奥数：第三讲 最大公约数和最小公倍数

第3讲最大公约数和最小公倍数一、基本概念和知识  1.公约数和最大公约数  几个数公有的约数，叫做这几个数的公约数；其中最大的一个，叫做这几个数的最大公约数。  例如：12的约数有：1，2，3，4，6，12；  18的约数有：1，2，3，6，9，18。  12和18的公约数有：1，2，3，6.其中6是12和18的最大公约数，记作（12，18）=6。  2.公倍数和最小公倍数  几个数公有的倍数，叫做这几个数的公倍数；其中最小的一个，叫做这几个数的最小公倍数。  例如：12的倍数有：12，24，36，48，60，72，84，…  18的倍数有：18，36，54，72，90，…  12和18的公倍数有：36，72，….其中36是12和18的最小公倍数，记作[12，18]=36。  3.互质数  如果两个数的最大公约数是1，那么这两个数叫做互质数。二、例题例1用一个数去除30、60、75，都能整除，这个数最大是多少？分析∵要求的数去除30、60、75都能整除，  ∴要求的数是30、60、75的公约数。  又∵要求符合条件的最大的数，  ∴就是求30、60、75的最大公约数。   解：∵  （30，60，75）=5×3=15  这个数最大是15。例2一个数用3、4、5除都能整除，这个数最小是多少？分析由题意可知，要求的数是3、4、5的公倍数，且是最小的公倍数。  解：∵［3，4，5］=3×4×5=60，  ∴用3、4、5除都能整除的最小的数是60。例3有三根铁丝，长度分别是120厘米、180厘米和300厘米.现在要把它们截成相等的小段，每根都不能有剩余，每小段最长多少厘米？一共可以截成多少段？分析∵要截成相等的小段，且无剩余，  ∴每段长度必是120、180和300的公约数。    又∵每段要尽可能长，  ∴要求的每段长度就是120、180和300的最大公约数.  （120，180，300）=30×2=60  ∴每小段最长60厘米。  120÷60+180÷60+300÷60  =2＋3＋5=10（段）  答：每段最长60厘米，一共可以截成10段。例4加工某种机器零件，要经过三道工序.第一道工序每个工人每小时可完成3个零件，第二道工序每个工人每小时可完成10个，第三道工序每个工人每小时可完成5个，要使加工生产均衡，三道工序至少各分配几个工人？ 分析要使加工生产均衡，各道工序生产的零件总数应是3、10和5的公倍数.要求三道工序“至少”要多少工人，要先求3、10和5的最小公倍数。    ［3，10，5］=5×3×2=30  ∴各道工序均应加130个零件。  30÷3=10（人）  30÷10=3（人）  30÷5=6（人）  答：第一道工序至少要分配10人，第二道工序至少要分配3人，第三道工序至少要分配6人。例5一次会餐供有三种饮料.餐后统计，三种饮料共用了65瓶；平均每2个人饮用一瓶A饮料，每3人饮用一瓶B饮料，每4人饮用一瓶C饮料.问参加会餐的人数是多少人？分析由题意可知，参加会餐人数应是2、3、4的公倍数。  解：∵[2，3，4]=12  ∴参加会餐人数应是12的倍数。  又∵12÷2+12÷3+12÷4  =6+4+3=13（瓶），  ∴可见12个人要用6瓶A饮料，4瓶B饮料，3瓶C饮料，共用13瓶饮料。  又∵65÷13=5，  ∴参加会餐的总人数应是12的5倍，  12×5=60（人）。  答：参加会餐的总人数是60人。例6一张长方形纸，长2703厘米，宽1113厘米 .要把它截成若干个同样大小的正方形，纸张不能有剩余且正方形的边长要尽可能大.问：这样的正方形的边长是多少厘米？分析由题意可知，正方形的边长即是2703和1113的最大公约数.在学校，我们已经学过用短除法求两个数的最大公约数，但有时会遇到类似此题情况，两个数除了1以外的公约数一下不好找到.但又不能轻易断定它们是互质数.怎么办？在此，我们以例6为例介绍另一种求最大公约数的方法。  对于例6，可做如下图解：  从图中可知：在长2703厘米、宽1113厘米的长方形纸的一端，依次裁去以宽（1113厘米）为边长的正方形2个.在裁后剩下的长1113厘米，宽477厘米的长方形中，再裁去以宽（477厘米）为边长的正方形2个.然后又在裁剩下的长方形（长477厘米，宽159厘米）中，以159厘米为边长裁正方形，恰好裁成3个，且无剩余.因此可知，159厘米是477厘米、1113厘米和2703厘米的约数.所以裁成同样大的，且边长尽可能长的正方形的边长应是159厘米.所以，159厘米是2703和1113的最大公约数。  让我们把图解过程转化为计算过程，即：  2703÷1113，商2余477；  1113÷477，商2余159；  477÷159，商3余0。  或者写为  2703=2×1113+477，  1113=2×477+159，  477=3×159。  当余数为0时，最后一个算式中的除数159就是原来两个数2703和1113的最大公约数.   可见，477=159×3，  1113=159×3×2+159=159×7，  2703=159×7×2+477  =159×7×2+159×3=159×17。  又∵7和17是互质数，  ∴159是2703和1113的最大公约数。  我们把这种求最大公约数的方法叫做辗转相除法.辗转相除法的优点在于它能在较短的时间内求出任意两个数的最大公约数。例7用辗转相除法求4811和1981的最大公约数。  解：∵4811=2×1981+849，  1981=2×849+283，  849=3×283，  ∴（4811，1981）=283。  补充说明：如果要求三个或更多的数的最大公约数，可以先求其中任意两个数的最大公约数，再求这个公约数与另外一个数的最大公约数，这样求下去，直至求得最后结果.也可以直接观察，依次试公有的质因数。例8求1008、1260、882和1134四个数的最大公约数是多少？  解：∵（1260，1008）=252，  （882，1134）=126，  又（252，126）=126，  ∴（1008，1260，882，1134）=126。  求两个数的最小公倍数，除了用短除法外，是否也有其他方法呢？请看例9.例9两个数的最大公约数是4，最小公倍数是252，其中一个数是28，另一个数是多少？     ∴x=4×y28=4×7  ∴28x=4×y×4×7  又∵4是x和28的最大公约数，（y，7）=1，  ∴4×y×7是x和28的最小公倍数。  ∴x×28=4×252  ∴x=4×252÷28=36  ∴要求的数是36。  通过例9的解答过程，不难发现：如果用a和b表示两个自然数，那么这两个自然数的最大公约数与最小公倍数关系是：  （a，b）×[a，b]=a×b。  这样，求两个数的最小公倍数的问题，即可转化成先求两个数的最大公约数，再用最大公约数除两个数的积，其结果就是这两个数的最小公倍数。例10求21672和11352的最小公倍数。  解：∵（21672，11352）=1032  （1032可以用辗转相除法求得）  ∴[21672，11352]=21672×11352÷1032  =238392。  答：21672和11352的最小公倍数是238392.习题三  1.甲数是乙数的三分之一，甲数和乙数的最小公倍数是54，甲数是多少？乙数是多少？  2.一块长方形地面，长120米，宽60米，要在它的四周和四角种树，每两棵之间的距离相等，最少要种树苗多少棵？每相邻两棵之间的距离是多少米？  3.已知两个自然数的积是5766，它们的最大公约数是31.求这两个自然数。   4.兄弟三人在外工作，大哥6天回家一次，二哥8天回家一次，小弟12天回家一次.兄弟三人同时在十月一日回家，下一次三人再见面是哪一天？  5.将长25分米，宽20分米，高15分米的长方体木块锯成完全一样的尽可能大的立方体，不能有剩余，每个立方体的体积是多少？一共可锯多少块？  6.一箱地雷，每个地雷的重量相同，且都是超过1的整千克数，去掉箱子后地雷净重201千克，拿出若干个地雷后，净重183千克.求一个地雷的重量？习题三解答  1.甲数是18，乙数是54。  2.每两棵之间的距离是60米，最少要种树苗6棵。  3.解：设这两个自然数为A和B。  [A，B]=5766÷31=186。  ∵186=2×3×31，    ∴这两个自然数为31和186或62和93。  4.10月25日。  5.每个立方体的体积是125立方分米.一共可锯60块。  6.3千克. 五一促销方案一．活动主题：购凯莱地板免费游港澳好礼送不停赢取华硕笔记本电脑二．活动时间：2011年4月9日——2011年5月6日三．活动范围：全省凯莱专卖店对于不参加本次促销活动的专卖店兰州公司取消2011全年物料、礼品、人员及促销政策的支持，特此说明！四、活动目标：全省区域销售50000平方米五、活动背景与市场分析：2011年仍是甘肃房地产继续实施宏观调控的一年，是抑制通胀、调结构、保增长、惠民生的又一年，2011年甘肃消费市场在各种因素作用下，但经济整体稳定向好，刚性需求、保障性需求的政策导向决定了2011年市场仍然存在很多机会，特别是对于凯莱这样正在高速成长品牌企业。1.我们分析认为2011年是甘肃地板的洗牌年，品牌的集中度会越来越高，消费者对品牌的消费意识会更强，因此，必须对主销市场实施强有力的组合措施，方能在地板行业的整合年获得我们应由的市场成果。2.2011年春来早，全省凯莱在3.15促销中战绩平平，但是给5.1促销与销售提供了良好的机会，因此尽早投入这场销售的争夺战中，意义重大。从以往的5.1促销经验来看，早启动效果更明显。3.以甘肃地板市场来看，二、三级市场呈现差异性需求，各专卖店因地制宜，针对各级市场特点有效的开展促销活动并组合相应的产品才能谋求最大的市场占有。4.2011年五一促销，重点提升扩大凯莱地板品牌知名度、市场占有率和客户口碑为营销的活动设计地板行业发展分析首先要肯定地板在未来几年的发展前景是辉煌的，为什么这么说呢？我们可以先从以下几点分析：首先，就目前来说全国人民最关心的问题是什么?是房价。上至国家领导，下至普通百姓这一问题已经成为了主题，而房地产作为中国的支柱产业，也在有效的拉动着内需和经济的发展，作为与房地产相伴的建材行业包括木地板行业也会因为房地产的不断升温而不断壮大。纵观全国各地，到处都是旧城改造，新城建设。就甘肃各地来说，房子这几年也是空前的多，据有关部门调查今明两年全省商品房的交易量在50万套以上，经济适用房和廉租房的交付率在20万套左右，如此多的待装修房其中所孕育的商机不言自明，只要有楼房就要装修，只要装修就要用地板，只要用地板我们就有机会，所以有此大好机会就应该及时抓住。其次，就我们所了解到的，和看到的情况是有些地方木地板已普及到了农村，中国作为农业大国，农村的市场比城市还要巨大，近几年由于国家针对农村出台了各种惠民政策，中国的农村也因此以前所未有的速度富了起来，而中国人也有着根深蒂固的习惯，那就是有钱了先修房，而现在的主流就是修完房子了还要装修，而且装修还要有档次，那么木地板作为一种高档消费品的象征，必然会受到广大农村人民的青睐。现在象甘南的某些农村木地板已经大面积使用了，河东各地农村也在逐渐流行，放眼望去木地板在农村的前景也一片大好。而公司也适时获得了建材下乡推进单位的荣誉，这对我们有效占领农村市场提供了很好的帮助。机会是给有准备的人的，眼光要放远些，谋而后动，方能决胜于千里。再次，根据全国发展的速度来看，甘肃的发展还是相对滞后的，相比较发达地区木地板使用的情况来看，甘肃的木地板总体使用量占有率还不是太高。因此从发展滞后、占有率低到发展快、占有率高之间的空间还是非常大的，而这些空间对我们木地板销量的提高也是非常大的。总的来看木地板发展的前景还是非常好的，所以让我们抓住机遇，共同赚钱，共同发展。六、活动细则：买凯莱地板邀您香港澳门免费游1.凡订购凯莱实木区地板（包括：多层实木，多层仿古实木，三层实木，实木）80平米以上均可获赠由凯莱地板提供的香港、澳门旅游（每个订单只限一人）。2.已定单客户在享受免费港澳游前必须先交纳80%的货款。3.若不足80平米由客户补足剩余费用（每平米补差价40元）.4.如已定单客户不想享受免费港澳游，则视为自动放弃。5.参加港澳游的订单客户以实铺面积为准。6.港澳游客户的旅行时间可由自己决定（除五一、十一、元旦等节假日）7.其他事宜按旅行社的规定执行（凯莱地板只负责往返路费、食宿及首道景点门票费用，其他费用均由客户自理）8.特价产品及限量产品除外畅想凯莱品质赢取华硕笔记本奖品：华硕笔记本电脑型号：待定活动日期：2011年4月9日至2011年5月6日在活动期间内订单客户均可获赠由凯莱地板提供的免费华硕笔记本电脑抽奖卷一张，在2011年5月6日下午2点在各专卖店统一抽奖。抽奖规则：按订单先后顺序兰州地区累计500平米抽取电脑一台;其他地区累计688平米抽取电脑一台；特价产品及限量产品除外活动期间凡订单客户都有正常礼品相送，价格史上最惠！七、活动说明：此次活动要求全省联动，各地尽量出现69元/平米（A系列两款裸板价），89元/平米（H系列特款特卖大包价）的特价地板，以最大限度的来收获订单，然后再转化为升级定单，以此来摧毁竞争对手的经营信心，达到多订单对凯莱品牌宣传的目的。订金双倍、十倍翻活动期间内小区意向订金交纳10元当100元使用；交纳100元当200元使用；交纳200元当400元使用。以此来拦截装修业主的意念，把凯莱作为考察的第一对象。礼品支持（礼品有限，欲购从速！）在公司没有礼品的情况下，可自己在当地组织一些礼品。八．活动执行进程控制九.活动物料1.立柱、拱门：各地专卖店在活动期间户外必须立拱门和立柱，活动遮阳伞或帐篷可在专卖店门口或建材市场门口放立，附近并有专人发放活动资料！以此来烘托活动气氛。如没有立柱拱门的经销商可向兰州公司申请借用或购买，如需购买的经销商请在4月2日之前向兰州公司汇款下定单由兰州公司统一去制作，制作时间为十日左右。2海报（喷绘）：请张贴在店面最显眼的位置；必须保证当地最新开盘的所有小区都有张贴;各级经销商在可以的情况下可进行街道、路口、超市等繁华地段进行地毯式的张贴（此规格建议为1.2米*0.8米），以有效告知促销信息，由兰州公司统一提供设计样稿，费用一人一半。数量不限，大小不限！机会只有一次！1.单页：由公司统一设计制作发放到各地，要求各地各店夹报或专人有效散发，不得积压于手中，配置多少，必须全部使用完毕。制作标准：157克A4铜版纸。2.礼品对头：本次活动的礼品堆头请摆放在正门进店一米处位置，整体呈（品）字形堆放，最前面摆放门口垫20个以上（丝带捆绑），正反“礼”字贴放置于礼品堆头的最上方，规格不小于1米*1米。（“礼”字贴制作标准参考图片）5.特价签：针对本次活动，公司单独制作实木地板“免费游港澳”、强化地板“赢取华硕笔记本电脑”、特价产品的促销标签，各店必须明显贴示于展示样板上。6.有条件的（特别是临街店）专卖店一定要用公司统一设计好的喷绘画面将门头包起来，不要把入口挡住，尽量往门头以上位置去做，能做多大就做多大，此目的就是让消费者一定要感觉到震撼，用做特殊宣传的手段放大进店吸引。由兰州公司统一提供设计样稿并制作，费用一人一半。十.渠道宣传要求1.促销喷绘一定要保证当地所有新开盘小区都有悬挂2.横幅悬挂小区/街道/建材市场进行宣传3.单页夹报或有专门人员进小区上门投递4.充气立柱、活动遮阳伞、在小区门口/广场/建材市场门口/专卖店门口放立，附近并有专人发放活动资料5.活动广告管理方法：要求各经销商进行充量的广告投入，必须管控专卖店所有人员制定执行充分宣传。特别说明：要求各地必须无条件参加本次活动，并严格执行公司规定的相关政策。对违反相关规定的和不参加本次促销的经销商按照本方案第三条执行外，对该地区的区域保护公司也不做保证！十一.样板：现无实木样板的经销商抓紧时间在接到通知三日内完成上样工作，每店不少于四款（多层仿古），每款六片起发。十二.奖品成本港澳旅游：3200元／人。定实木区地板80平米以上就可享受免费港澳游，每平米成本40元，建议各经销商把吊牌价提高每平米20元，活动时利润每平米再降20元。建议在店面销售实木区地板时尽量以折扣形式跟客户进行讨价还价，辅料也另算。华硕笔记本电脑：每台2800元左右。按累计订单800平米抽奖一次折算后每平米3.5元。抽奖券由兰州公司统一设计制作，市级发放80张，县级50张。抽奖定在五一黄金周的最后一天下午两点左右，最好在当地聘请一位主持人来活跃现场气氛，现场布置一定要大气，要有节日的气氛。门口红地毯能铺多大就铺多大，音响声音尽量放大，最好选用一些比较劲爆的DJ音乐，开奖时主持人要不停的大声说“凯莱地板促销活动还在继续，没有订单的朋友抓紧时间订单，可能下一台笔记本电脑就是你的”等一些促进客户订单的话语，拱门、立柱、吊旗、礼花、礼品堆头、地毯、条幅等等这些都是营造气氛的道具。以上两项奖项消费者不可兼得。十三.店面宣传全省统一口径：（对外宣传时可用厂家的角度进行）庆祝五一暨凯莱地板十二周年厂庆，全国厂商联动，十二年来价位首破底线，五一长假结束后全球统一调价。全国1800家凯莱地板专卖店同步联欢庆祝凯莱十二周年厂庆，定地板免费游港澳，赢取华硕笔记本电脑，凯莱史上首次，机会只有一次！活动只要订单累积达到688平方米就可抽奖一次（不管十单八单，只要一到立马现场抽奖产生）实木地板，高贵、时尚、典雅，专为成功人士量身打造！今日订单价位史上最低，并且凯莱提供免费、轻松港澳十五日游！凯莱地板，中国地板十大品牌、中国品牌500强、首批出口免验产品，品牌的荣誉保证了凯莱的品质。全省各店面导购人员要自信加勇敢的说：虽然凯莱地板的品牌不是行业的第一，但是凯莱的品质绝对是行业的第一。本次促销活动凯莱厂家计划在全国1800家专卖店（不包括香港、澳门）共抽取3500台华硕笔记本电脑，计划在全国共计2800人参加免费港澳游。机会只有一次。十四.小区、街道横幅内容1.购凯莱地板送港澳游，凯莱史上首次，机会只有一次！2.购凯莱地板赢取华硕笔记本，现场开奖，真实有效！机会只有一次！3.凯莱地板五一全国厂商联动，十二年来价位首破底线，机会只有一次！4.凯莱地板迎五一，泄洪价69元，真的不能再低了！机会只有一次！十五.喷绘广告制作投放补贴说明凯莱兰州公司针对本次促销额外补贴各地经销商制作喷绘广告，按每平米12元1:1投放，既一人一半，制作当时兑现。要求必须广告画面统一，尺寸根据当地规格由兰州公司企划统一制作完成后发往各地，在收到本次促销通知后三日内把所需广告规格尺寸报至兰州公司（0931-8735767或各区域经理），由兰州统一制作。数量不限，大小不限，望各位经销商伙伴充分抓出这次宣传的机会来提高凯莱在当地的知名度！时间紧迫，过期视为自动放弃！五一促销做的好不好直接影响到全年的销售计划，希望各位尊贵的合作伙伴不要轻视本次促销。现在销售的方案有了，想不想赚到钱，就看你的行动了。如有疑问请致电：13609313753苏清乔13919886089孔德宁凯莱地板甘肃品牌管理中心市场部中国·雪狼智援团队2011年3月28日