华罗庚学校数学教材(五年级下)第04讲 最大公约数和最小公倍数

本系列共15讲第四讲最大公约数和最小公倍数.文档贡献者：与你的缘本讲重点解决与最大公约数和最小公倍数有关的另一类问题——有关两个自然数，它们的最大公约数、最小公倍数之间的相互关系的问题。定理1两个自然数分别除以它们的最大公约数，所得的商互质。即如果(a,b)=d，那么(a÷d,b÷d)=1.证明：设a÷d=a1,b÷d=b1,那么a=a1d,b=b1d.假设(a1,b1)≠1，可设(a1,b1)=m(m＞1)，于是有a1=a2m,b1=b2m.(a2,b2是整数)所以，a=a1d=a2md,b=b1d=b2md.那么md是a、b的公约数。又∵m＞1，∴md＞d.这就与d是a、b的最大公约数相矛盾。因此，(a1,b1)≠1的假设是不正确的。所以只能是(a1,b1)=1，也就是(a÷d,b÷d)=1.定理2两个数的最小公倍数与最大公约数的乘积等于这两个数的乘积。（证明略） 定理3两个数的公约数一定是这两个数的最大公约数的约数。（证明略）下面我们就应用这些知识来解决一些具体的问题。例1甲数是36，甲、乙两数的最大公约数是4，最小公倍数是288，求乙数。解法1：由甲数×乙数=甲、乙两数的最大公约数×两数的最小公倍数，可得36×乙数=4×288乙数=4×288÷36解出乙数=32解法2：因为甲、乙两数的最大公约数为4，则甲数=4×9，设乙数=4×b1，且（b1，9）=1。因为甲、乙两数的最小公倍数是288，则288=4×9×b1，b1=288÷36解出b1=8所以，乙数=4×8=32答：乙数是32。例2已知两数的最大公约数是21，最小公倍数是126，求这 两个数的和是多少？解：要求这两个数的和，我们可以先求出这两个数各是多少。设这两个数为a、b，a＜b。因为这两个数的最大公约数是21，故设a=21a1,b=21b1，且（a1，b1）=1。因为这两个数的最小公倍数是126，所以126=21×a1×b1于是a1×b1=6解出a1=1a1=2b1=6b1=3则a=21×1=21a=21×2=42b=21×6=126b=21×3=63因此，这两个数的和为21＋126=147，或42＋63=105。答：这两个数的和为147或105。例3已知两个自然数的和是50，它们的最大公约数是5，求这两个自然数。解：设这两个自然数分别为a与b，a＜b。因为这两个自然数的最大公约数是5，故设a=5a1，b=5b1，且（a1，b1）=1，a1＜b1。因为a＋b=50，所以有5a1＋5b1=50，a1＋b1=10。满足（a1，b1）=1，a1＜b1的解有： a1=1a1=3b1=9b1=7所以，a=5×1=5或a=5×3=15b=5×9=45b=5×7=35答：这两个数为5与45或15与35。例4已知两个自然数的积为240，最小公倍数为60，求这两个数。解：设这两个数为a与b，a＜b，且设（a，b）=d,a=da1,b=db1,其中（a1，b1）=1。因为两个自然数的积=两数的最大公约数×两数的最小公倍数，所以240=d×60解出d=4所以a=4a1,b=4b1.因为a与b的最小公倍数为60，所以4×a1×b1=60,于是有a1×b1=15。解出a1=1a1=3b1=15b1=5 所以a=4×1=4或a=4×3=12b=4×15=60b=4×5=20答：这两个数为4与60或12与20。例5已知两个自然数的和为54，它们的最小公倍数与最大公约数的差为114，求这两个自然数。解：设这两个自然数分别为a与b，a＜b，(a,b)=d,a=da1,b=db1,其中(a1,b1)=1.因为a＋b=54，所以da1＋db1=54。于是有d×(a1＋b1)=54，因此，d是54的约数。又因为这两个数的最小公倍数与最大公约数的差为114，所以da1b1－d=114,于是有d×(a1b1－1)=114,因此，d是114的约数。故d为54与114的公约数。由于（54，114）=6，6的约数有：1、2、3、6，根据定理3，d可能取1、2、3、6这四个值。如果d=1，由d×(a1＋b1)=54，有a1＋b1=54；又由d×(a1b1－1)=114，有a1b1=115。115=1×115=5×23，但是1＋115=116≠54，5＋23=28≠54， 所以d≠1.如果d=2，由d×(a1＋b1)=54，有a1＋b1=27；又由d×(a1b1－1)=114，有a1b1=58。58=1×58=2×29，但是1＋58=59≠27，2＋29=31≠27，所以d≠2.如果d=3，由d×(a1＋b1)=54，有a1＋b1=18；又由d×(a1b1－1)=114，有a1b1=39。39=1×39=3×13，但是1＋39=40≠18，3＋13=16≠18，所以d≠3.如果d=6，由d×(a1＋b1)=54，有a1＋b1=9；又由d×(a1b1－1)=114，有a1b1=20。20表示成两个互质数的乘积有两种形式：20=1×20=4×5，虽然1＋20=21≠9，但是有4＋5=9，所以取d=6是合适的，并有a1=4,b1=5.a=6×4=24,b=6×5=30.答：这两个数为24和30。例6已知两个自然数的差为4，它们的最大公约数与最小公倍数的积为252，求这两个自然数。解：设这两个自然数分别为a与b，且a＞b，a=da1,b=db1 ,(a1,b1)=1.因为a－b=4，所以da1－db1=4，于是有d×(a1－b1)=4，因此d为4的约数。因为这两个自然数的最大公约数与最小公倍数的积为252，所以d×da221b1=252，于是有d×a1b1=(2×3)×7,因此d为2×3的约数。故d为4与2×3的公约数。由于（4，2×3）=2，2的约数有1和2，所以d可能取1、2这两个值。如果d=1，由d×(a21－b1)=4，有a1－b1=4；又由d×a1b1=252，有a1b1=252。252表示成两个互质数的乘积有4种形式：252=1×252=4×63=7×36=9×28，但是252－1=251≠4，63－4=59≠4，36－7=29≠4，28－9=19≠4，所以d≠1.如果d=2，由由d×(a21－b1)=4，有a1－b1=2；又由d×a1b1=252，有a1b1=63。63表示为两个互质数的乘积有两种形式：63=1×63=7×9，但63－1=62≠2，而9－7=2，且（9，7）=1，所以d=2，并且a1=9，b1=7.因此a=2×9=18，b=2×7=14. 答：这两个数为18和14。在例2～例5的解答中之所以可以在假设中排除a=b这种情形在各例中都只假设了a＜b,分别是由于：例2和例5，若a=b，则（a,b）=[a,b]=a，与条件（a,b）≠[a,b]矛盾；例3，若a=b，则a=b=（a,b）=5，因此a＋b=10≠50，与条件矛盾；例4，a×b=240不是平方数。从例题的解答中可以看出，在处理涉及两数的最大公约数或者最小公倍数的很多问题中，经常用到的基本关系是：若两数为a、b，那么a=a1d,b=b1d，其中d=(a,b),(a1,b1)=1，因此[a,b]=da1b1，有时为了确定起见，可设a≤b。对于很多情形，可以排除a=b的情形（如上述所示），而只假设a＜b。习题四1．已知某数与24的最大公约数为4，最小公倍数为168，求此数。2．已知两个自然数的最大公约数为4，最小公倍数为120，求这两个数。3．已知两个自然数的和为165，它们的最大公约数为15，求 这两个数。4．已知两个自然数的差为48，它们的最小公倍数为60，求这两个数。5．已知两个自然数的差为30，它们的最小公倍数与最大公约数的差为450，求这两个自然数。6．已知两个自然数的平和为900，它们的最大公约数与最小公倍数的乘积为432，求这两个自然数。