新概念思维训练-小学五年级第11讲约数和倍数-教师版

第11讲约数与倍数内容概述掌握约数与倍数酌概念.学会约数个数与约数和的计算方法；掌握最大公约数、最小公倍数的常用计算方法；能够利用最大公约数和最小公倍数的性质解决相关的整数问题.典型问题兴趣篇1.(1)请写出105的所有约数；⑵请写岀72的所有约数.答案：(1)1、3、5、7、15、21、35、105(2)1、2、3、4、6、8、9、12、18、24、36、72分析：105=1x105=3x35=5x21=7x1572=1x72=2x36=3x24=4x18=6x12=8x92.(1)20000的约数有多少个？(2)720的约数有多少个？答案：⑴30个(2)30个分析：(1)20000=25x54,约数的个数=(5+l)x(4+l)=30个(2)720=24x32x5,约数的个数=(4+l)x(2+l)x(l+l)=30个3.计算：(1)(2&72),[28,72];(2)(28,44,260),[28,44,260].答案：(1)4,504(2)4,20020分析:⑴28=22x7,72=23x32，所以(28,72)=22=4；[28,72]=23x32x7=504(2)28=22x7,44=22x11,260=22x5x13,所以(2&44,260)=22=4,[28,44,260]二22x5x7xllxl3=200204.两个数的差是6,它们的最大公约数可能是多少？答案：1,2,3,6.分析：两个数的最大公因数一定是它们差的因数。因为这两个数的差是6,则它们的最大公因数一定是6的因数。即可能为1,2,3,605.⑴求1085和1178的最大公约数和最小公倍数；(2)求3553,3910和1411的最大公约数.答案：(1)31,41230(2)17 分析：(1)1085=5x7x31,1178=2x19x31,所以，(1085,1178)=31,[1085,1178]=2x5x7x19x31=41230(2)3553=11x17x19,3910=2x5x17x23,1411=17x83[3553,3910,1411]=173.教师节到了，校工会买了320个苹果、240个桔子、200个香蕉来慰问退休老职工.请问：用这些水果最多可以分成多少份同样的礼物？在每份礼物屮，苹果、桔子、香蕉各有多少个？答案：40份；苹果8个，桔子6个，香蕉5个。分析：水果分成的份数应该是320,240,200的最大公因数，因为(320,240,200)=23x5=40,所以最多分成40份。苹果每份：320*40=8；桔子每份：240-40=6；香蕉每份：200-40=54.一块长方形草地，长120米，宽90米，现在在它的四周种树，要求四个角和各边中点都要求种树，且相邻两棵树之间的距离都相等，请问：最少要种多少棵树？答案：28棵。分析：要使种的树最少，则相邻两棵树之间的距离耍最大。因为四个角和各边中点都要求种树，所以相邻两棵树Z间的距离应该是60和45的最大公因数。即15米。又因为是封闭图形，种的棵树等于段数。所以最少种(120+90)x2*15=28棵。5.甲数和乙数的最大公约数是6,最小公倍数是90.如果甲数是18,那么乙数是多少？答案：30分析：因为两个数的最大公因数和最小公倍数的乘积等于这两个数的乘积。所以乙数为6x90-18=306.有甲、乙两个数，它们的最小公倍数是甲数的27倍.己知甲数是2、4、6、8、10、12、14、16的倍数，但不是18的倍数；乙数是两位数.乙数是多少？答案：81分析:[2,4,6,8,10,12,14J6]=24x3x5x7,27=33,由题意可知，甲数屮质因数3的个数只能有1个。而甲乙的最小公倍数是甲的27倍，则最小公倍数中质因数3的个数有4个。所以乙数中质因数3的个数至少有4个，因为乙数是两位数，所以乙数是3°,即81。7.小悦、冬冬、阿奇在黑板上各写了一个自然数，这三个自然数的最大公约数是35,最小公倍数是70.这三个数的和可能是多少？答案：140或175 分析：设三个数分别为a,b,c,因为(d,b,c)=35,[d,b,c]=70。35的倍数有：35,70,105…，70的因数有：1,2,5,7,10,14,35,70.公共部分只有35和70.所以a,b,c可以为：(1)35,35,35.(2)35,35,70(3)35,70,70(4)70,70,70。经检验，(1)、(4)不符合题意，舍去。只有(2)和(3)o即三个数的和为140和175.拓展篇1.72共有多少个约数？其中有多少个约数是3的倍数？答案：12个；8个分析：72=23x32,(3+1)x(2+1)=12个约数。求约数是3的倍数，即23x3的约数个数。(3+l)x(l+l)=82.5400共有多少个约数？并求出所有约数乘积的质因数分解形式.答案：48个;272x372x548分析：5400=23x33x52约数的个数为(3+l)x(3+l)x(2+l)=483•两数乘积为2800,已知其中一个数的约数个数比另一个数的约数个数多1.这两个数分别是多少？答案：16和175分析：因为其屮一个数的约数个数比另一个数的约数个数多1，则这两个数的约数个数是一奇一偶。所以一个数为平方数。2800=24x52x7,下面枚举，(1)2?和2?x52x7(2)2°和52x7；(3)52和24x7；(4)22x52和2冬7；(5)24x52和7。经过验证，只有(2)屮的两个数的约数个数差1.所以为16和1754.计算:(1)(391,357),[391,357];(2)(18,24,36),[1&24,36].答案：(1)17,8211(2)6,72分析：⑴391=17x23357=3x7x17(391,357)=17；[391,357]=3x7x17x23=8211⑵18=2x3',24=23x3,36=22x3\(18,24,36)=2x3=6[18,24,36]=23x32=72 5.1547、1573、1859这三个数的最大公约数是多少？最小公倍数是多少？答案：13,2433431分析:1547=7x13x17,1573=ll2xl3,1859=llxl32(1547,1573,1859)=13；[1547,1573,1859]=7x112xl32xl7=24334316.张阿姨把225个苹果、350个梨和150个桔子平均分给小朋友们，最后剩下9个苹果、26个梨和6个桔子没分出去，请问：每个小朋友分了多少个苹果？答案：6个分析：分给小朋友的水果有225-9=216个苹果，350—26=324个梨，150—6=144个桔子o216,324,144的最大公因数即为人数。(216,324,144)=22x32=36,所以每个小朋友分到了216+36=6个苹果。7.一个数和16的最大公约数是8,最小公倍数是80•这个数是多少？答案：40分析：两个数的最大公因数和最小公倍数的乘积等于这两个数的乘积。所以这个数等于80x8一16=408•两个自然数不成倍数关系，它们的最大公约数是18,最小公倍数是216.这两个数分别是多少？答案：54和72分析：设这两个数为甲、乙，甲数=18xm，乙数18X/1,且(m,n)=U则18xtt?x〃=216。所以mxn=l2.所以m=l,n=n或加二3,〃=4。因为甲和乙不成倍数关系，所以加=3,77=4。即，甲数=54,乙数=72.9•两个数的最大公约数是6,最小公倍数是420,如果这两个数相差18,那么较小的数是多少？答案：42分析：设这两个数分别为甲和乙，，甲数=6xm,乙数=6x〃，且(m,/2)=l贝iJ6x//zxn=420o所以mxn=70o70=2x5x7。又因为两个数相差18,所以m—n=3,综合上述，可得，加=10/=7,即较小数为42.10.有4个不同的正整数，它们的和是1111.请问：它们的最大公约数最大能是多少？答案：101分析：设人二力血，B=mh,C=inc,D-md且仏b,c,d)=1。因为它们的和为1111. 则A+B+C+D=w(a+/?+c+d)=llll,而1111=101x11,所以加最大为101.即它们的最大公因数最大能是10U3.甲、乙两个数的最小公倍数是90,乙、丙两个数的最小公倍数是105,甲、丙两个数的最小公倍数是126.请问：甲数是多少？答案：18分析：因为［甲，乙］=90,［甲，丙卜216,所以甲应为(90,216)=18的因数。又因为［乙，丙］=105,则甲一定有因数2,且乙、丙中的质因数3的个数只有1个，而［甲，乙|=90,则甲一定有2个质因数3。所以甲数为2x3718。4.甲、乙是两个不同的自然数，它们都只含有质因数2和3,并且都有12个约数，它们的最大公约数是12.请问：甲、乙两数之和是多少？答案：204分析：甲数=2xx3\乙数=2限3",因为都有12个约数。设(x+l)x(y+l)=2x6,(a+l)x(b+l)=3x4甲数=2x3’或25x3,乙数=22x33或2吹32。又因为甲和乙的最大公因数为12=22x3,所以,甲数=2、3,乙数=22x3\即甲乙两数的和=96+108=204超越篇1.360共有多少个奇约数？所有这些奇约数的和是多少？答案：6个；78分析：360=23x32x5,所以360的奇约数的个数即为3冬5的约数的个数。所以是(2+l)x(l+l)=6个。所有的奇约数的和=(3°+3+32)x(5°+5)=782.求出所有恰好含有10个约数的两位数，并求出每个数的所有约数Z和.答案：48,约数之和为124；80,约数之和为186。分析：10=2x5,质因数的个数分别为1和4。两位数中只有24x3=48,24x5=80满足。48的所有约数之和=(2°+2+22+23+24)x(30+3)=124o80的所有约数之和=(2°+2+22+23+24)x(5°+5)=186 3.已知。与b的最大公约数是4,a与c、b与c的最小公倍数都是100,而且a