一个整数的约数个数与约数和的计算方法

【内容概述】,两数的最大公约数与最小公倍数之间的关系一个整数的约数个数与约数和的计算方法，其分数的最小公倍数.涉及一个整数的约数，以及若干整数最大公约数与最小公倍数的问题中质因数分解发挥着重要作用.【典型问题】簸菰.薪/"'一第三届“华罗庚金杯”少年敬学邀请点•决事-「/第2题1.数360的约数有多少个？这些约数的和是多少？【分析与解】360分解质因数：360=2X2X2X3X3X5=23X32X5；360的约数可以且只能是2ax3bx5c,(其中a,b,c均是整数，且a为0〜3,6为0〜2,c为0〜1).因为a、b、c的取值是相互独立的，由计数问题的乘法原理知，约数的个数为(3+1)x(2+1)X(1+1)=24.我们先只改动关于质因数3的约数，可以是1,3,32,它们的和为(1+3+32)，所以所有360约数的和为(1+3+32)X2yx5w;我们再来确定关于质因数2的约数，可以是1,2,22,23,它们的和为(1+2+22+23),所以所有360约数的和为(1+3+32)X(1+2+22+23)*5二最后确定关于质因数5的约数，可以是1,5,它们的和为(1+5),所以所有360的约数的和为(1+3+32)X(1+2+22+23)X(1+5).于是，我们计算出值：13X15X6=1170.所以,360所有约数的和为1170.评注：我们在本题中分析了约数个数、约数和的求法.下面我们给出一般结论：1.一个合数的约数的个数是在严格分解质因数之后，将每个质因数的指数(次数)加1后所得的乘积.如：1400严格分解质因数后为23X52X7，所以它的约数有(3+1)X(2+1)X(1+1)=4X3X2=24个.(包括1和它自身)n.约数的和是在严格分解质因数后，将M的每个质因数最高次哥的所有约数的和相乘所得到的积.如：21000=23X3X53X7,所以21000所有约数的和为(1+2+22+23)X(1+3)X(1+5+52+53)X(1+7)=74880.®参)级数：**七二届“华岁庚金杯”少年也学邀请察•决赛一试冕后洞菽分二届“兴趣杯”少年数学建请jp理察C卷第"11・.'____2.一个数是5个2,3个3,6个5,1个7的连乘积.这个数有许多约数是两位数，那么在这些两位数的约数中，最大的是多少？【分析与解】设这个数为A,有A=25X33X56X7,99=3X3X11,98=2X7X7,97均不是A的约数，而96=25X3为A的约数，所以96为其最大的两位数约数. 级数：***舄三房父华罗庚金杯”少年教学道请搴•决容二试第1超3.写出从360到630的自然数中有奇数个约数的数.【分析与解】一个合数的约数的个数是在严格分解质因数之后，将每个质因数的指数(次数)加1后所得的乘积.如：1400严格分解质因数后为23X52X7，所以它的约数有(3+1)X(2+1)X(1+1)=4X3X2=24个.(包括1和它自身)如果某个自然数有奇数个约数，那么这个数的所有质因子的个数均为偶数个.这样它们加1后均是奇数，所得的乘积才能是奇数.而所有质因数的个数均是偶数个的数为完全平方数.即完全平方数(除0外)有奇数个约数，反过来，有奇数个约数的数一定是完全平方数.由以上分析知，我们所求的为360〜630之间有多少个完全平方数？18X18=324,19X19=361,25X25=625,26X26=676,所以在360〜630之间的完全平方数为192,202,212,222,232,242,252.即360到630的自然数中有奇数个约数的数为361,400,441,484,529,576,625殿®级数二:*.」北京市第二总“迎春杯"投学竟霍•法赛第一题第2题4.今有语文课本42册,数学课本112册，自然课本70册，平均分成若干堆，每堆中这3种课本的数量分别相等.那么最多可分多少堆？【分析与解】显然堆数是42的约数，是112的约数，是70的约数.即为42,112,70的公约数，有(42,112,70)=14.所以，最多可以分成14堆.㈱⑥级数:*5.加工某种机器零件，要经过三道工序，第一道工序每名工人每小时可完成6个零件，第二道工序每名工人每小时可完成10个零件，第三道工序每名工人每小时可完成15个零件.要使加工生产均衡，三道工序最少共需要多少名工人？【分析与解】为了使生产均衡，则每道工序每小时生产的零件个数应相等，设第一、二、三道工序上分别有A、日C个工人，有6A=10B=15C=k,那么k的最小值为6,10,15的最小公倍数,即[6,10,15]=30.所以A=5,B=3,C=2,则三道工序最少共需要5+3+2=10名工人.@奥级热■**6.有甲、乙、丙3人，甲每分钟行走120米，乙每分钟行走100米，丙每分钟行走70米.如果3个人同时同向，从同地出发，沿周长是300米的圆形跑道行走，那么多少分钟之后，3人又可以相聚？【分析与解】设在x分钟后3人再次相聚，甲走了120x米，乙走了lOOx米，丙走了70x米，他们3人之间的路程差均是跑道长度的整数倍.即120x-100x,120x-70x,lOOx-70x均是300的倍数，那么300就是20x,50x,30x的公约所以x=30.有(20x,50x,30x):300,而(20x,50x,30x)=x(20,50,30)=lOx, 即在30分钟后，3人又可以相聚.7.3条圆形跑道，圆心都在操场中的旗杆处，甲、乙、内3人分别在里圈、中圈、外圈沿同样的方向跑步.开始时，3人都在旗杆的正东方向，里圈跑道长1千米，中圈跑道长二千米，外圈54跑道长3千米.甲每小时跑31千米，乙每小时跑4千米，丙每小时跑5千米.问他们同时出发82几小时后,3人第一次同时回到出发点？11211【分析与斛】甲跑兀一■圈帝一3——小时，乙跑一■圈需一4—小时，丙跑一■圈需523541633213一—5——则他们同时回到出发点时都跑了整数圈，所以经历的时间为——，一，——的倍数，即840351640它们的公倍数._2_x35,16,402,1,366.35,16,41所以,6小时后,3人第一次同时回到出发点.评注：求一组分数的最小公倍数，先将这些分数化为最简分数，将分子的最小公倍数作为新分数的分子，将分母的最大公约数作为新分数的分母，这样得到的新分数即为所求的最小公倍数；求一组分数的最大公约数，先将这些分数化为最简分数，将分子的最大公约数作为新分数的分子，将分母的最小公倍数作为新分数的分母，这样得到的新分数即为所求的最大公约8.甲数和乙数的最大公约数是6最小公倍数是90.如果甲数是18,那么乙数是多少？【分析与解】有两个数的最大公约数与最小公倍数的乘积等于这两数的乘积.有它们的最大公约数与最小公倍数的乘积为6X90=540,则乙数为540+18=30.@@级数：**9.A,B两数都仅含有质因数3和5,它们的最大公约数是75.已知数A有12个约数，数B有10个约数，那么A,B两数的和等于多少？【分析与解】方法一：由题意知A可以写成3X52Xa,B可以写成3X52X6，其中a、b为整数且只含质因子3、5.即A:31+Xx52+y,B=31+m1x52+n,其中x、Y、mn均为自然数(可以为0)由A有12个约数,所以[(1+x)+1]X[(2+y)+1]=(2+x)X(3+y)=12,所以x2,x1或x0.对应A为31+2X52=675,31+1X52+1=1125，或3y0y1y41+0X52+4=46875;m0一由B有10个约数，所以[(1+m)+1]x[(2+n)+l]=(2+m)x(3+n):10,所以.对应Bn2为31+°X52+2=1875. 只有(675,1875)=75,所以A=675,B=1875.那么A,B两数的和为675+1875=2550.方法二：由题中条件知A、B中有一个数质因数中出现了两次5,多于一次3,那么，先假设它出现了N次3,则约数有：(2+1)X(N+1):3X(N+1)个12与10其中只有12是3的倍数，所以3(N+1)=12,易知N=3,这个数是A,即A=33X52=675.那么B的质数中出现了一次3,多于两次5,则出现了M次5,则有：(1+1)X(M+1)=2(M+1)=10,M=4.B=3X54=1875.那么A,B两数的和为675+1875=2550.10.有两个自然数，它们的和等于297,它们的最大公约数与最小公倍数之和等于693.这两个自然数的差等于多少？【分析与解】设这两数为a,b,记a=(a,b)q1,b=(a,b)q2.它们的和为：a+b=(a,b)ql+(a,b)q2=(a,b)(q1+q2)=297①它们的最大公约数与最小公倍数的和为：[a,b]+(a,b)=(a,b)qlq2+(a,b)=(a,b)(qlq2+1)=693,且(q1,q2)=1.②综合①、②知(a,b)是297,693的公约数，而(297,693)=99,所以(a,b)可以是99,33,1l,9,3,1第一种情况]:(a,b)=99,贝U(q1+q2)=3,(qlq2+1)=7,即qlq2=6=2X3,无满足条件的ql,q2；第二种情况]:(a,b)=33,贝U(q1+q2)=9,(q1q2+1)=21,即q1q2=20=22x5，则ql=5,q2=4时满足，a=(a,b)q1=33X5=165,b=(a,b)q2=33X4=132,则a-b=165-132=33;第三种情况]:(a,b)=11,则(q1+q2)=27,(q1q2+1)=63,即qq2=62=2X31,无满足条件的q1,q2;一一验证第四种情况，第五种情况，第六种情况没有满足条件的q1q2.所以，这个两个自然数的差为33.11.两个不同自然数的和是60,它们的最大公约数与最小公倍数的和也是60.问这样的自然数共有多少组？【分析与解】设这两数为a,b,记a=(a,b)q1,b=(a,b)q2.它们的和为：a+b=(a,b)q1+(a,b)q2=(a,b)(ql+q2)=60① 它们的最大公约数与最小公倍数的和为：[a,b]+(a,b)=(a,b)q1q2+(a,b)=(a,b)(q1q2+1)=60且(q1,q2)=1联立①、②有(ql+q2)=(q1q2+1),即说明一个数是另一个数的倍数②即ql+q2-qlq2=1,(ql-1)(1-q2)=0,所以ql=1或q2=1.,不妨记a=kb(k为非零整数)，abkbb60a,ba,b，即kkb601b60确定，则k确定，则kb即a确定605,6整数.的约数有2,3,4,5,6,10,12,15,20,30,60这11个，b可以等于2,3,4,10.1215,20,30这10个数，除了60,因为如果6=60,贝U(k+1)=1,而k为非零对应的a、进一步b有10组可能的值，即这样的自然数有10组.，列出有(a,b)为(58,2),(57,3),(56,4),(55,5),(54,6),(50,10)(48,12),(45,15),(40,20),(30,30).评注：如果两个自然数的和等于这两个数最大公约数与最小公倍数的和，那么这两个数存在倍数关系.[邈评全国小学教学奥林造立都赛A卷第4题12.3个连续的自然数的最小公倍数是9828,那么这3个自然数的和等于多少？【分析与解】若三个连续的自然数中存在两个偶数，那么它们的最小公倍数为三个数乘积的一半；若三个连续的自然数中只存在一个偶数，那么它们的最小公倍数为三个数的乘积.贝U当a,a+1,a+2中有2个偶数时,a(a+1)(a+2)=9828X2,当a,a+1,a+2中有1个偶数时,a(a+1)(a+2)=9828.对9828分解质因数：9828=2X2X3X3X3X7X13，我们注意，13是其最大的质因数，验证不存在3个连续的自然数的积为9828.则这三个自然数的积只能是9828X2,此时这三个数中存在两个偶数，有9828X2=2X2X2X3X3X3X7X13.13X2=26，有26,27,28三个数的积为9828X2,所以这三个连续的自然数为26,27,28,其中有两个偶数，满足题意.所以,这三个数的和为26+27+28=81.评注：我们知道两个连续的自然数互质，而两个互质的数的公倍数等于它们的积，即[0,b]=axb.记这3个连续的自然数为a,a+1,a+2.有[a,a+1,a+2]=[a,a+1,a+1,a+2]=[[a,a+1],[a+1,a+2]]=[ax(a+1),(a+1)x(a+2)]=(a+1)x[a,a+2].因为a,a+2同奇同偶， 当a,a+2均是偶数时，a,a+2的最大公约数为2,则它们的最小公倍数为当a,a+2均是奇数时,a,a+2互质，则它们的最小公倍数为aX(a+2).所以(a+1)x[a,a+2]=a1aa2a为偶数2a1aa2a为奇数即[a,a+1,a+2]为a(a+1)(a+2)若三个连续的自然数中存在两个偶数，那么它们的最小公倍数为三个数乘积的一半；若三个连续的自然数中只存在一个偶数，那么它们的最小公倍数为三个数的乘积.魏姬级数；***1995年全国小学散学奥林匹克•决嘉R卷第4题13.甲、乙两数的最小公倍数是90,乙、丙两数的最小公倍数是105,甲、丙两数的最小公倍数是126,那么甲数是多少？【分析与解】对90分解质因数：90=2X3X3X5.因为5y126，所以5』甲，即甲中不含因数5,于是乙必含因数5.因为2卜,105，所以2』乙，即乙中不含因数2,于是甲必含2X2.因为9/105,所以9-乙，即乙最多含有一个因数3.第一种情况］:当乙只含一个因数3时，乙=3X5=15,由［甲，乙］=90=2X32X5，则甲=2X32=18;第一种情况］:当乙不含因数3时，乙=5,由［甲，乙］=90=2X32X5，则甲=2X32=18,综上所需，甲为18.评注：两个数的最小公倍数含有两数的所有质因子，并且这些质因数的个数为两数中此质因数的最大值.如a=2X33X52X7,b=23X32X5X7X11，贝UA、B的最小公倍数含有质因子2,3,5,7,11,并且它们的个数为a、b中含有此质因子较多的那个数的个数.即依次含有3个,3个,2个,1个,1个，即［a,b］=23X33X52X7X11.@@级数：***.14.a>b>c是3个整数.a,b,c的最大公约数是15;a,b的最大公约数是75;a,b的最小公倍数是450;b,c的最小公倍数是1050.那么c是多少？【分析与解】由(a,b)=75=3X52,［a,b］=450=32x2X52=75X3X2，又a>b所以a450b75 a225b150[b,c]=1050=2X3X52X7.当a450时有450，75，c75，c15,因为两个数的最大公约数与b75b,c75,c1050最小公倍数的乘积等于这两个数的乘积，所以（75,c）X[75,c]=75Xc=15X1050，得225150为满足105c=210，但是c>b,不满足；a225225,150,c75,c15当时有，则c=105,c