公约数与公倍数的比较
例题求28和42的最大公约数和最小公倍数28422142172328和42的最大公约数2×7＝1428和42的最小公倍数2×7×2×3＝84
例题求两个数的最大公约数求两个数的最小公倍数相同点不同点用短除的形式分解质因数，直到两个商是互质数为止．把所有的除数乘起来．同左把所有的除数和商乘起来．
练习改错：找出下列各题错在哪里，并说明如何改正．712717和12的最大公约数是7127和12的最小公倍数是7×1×12＝84因为7和12是互质数所以7和12的最大公约数是17和12的最小公倍数是7×12＝84
练习下面的数，哪些能被2整除？哪些能被3整除？哪些能被5整除？1221364560105144255能被2整除：123660144能被3整除：1221364560105144255能被5整除：4560105255
练习很快说出下面每组数的最大公约数和最小公倍数．3和5最大公约数是1，最小公倍数154和6最大公约数是2，最小公倍数1210和16最大公约数是2，最小公倍数808和7最大公约数是1，最小公倍数566和10最大公约数是2，最小公倍数30
练习很快说出下面每组数的最大公约数和最小公倍数．9和15最大公约数是3，最小公倍数1059和27最大公约数是9，最小公倍数277和21最大公约数是7，最小公倍数217和12最大公约数是1，最小公倍数84
极限分析理论是为了计算土体强度，学者们发现的一种理论。极限分析理论假定土体为弹性－理想塑性体或刚塑性体，强度包线为直线且服从正交流动规则的标准库仑材料。当作用于土体上的荷载达到某一数值并保持不变时，土体会发生“无限”塑性流动，则认为土体处于极限状态，所对应的荷载称为极限荷载。极限分析理论就是应用弹性－理想塑性体或刚塑性体的普遍定理－上限定理（求极限荷载的上限解）和下限定理（求极限荷载的下限解）求解极限荷载的一种分析方法，称为极限分析法。
极限分析理论静力许可应力场运动许可速度场虚功率原理极限分析定理近似解法举例
1,静力容许的应力场设有物体V，其表面A，面力和体力已知。若在此物体上，设定一组应力场，满足下列条件，则称为静力容许应力场。①在体积V内满足平衡方程，即②在边界上满足边界条件，即在上，且在上③在体积V内不违反屈服条件，即由定义可知，物体处于极限状态时，其真实的应力场必定是静力容许的应力场；但静力容许应力场不一定是极限状态时真实的应力场。
2,运动许可速度场在物体V上，若设定一组位移速度场，满足以下条件，则称为运动许可的速度场。①在体积V内满足几何方程，即②在边界上满足位移边界条件，并使外力做正功，即在上，且由上述定义可知，物体于极限状态时，其真实的位移速度场必定是运动容许的位移速度场；但运动容许的位移速度场不一定是极限状态时真实的位移速度场。
3,虚功率原理对于一个连续的变形体，任意一组静力容许的应力场和任意一组机动容许位移场，外力的虚功等于内力的虚功。同理虚功率原理可表示为：对于任意一组静力容许应力场和任意一组机动容许的位移速率场，外力的功率等于物体内虚变形功率。如果物体内部存在速度间断时，其虚功率方程可表示为：式中，S——速度间断面；——速度间断面两侧切向速度的变化。
4,极限分析定理上限定理：在所有的运动容许的塑性变形位移速度场相对应的荷载中，外功功率等于物体内能耗散率所对应的极限荷载为最小。下限定理：在所有与静力容许的应力场满足相对应的荷载中，极限荷载最大。上限定理证明：证：设为物体达到极限状态的真实应力场，其对应的表面力为，为真实位移速率场，由几何方程求得的应变率为，真实速度场中可能有速度间断面SL，其上的速度切向跃值为[]；体力为。
另设一运动容许的位移速度场，对应的应变率为，应变速度场可能有间断面，其上的切向速度为。虚功率方程得由于≥0又≤C，则有后两式代入第一式，便有显然只有时等式成立。
证：设为真实的应力场，对应的表面力为Ti，为真实的位移速率场，由几何方程求得真实应变率为，真实速度场中可能存在速度间断面SL，其上的切向速度跃度为[]；在Su上给定速度为，在ST上给定表面力为，给定的体力为。下限定理证明：由虚功率方程得又设另一静力容许的应力场，对应的表面力为，由虚功率方程得
上述两式相减得由Drucker公式得到≥0由于c≥同时≥0，即剪应力做正功率知≥0
5,近似解法举例下限法和上限法下限法就是利用下限定理计算极限荷载的方法，也叫静力法。上限法就是利用上限定理计算极限荷载的方法，也叫机动法。例：土坡临界高度上限解AC为剪切面，宽度为D的刚性土块向下移动。与剪切面呈角。由于拉裂缝处没有能量耗散，故总功率等于剪切面上的内功率，即
而重力功率为得土坡临界高度下限解虚线为应力间断线，它们把全区分为三个应力区：单向压缩区：双向压缩区：双向等压力区：在区的底部，土单元满足屈服条件有
谢谢！
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