础上，增加3，4，5，6，7的最小公倍数的整数倍就可得到所求的数。   解：因为（3，4，5，6）=60，因此这个数可表示为60K-1（K是自然数），当K=2时，60×2－1=119，能被7整除；又（3，4，5，6，7）=420，所以这个数可表示为119+420m（m是自然数）。当m=3时，119+420×3=1359在1300至1400之间。所以1359即为所求。例4：两个数的最大公约数是15，最小公约数是360，且这两个数相差75，求这两个数。    分析：根据最大公约数、最小公倍数的定义，360÷15=24，24是所求的两个数它们各自独有的不同的约数的乘积，并且它们的这两个约数必然互质，即用所求的两个数的最大公约数分别除这两个数所得的商的积等于24。且24必是两个互质数的乘积。很容易得到24=1×24=3×8，1与24，3与8分别互质，这样得到两组解：15×1=15，15×24=360；15×3=45，15×8=120；且120-45=75，得到了问题的解。   解：因为360÷15=24，24=1×24=3×815×1=15，15×24=360；15×3=45，15×8=120；且120-45=75所以这两个数分别为45，120。例5：试用2，3，4，5，6，7六个数字自成两个三位数，使这两个三位数与540的最大公约数尽可能大？   分析：因为540=22×33×5，而2，3，4，5，6，7中只有一个5，因此这六个数字组成的两个三位数中不会有公约数5，所以这两个三位数与540的最大公约数只可能为22×33=108，再进行试验，108×2=216，216中1不是已知数字，108×3=324，还剩5，6，7三个数字，而108×7=756，于是问题得到解决。   解：因为540=22×33×5，所以2，3，4，5，6，7这六个数组成的两位数与540的最大公约数只可能为22×33=108，经试验得到108×3=324，108×7=756，所以324，756即为所求。例6：在800米的环岛上，每隔50米插一面彩旗，后来又增加了一些彩旗，就把彩旗的间隔缩短了，起点的彩旗不动，重新插完后发现，一共有4根彩旗没动，问现在的彩旗间隔多少米？   分析：800米环岛每隔50米插一面彩旗，共插800÷50=16根，重新插完后，有4根没动，而这4根中的任意相邻的两根间的距离为50×（16÷4）=200米，重新插完后每相邻的两根彩旗间的距离与50的最小公倍数是200，并且这个距离一定小于50米，把符合这样条件的数求出来即为所求。   解：因为800÷50=16根，重新插完后，在这4根不动的彩旗中，任意相邻的两根间的距离为50×（16÷4）=200米，重新插后，任意相邻两根的距离为a米，则[a，50]=200，且a