五年级奥数题：约数与倍数(A)

四约数与倍数(A)年级班姓名得分一、填空题1．28的所有约数之和是_____.2.用105个大小相同的正方形拼成一个长方形,有_____种不同的拼法.3.一个两位数,十位数字减个位数字的差是28的约数,十位数字与个位数字的积是24.这个两位数是_____.4.李老师带领一班学生去种树,学生恰好被平均分成四个小组,总共种树667棵,如果师生每人种的棵数一样多,那么这个班共有学生_____人.5.两个自然数的和是50,它们的最大公约数是5,则这两个数的差是_____.6.现有梨36个,桔108个,分给若干个小朋友,要求每人所得的梨数,桔数相等,最多可分给_____个小朋友,每个小朋友得梨_____个,桔_____个.7.一块长48厘米、宽42厘米的布，不浪费边角料，能剪出最大的正方形布片_____块.8.长180厘米,宽45厘米,高18厘米的木料,能锯成尽可能大的正方体木块(不余料)_____块.9.张师傅以1元钱3个苹果的价格买苹果若干个,又以2元钱5个苹果的价格将这些苹果卖出,如果他要赚得10元钱利润,那么他必须卖出苹果_____个.10.含有6个约数的两位数有_____个.11．写出小于20的三个自然数，使它们的最大公约数是1，但两两均不互质，请问有多少组这种解？12．和为1111的四个自然数，它们的最大公约数最大能够是多少？13．狐狸和黄鼠狼进行跳跃比赛，狐狸每次跳米，黄鼠狼每次跳米，它们每秒钟都只跳一次.比赛途中,从起点开始每隔米设有一个陷井,当它们之中有一个掉进陷井时,另一个跳了多少米?14.已知a与b的最大公约数是12,a与c的最小公倍数是300,b与c的最小公倍数也是300,那么满足上述条件的自然数a,b,c共有多少组?(例如:a=12、b=300、c=300，与a=300、b=12、c=300是不同的两个自然数组)———————————————答案——————————————————————答案:1．5628的约数有1,2,4,7,14,28,它们的和为 1+2+4+7+14+28=56.2.4因为105的约数有1,3,5,7,15,21,35,105能拼成的长方形的长与宽分别是105和1,35和3,21与5,15与7.所以能拼成4种不同的长方形.3.64因为28=227,所以28的约数有6个:1,2,4,7,14,28.在数字0,1,2,…，9中，只有6与4之积，或者8与3之积是24，又6-4=2，8-3=5.故符合题目要求的两位数仅有64.4.28因为667=2329,所以这班师生每人种的棵数只能是667的约数:1,23,29,667.显然,每人种667棵是不可能的.当每人种29棵树时,全班人数应是23-1=22,但22不能被4整除,不可能.当每人种23棵树时,全班人数应是29-1=28,且28恰好是4的倍数,符合题目要求.当每人种1棵树时,全班人数应是667-1=666,但666不能被4整除,不可能.所以,一班共有28名学生.5.40或20两个自然数的和是50,最大公约数是5,这两个自然数可能是5和45,15和35,它们的差分别为(45-5=)40,(35-15=)20,所以应填40或20.[注]这里的关键是依最大公约数是5的条件,将50分拆为两数之和:50=5+45=15+35.6.36,1,3.要把梨36个、桔子108个分给若干个小朋友，要求每人所得的梨数、桔子相等，小朋友的人数一定是36的约数，又要是108的约数，即一定是36和108的公约数.因为要求最多可分给多少个小朋友,可知小朋友的人数是36和108的最大公约数.36和108的最大公约数是36,也就是可分给36个小朋友.每个小朋友可分得梨:3636=1(只)每个小朋友可分得桔子:10836=3(只)所以,最多可分得36个小朋友,每个小朋友可分得梨1只,桔子3只.7.56剪出的正方形布片的边长能分别整除长方形的长48厘米及宽42厘米,所以它是48与42的公约数,题目又要求剪出的正方形最大,故正方形的边长是48与42的最大公约数.因为48=22223,42=237,所以48与42的最大公约数是6.这样,最大正方形的边长是6厘米.由此可按如下方法来剪:长边每排剪8块,宽边可剪7块,共可剪(486)(426)=87=56(块)正方形布片.8.200根据没有余料的条件可知长、宽和高分别能被正方体的棱长整除,即正方体的棱长是180,45和18的公约数.为了使正方体木块尽可能大,正方体的棱长应是180、45和18的最大公约数.180,45和18的最大公约数是9,所以正方体的棱长是9厘米.这样,长180厘米可公成20段,宽45厘米可分成5段,高18厘米可分成2段.这根木料共分割成(1809)(459)(189)=200块棱长是9厘米的正方体.9.150 根据3与5的最小公倍数是15,张老师傅以5元钱买进15个苹果,又以6元钱卖出15个苹果,这样,他15个苹果进与出获利1元.所以他获利10元必须卖出150个苹果.10.16含有6个约数的数,它的质因数有以下两种情况:一是有5个相同的质因数连乘；二是有两个不同的质因数其中一个需连乘两次，如果用M表示含有6个约数的数，用a和b表示M的质因数，那么或因为M是两位数，所以M=a5只有一种可能M=25，而M=a2b就有以下15种情况：，，，，.所以,含有6个约数的两位数共有15+1=16(个)11.三个数都不是质数,至少是两个质数的乘积,两两之间的最大公约数只能分别是2,3和5,这种自然数有6,10,15和12,10,15及18,10,15三组.12.四个数的最大公约数必须能整除这四个数的和,也就是说它们的最大公约数应该是1111的约数.将1111作质因数分解,得1111=11101最大公约数不可能是1111,其次最大可能数是101.若为101,则将这四个数分别除以101,所得商的和应为11.现有1+2+3+5=11,即存在着下面四个数101,1012,1013,1015,它们的和恰好是101(1+2+3+5)=10111=1111,它们的最大公约数为101.所以101为所求.13.黄鼠狼掉进陷井时已跳的行程应该是与的“最小公倍数”，即跳了=9次掉进陷井，狐狸掉进陷井时已跳的行程应该是和的“最小公倍数”，即跳了=11次掉进陷井.经过比较可知,黄鼠狼先掉进陷井,这时狐狸已跳的行程是9=40.5(米). 14.先将12、300分别进行质因数分解：12=223300=22352(1)确定a的值.依题意a只能取12或125(=60)或1225(=300).(2)确定b的值.当a=12时,b可取12,或125,或1225；当a=60,300时，b都只能取12.所以,满足条件的a、b共有5组：a=12a=12a=12a=60a=300b=12,b=60,b=300,b=12,b=12.(3)确定a,b,c的组数.对于上面a、b的每种取值，依题意，c均有6个不同的值：52，522，5222，523，5223，52223，即25，50，100，75，150，300.所以满足条件的自然数a、b、c共有56=30（组）